Народное образование в ХХI веке (стр. 4 )

С появлением техники количество задач значительно увеличилось, а сложность их выросла во много раз.

Необходимость передачи знаний из поколения в поколение привела людей к мысли об использовании задач не только для открытия знаний, но и для обучения детей, развития их творческого мышления

Характерным для творческой задачи является то, что ее требование связано с большой неопределенностью области поиска, решение многовариантное. В большинстве творческих задач заложено то или иное противоречие. Этим и объясняется их творческий характер. Противоречие является движущей силой решения творческих задач, т. е. причиной возникновения проблемной ситуации, которая активизирует познавательную деятельность решающего задачу. Количество и разнообразие противоречий очень велико, их классифицируют по различным признакам. Главным свойством всех противоречий является их способность «приводить в движение» мысль. В ходе поиска решения противоречия учащиеся оперируют имеющимися знаниями, приобретают новые знания, широко используют операции мышления ( сравнение, противопоставление, анализ, синтез и др. ), ассоциативные связи, возможности памяти, аналогии и другие приемы, позволяющие не только решить задачу, но и развивать интеллектуальную сферу ученика.

Задачи, вопросы и практические задания - это эффективное дидактическое средство, активизирующее творческую деятельность учащихся, особенно если они являются проблемными, т. е. в их содержании заложены противоречия. Противоречие может быть информационно-познавательным, противоречием процесса познания или логическим.

Информационно-познавательное противоречие бывает заложено в сущности изучаемых явлений, процессов и предметов. Оно, как правило, проявляется через смысловой конфликт. Под воздействием противоречия у человека возникает желание понять, в чем же дело, т. е. возникает такое психологическое состояние, которое называется проблемной ситуацией. Она-то и заставляет искать ответ на поставленный вопрос.

Противоречия процесса познания возникают между выдвигаемыми жизнью и ходом обучения теоретическими и практическими задачами познавательного характера и имеющимся у человека уровнем знаний, понимания и развития. Частными случаями здесь могут быть такие противоречия :

1) между многообразием возможных действий и необходимостью выбора наиболее целесообразного, рационального;

2) между имеющимися знаниями и новыми условиями практического их использования;

3) между теоретически возможным путем решения задачи и практической неосуществимостью или нецелесообразностью избранного способа;

4) между прошлым опытом и новым способом действия или новым подходом к анализу усваиваемого учебного материала;

5) между конкретной моделью и ее схематическим изображением и др.

К логическим противоречиям относятся противоречия суждений. Часто по одному и томи же поводу возникают различные суждения. Доказательство справедливости того или иного суждения, как правило, связано с возникновением проблемной ситуации.

Задачи, в которых проявляется то или иное противоречие, являются творческими. Это обусловлено тем, что для решения этих задач учащемуся необходимо проявить не стандартные ( репродуктивные ), а творческие (активные ) действия. Любая задача, даже самая сложная, имеющая алгоритм решения, считается нетворческой. При ее решении действуют в соответствии с установленными правилами и получают необходимый результат. Творческая же задача не имеет алгоритма решения или, во всяком случае, он не известен ученику. Она требует нестандартных действий, творческих усилий. Одна и та же задача может быть творческой и нетворческой, в зависимости от того, кто ее решает. Если задача, решается тем, кто располагает методом устранения противоречия, то для него она не творческая. Для учащихся, поскольку они не имеют большого опыта решения задач и их целью является постоянное накопление новых знаний, многие задачи являются творческими.

Из сказанного выше может показаться, что для воспитания творческой личности достаточно в процессе обучения учить человека решать противоречия. Однако на самом деле это не так. Каждый тип противоречий по-своему проявляется в конкретном условии задачи, выражается через ее содержание и требует своеобразного подхода в разрешении. Вот почему в обучении стоит задача не научить человека решать отдельные типы противоречий, а развивать творческое мышление, умение в каждом конкретном случае выдвигать предположения, выбирать среди них гипотезу, разрешать ее, делать соответствующие выводы и др.

Упражнения на составление задач как средство развития математических способностей учащихся.

Для развития математических способностей школьников необходимо включать в такую математическую деятельность, которая активизировала бы их мыслительную деятельность и познавательные интересы. В качестве такой деятельности может выступать составление учащимися математических задач.

Составление учащимися математических задач имеет и важное воспитательное значение, ибо в практической деятельности каждому человеку приходится сталкиваться не только с разрешением кем-то поставленных перед ним проблем и задач, но и самому их вычленять, ставить и решать. В связи с этим вопросы, касающиеся составления учащимися задач неоднократно поднимались в психолого-педагогической и методической литературе.

Еще в самом начале ХХ века известный методист отмечал, что «придумывание учащимися своих собственных задач еще полезнее, чем решение готовых задач, предложенных учителем или взятых из сборника. …Составление задач самими учениками, начиная с самых простых и кончая довольно сложными, могло бы внести в преподавание арифметики живительную струю, возбуждая в учащихся интерес к предмету и давая им возможность проявлять и в области арифметики свои способности к творчеству» [3, С. 119].

Самостоятельное составление учащимися задач позволяет в большей степени, чем решение готовых задач, проявлять им самостоятельность мышления, исследовательские умения. Это обусловлено тем, что составление задач часто требует от школьников применения рассуждений, которые не выполняются ими при решении готовых задач, а это в свою очередь создает предпосылки для развития интереса учащихся к занятиям математикой и для развития у них творческих способностей.

Процесс составления учениками задач связан с формированием и развитием у них определенной гибкости мышления, способности к обратимости мыслительных процессов, способности к обобщению математического материала, умения и готовности рассматривать возникающие нестандартные и проблемные ситуации, находить наиболее рациональные способы их разрешения.

При проведении работы по решению и составлению задач школьники учатся анализировать структуру задачи, выделять свойства объектов, являющихся участниками задачной ситуации, различать среди них свойства, являющиеся общими, отличительными, существенными или несущественными. Становится возможным развитие способности к схватыванию формальной структуры задачи, способности к обобщению математических объектов, отношений и действий.

Указанные развивающие возможности составления задач направлены и на формирование у учащихся умения получать новые знания, ориентироваться не только в школьном обучении, но и в других сферах теоретической и практической деятельности человека. Как уже отмечалось нами выше, умение выдвигать проблемы и ставить задачи является в деятельности человека не менее важным, чем их решение. Поэтому перед современной школой стоит задача учить своих учеников не только отвечать на вопросы, но и ставить их, в частности в виде составления математических задач.

Все вышесказанное позволяет сформулировать следующие цели использования заданий на составление задач при обучении математики:

1)  повышение уровня сформированности у учащихся умений решать задачи;

2)  повышение у учащихся уровня осознанности знаний;

3)  обучение учащихся анализу исходных задачных данных;

4)  формирование у учащихся четких представлений о сущности и структуре задач, развитие способности к схватыванию формальной структуры задачи;

5)  развитие у учащихся способности к логическому мышлению в сфере количественных отношений числовой и знаковой символики;

6)  развитие у учащихся способности к обобщению математического материала;

7)  развитие у учащихся гибкости мыслительных процессов, способности к их обратимости;

8)  развитие творческой активности учащихся;

9)  воспитание устойчивого интереса к математической деятельности.

Несмотря на признание педагогической ценности упражнений на самостоятельное составление учащимися задач, как показывает практика, этому виду деятельности в процессе обучения учащихся основной школы уделяется недостаточно внимания. Причины этого кроются, главным образом, в сложившейся методике обучения математике, предполагающей в основном решение целесообразно подобранных учителем задач. В связи с этим в существующих учебных пособиях по математике для основной школы практически отсутствуют задания на составление задач. Довольно часто и сами учителя не владеют методикой составления учебных математических задач.

Наиболее эффективным для развития математических способностей школьников является выполнение упражнений на составление задач на заключительном этапе работы над готовой задачей с целью получения дополнительной информации о ней. В связи с этим выделяем следующие виды составления задач, порождаемых решенной задачей или развивающих ее тему:

1)  составление задач, аналогичных исходным;

2)  составление задач, обратных заданным;

3)  составление задач, являющихся обобщениями исходных задач;

4)  составление задач, являющихся специализациями решенных задач.

Охарактеризуем каждый из предложенных выше видов заданий на составление задач.

1.  Составление задач, аналогичных исходным.

Под аналогичными задачами будем понимать такие задачи, которые сходны в определенном смысле, хотя в целом они выражают различные содержания. В частности, будем считать аналогичными задачи, которые имеют одинаковую логическую цепочку решения или большую ее часть.

Составление задач, аналогичных решенной учащимися задаче, следует проводить на заключительном этапе работы над исходной задачей. С этой целью учащимся необходимо произвести анализ посылки, требования и полученного решения (или одного из способов решения) исходной задачи. На основе проведенного анализа следует определить возможность варьирования: а) данных в посылке; б) данных в требовании; в) данных в посылке и требовании одновременно.

Выделение варьируемых данных и позволяет учащимся конструировать новые задачи, аналогичные исходной.

Приведем пример задания на составление задач, аналогичных исходной.

Задача. При каких натуральных значениях п сумма п²+(п+1)²+(п+2)²+ +(п+3)² кратна 10? Составьте задачи, аналогичные данной.

В результате анализа структуры и решения исходной задачи учащимися может быть составлена, например, такая задача:

Задача. При каких натуральных значениях п сумма п²+(п+1)²+(п+2)² кратна 3?

При составлении данной задачи была учтена возможность варьирования данных и в посылке и в требовании задачи.

2. Составление задач, обратных заданным.

Прием обращения задачи состоит в следующем: после решения исходной задачи надо составить и решить задачу, обратную по отношению к исходной. С этой целью в посылку исходной задачи вводится ее требование, а некоторые данные из посылки переводятся в разряд требований.

Прием обращения задачи можно представить с помощью следующей логическо-структурной схемы:

Прямая задача. Обратная задача.

А, А1В А, ВА1

Продемонстрируем сказанное на следующем примере:

Задача. Докажите, что если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное, то их произведение кратно 24. Составьте обратное утверждение. Верно ли оно?

Применяя прием обращения, учащиеся могут сформулировать следующее утверждение: «Если произведение трех последовательных чисел кратно 24, то их сумма есть нечетное число».

Ложность сформулированного утверждения доказывается посредством приведения контрпримера. Например, произведение 7·8·9 кратно 24, но 7+8+9=24 – четное число.

Составление задач, обратных данным, помогает учащимся лучше понимать структуру математических задач, приучает формулировать и доказывать утверждения, обратные изучаемым на уроках, т. е. происходит существенное углубление и расширение представлений и знаний учащихся. Кроме того, методы решения обратных задач нередко отличаются от решения исходных, а знакомство с новыми методами решения задач существенно обогащает математический кругозор учащихся.

3. Составление задач, являющихся обобщениями исходных задач.

Составление задач, аналогичных решенным, позволяет получать задачи, подобные, однопорядковые с исходной. От него существенным образом отличается составление задач с помощью приема обобщения. Это отличие выражается, прежде всего, в том, что новая задача оказывается при обобщении в той или иной степени сложнее исходной. Отметим, что процесс обобщения основывается на применении аналогии, но, тем не менее, не сводится к ней целиком.

Обобщение решенной задачи может иметь различный характер: оно может быть более широким или более узким. Результат обобщения зависит не только от суммы имеющихся знаний у учащихся, но и от умения комбинировать и связывать эти знания и полученные результаты по-новому, от уровня развития способности к формализованному восприятию математического материала, способности к быстрому и широкому обобщению математических объектов и отношений, от уровня развития у учащихся гибкости мыслительных процессов.

В процессе обучения учитель должен показать учащимся неисчерпаемость связей между математическими задачами. После решения исходной задачи почти всегда учащиеся могут найти в ней предмет для дальнейших наблюдений и размышлений. Часто можно найти несколько направлений для развития и обобщения решенной задачи. Это позволяет учащимся составлять и затем решать задачи-обобщения разных уровней сложности.

В методической литературе выделяются следующие способы получения обобщений учащимися при составлении задач, развивающих тему исходной задачи:

1)  отбрасывание некоторого ограничения;

2)  замена конкретного значения параметра произвольным;

3)  изменение количества параметров;

4)  два различных обобщения в одном и том же направлении;

5)  два различных обобщения в разных направлениях [1].

Обобщение задачи может осуществляться путем: а) обобщения посылки; б) обобщения требования; в) обобщения и посылки и требования одновременно.

Приведем пример задания на составление задач с помощью приема обобщения.

Задача. Докажите, что значение выражения (п+12)³ – (п –12)³ кратно 12 при любом целом п, а значение выражения (п+101)³ – (п–101)³ кратно 101 при любом целом значении п. Составьте и решите задачу, которая носила бы более общий характер по отношению к исходной.

Обобщив посылку в исходной задаче, можно получить, например, такую задачу:

Задача. Докажите, что значение выражения (п+а)³ – (п–а)³ кратно а при любом целом значении п и при любом целом а, а 0.

Обобщение и посылки и требования позволяет сформулировать следующую задачу:

Задача. Докажите, что значение выражения (п+а)³ – (п–а)³ кратно 2а при любом целом значении п и при любом целом а, а 0.

4. Составление задач, являющихся специализациями решенных задач.

Специализация задачи – это прием, обратный приему обобщения задачи. Ее можно осуществлять посредством: а) специализации условия; б) специализации требования; в) специализации условия и требования.

Например, после решения задачи: «Докажите, что значение выражения (п+а) – (п–а) кратно 2а при любом целом значении п и при любом целом а, а 0», можно составить ряд задач, непосредственно вытекающих из ее решения. Так, может быть сформулирована частная задача на основе специализации посылки:

Задача. Докажите, что значение выражения (п+15)– (п–15) кратно 30 при любом целом значении п.

Специализация требования позволяет сформулировать, например, такую задачу:

Задача. Докажите, что значение выражения (п+а)– (п–а) есть число четное при любом целом значении п.

С помощью специализации и посылки и требования можно сконструировать, например, следующую задачу:

Задача. Докажите, что значение выражения (п+6) – (п–6) кратно 4 при любом целом значении п.

Составление задач, являющихся специализациями решенных учащимися задач, позволяет школьникам лучше и глубже понять рассмотренные свойства математических объектов, выявленные закономерности, осуществлять переход от общего к частному, видеть в решении общих проблем решение некоторых частных проблем и т. д.

Составление учащимися задач на основе приема специализации служит средством развития у них способности к формализованному восприятию математического материала, к гибкости мыслительных процессов, а также способности к перестройке направленности мыслительного процесса.

К отбору заданий, направленных на самостоятельное составление учащимися задач, будем предъявлять следующие методические требования:

1.  Исходная задача, а также задачи, которые могут быть получены из нее путем обобщения, специализации, обращения, аналогии должны быть адекватны учебным возможностям учащихся.

2.  Исходная задача должна иметь (по возможности) различные способы решения, так как разные подходы к решению могут обнаруживать специфические свойства и взаимосвязи объектов в базовой задаче, позволяющие составлять на их основе различные новые задачи.

3.  В качестве исходной целесообразно выбирать такую задачу, на основе которой могут быть реализованы несколько видов (или даже все) составления задач.

4.  Рассматриваемые задачи (исходная и составляемые) должны способствовать росту у учащихся уровня сформированности умений решать задачи школьного курса математики.

5.  Рассматриваемые задачи должны содействовать развитию всех компонентов математических способностей учащихся.

В процессе конструирования задачи, порожденной некоторой исходной задачей, можно выделить несколько этапов:

1)  решение исходной задачи (желательно несколькими способами);

2)  принятие цели на составление задачи;

3)  создание в воображении математической ситуации, соответствующей поставленному заданию на составление новой задачи;

4)  установление вида или структуры задачи, соответствующей заданной математической ситуации;

5)  постановка посылки и требования, соответствующих виду или структуре задачи и выбранной математической ситуации;

6)  подбор числовых данных;

7)  формулировка посылки и требования задачи;

8)  решение сформулированной задачи.

Соблюдение такой последовательности в процессе составления задач позволяет именно обучать школьников конструированию математических задач, ликвидируя в учебной работе возможный элемент стихийности.

Рассмотрим возможные формы работы по обучению учащихся составлению задач.

Обучение школьников составлению задач можно проводить в форме фронтальной работы, протекающей в виде эвристической беседы, в форме самостоятельной работы (в классе или дома) по карточкам, содержащим необходимые указания к выполнению заданий, а также в форме индивидуальных заданий. Важную часть работы составляет коллективное обсуждение в классе полученных индивидуальных результатов, чем достигается органическое соединение индивидуальной работы каждого ученика с коллективной работой всего класса. Нельзя добиться развития математических способностей учащихся, не развивая самостоятельности их мышления, но и нельзя также ограничивать умственное развитие учащихся одной лишь индивидуальной познавательной деятельностью.

Одним из вариантов проведения фронтальной и самостоятельной работы по составлению задач может быть использование многокомпонентных заданий [2]. Такие многокомпонентные задания образуются из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некую целостность частей. Урок, построенный на основе многокомпонентного задания, может состоять из следующих этапов: 1) решение готовой задачи по тематике урока; 2) нахождение различных способов решения исходной задачи; 3) составление и решение новых задач, аналогичных исходной, на основе анализа найденных способов решения базовой задачи; 4) составление обратной задачи и ее решение; 5) составление и решение задач, являющихся обобщениями (специализациями) того или иного уровня.

Приведем пример многокомпонентного задания, которое можно использовать на уроке обобщения и систематизации знаний по теме «Делимость целых чисел».

Задача. Докажите, что при любом целом значении m значение выражения m³+59т делится на 6.

Выполните следующие задания:

1.  Решите задачу несколькими способами. Выберите из них более

рациональный.

2.  Составьте и решите задачи, аналогичные данной:

а) изменив посылку и оставив требование без изменений;

б) изменив требование и оставив посылку без изменения;

в) изменив и посылку и требование;

г) изменив сюжет задачи.

3.  Составьте и решите, задачу, являющуюся обобщением данной.

Отметим, что не всегда многокомпонентное задание может содержать задания на все рассмотренные виды составления задач. Именно так обстояло дело в приведенном выше примере многокомпонентного задания. Тем не менее, учителю целесообразно так подбирать исходную задачу, чтобы реализовать если не все, то, хотя бы, большинство из видов составления новых задач.

В целях лучшей индивидуализации и дифференциации процесса обучения целесообразно практиковать индивидуальные задания по составлению задач. Учителю необходимо подобрать для каждого учащегося с учетом его индивидуальных возможностей задачу для решения и составить к ней задания и указания на составление задач, ею порождаемых. Такие индивидуальные задания лучше предлагать для домашней работы на длительный срок, например на 1-2 недели. Лучшие задачи, составленные учащимися, рекомендуем включать в процесс обучения на соответствующих тематике уроках. При решении таких задач на уроке следует сообщать классу фамилию автора. Этот прием имеет несколько положительных аспектов. Во-первых, у других учащихся появляется желание решить задачу, составленную своим товарищем. Во-вторых, задача изначально не вызывает «страха» у ученика («если мой товарищ, обладающий тем же или примерно тем же запасом исходных знаний, справился с составлением ее, то я должен справиться с ее решением»). В-третьих, у учащихся активизируется желание составить свои задачи с тем, чтобы и они впоследствии были продемонстрированы на уроке.

Работа по самостоятельному составлению учащимися задач должна иметь четкую мотивацию. Учителю необходимо убедить учащихся в ценности этого вида работы. Одним из возможных мотивов может быть желание школьников почувствовать себя учеными-математиками, открывающими новые математические факты. И хотя новизна получаемых учениками результатов носит субъективный характер, это не лишает ребят того удовлетворения, которым обычно сопровождается всякая творческая деятельность. По мере продвижения к старшим классам учащиеся должны все более ясно понимать, что в математике получение существенно нового результата является делом весьма нелегким. В этом учащихся могут убедить существующие, например, внутри теории чисел, классические проблемы, которые были неразрешимы в течение нескольких столетий или неразрешимы до сих пор (проблема Ферма, проблема Гольдбаха и т. д.).

Литература:

1.  Я Построение обобщений теорем // Математика в школе. – 1984. – № 5. – С. 57 – 60.

2.  , Эрдниев дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986. – 255 с.

3.  Эрн по методике арифметики. – Рига, 1915 – 188 с.

Методические особенности постановки межпредметного

факультатива на экономическом направлении обучения

Основными приоритетами осуществляемой в настоящее время модернизации образования являются создание оптимальных условий для развития познавательных интересов и творческих способностей личности каждого учащегося, учета индивидуальных особенностей и потребностей школьников, обеспечение преемственности между общим и профессиональным образованием. Для реализации указанных целей в старшем звене средней школы предусматривается профильное обучение.

Ведущее направление методической реализации профильной дифференциации обучения математике – выделение в математическом образовании старшеклассников двух составных частей: основного математического образования, обеспечивающего достижение всеми выпускниками средней школы определенных стандартов, и дополнительного, учитывающего особенности выделяемых профильных групп и отражающего взаимосвязь содержания со сферой возможной будущей деятельности учащегося.

Математика занимает особое место в системе общего и специального образования на экономическом направлении. Во-первых, она является основным компонентом общего развития личности школьника. Во-вторых - математика является учебным предметом, необходимым для продолжения дальнейшего образования на экономическом факультете вуза.

Поэтому задача математического образования учащихся профильных экономических классов должна сводиться не только к овладению учащимися определенной суммой теоретических знаний. Необходимо уделять повышенное внимание формированию у школьников способности оперировать полученными математическими знаниями в новых ситуациях, применять их для решения задач, возникающих в профильной дисциплине – экономике.

Все это вызывает необходимость взаимосвязанного изучения школьных курсов математики и экономики при обучении учащихся профильных экономических классов.

В качестве одного из ведущих средств реализации межпредметных связей в условиях профильного обучения большинство исследователей рассматривает решение прикладных задач.

Охарактеризуем роль и место прикладных задач в математической подготовке учащихся классов экономического профиля.

Отметим, что на протяжении своей жизни людям приходится решать огромное количество разнообразных задач. Более того, занимаясь различными видами практической деятельности, человек ни с чем не сталкивается так часто, и ни в чем так сильно не нуждается, как в умении самостоятельно ставить и решать, возникающие перед ним задачи. Именно решение задач, возникающих на практике, составляет основу жизнедеятельности специалиста в любой области знаний, особенно специалистов в области экономики. Поскольку именно люди, специализирующиеся в области экономики, будь то специалист – практик или аналитик на государственном предприятии или коммерческой фирме, по роду своей деятельности занимаются решением конкретных задач.

Анализируя роль задач в процессе обучения математике, необходимо отметить, что каждая предлагаемая для решения учащимся задача направлена на реализацию многих конкретных целей обучения математике. В психолого-педагогической литературе отмечается, что учебные математические задачи являются эффективным средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, создают предпосылки для развития логического мышления, овладения навыками дедуктивного рассуждения, формирования точности и лаконичности при словесном выражении своих мыслей.

Тесная связь процесса решения задач и мышления раскрыта в высказывании психолога о том, что «мышление психологически выступает как деятельность по решению задачи» [4, с.236]. Решение прикладных задач способствует развитию многих качеств мышления: самостоятельности и критичности мышления, глубине и быстроте мысли. Именно в ходе решения прикладных задач можно самым естественным образом формировать у будущих экономистов элементы творческого, экономического мышления.

Кроме того, решение таких задач требует самостоятельного применения учащимися многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять решаемую задачу с решенными ранее, устанавливать взаимосвязь между фактами и понятиями смежных дисциплин, осуществлять понятийные логические связи, конструировать математические модели, отбирать необходимую и полезную для решения задачи информацию, систематизировать ее, кратко и четко формулировать свои мысли, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления ситуации.

При решении математических задач, особенно в ходе решения прикладных задач, у учащихся формируется особый стиль мышления, который, как отмечает [5, с.26], характеризуется соблюдением формально-логической схемы рассуждений, лаконичным выражением мыслей, четкой расчлененностью хода мышления, точностью символики.

Велика роль прикладных задач в мотивации обучения математике. Ведь если у школьников нет убеждения, что изучаемая наука ему интересна, нужна и пригодится в будущем, то обучение больших успехов иметь не будет. Через решение же прикладных задач можно убедительно показать учащимся роль математики в выбранной ими специальности. Кроме того, при решении таких задач учеников можно познакомить и с особенностями будущей профессии, что будет способствовать их профессиональной ориентации.

Большое влияние прикладные задачи экономического содержания оказывают и на воспитание исследовательской культуры учащихся. Ведь решение любой такой задачи предполагает исследование реальной ситуации с использованием математического аппарата.

В ходе решения прикладных задач у учащихся также формируются такие универсальные качества личности, как стремление к познанию и постоянному совершенствованию имеющихся навыков, способность к самостоятельной и творческой деятельности, потребность в контроле и самоконтроле, умение работать с учебной и справочной литературой и т. п.

Таким образом, учитывая большую роль прикладных задач экономического содержания и математического моделирования, как составной части решения задач такого типа, в математической подготовке учащихся экономических классов, можно заключить, что решение прикладных задач является одним из ведущих приемов усиления прикладной и практической направленности обучения математике в классах экономического профиля.

Учитывая данное обстоятельство, а также то, что представления о математическом моделировании составляют общую методологическую основу для решения прикладных задач, встает вопрос об организации процесса обучения математике учащихся классов экономического профиля с учетом широких межпредметных связей школьных курсов математики и экономики.

Однако в настоящее время сложилась ситуация, когда в силу насыщенности учебного материала большим объемом теоретических сведений не представляется возможным сформировать у учащихся экономических классов целостного представления обо всем спектре практического приложения понятий и фактов, изучаемых в школьном курсе математики. Наиболее благоприятные условия для решения этой задачи имеются на факультативных занятиях по математике.

Учитывая потребности современной профильной школы, нами разработан специальный межпредметный факультативный курс для учащихся 11 классов экономического профиля, посвященный вопросам взаимосвязи школьного курса алгебры и начал анализа с курсом экономики.

Основные цели, которые ставились при разработке данного факультативного курса, формулируются следующим образом: углубление и расширение математических знаний учащихся; расширение представлений учащихся о приложениях аппарата математического анализа для решения экономических задач; совершенствование имеющихся у учащихся и формирование на их основе новых межпредметных умений; создание у школьников устойчивой положительной мотивации изучения математики в школе и вузе; расширение кругозора учащихся; содействие профессиональной ориентации; формирование мировоззрения и ряда личностных качеств учащихся.

В соответствии с отмеченными целями нами были определены специальные критерии отбора содержания межпредметного факультативного курса по математике: критерий преемственности содержания; критерий целостности содержания; критерий научной и практической значимости элементов содержания; критерий приоритета математики в содержании; критерий наглядности элементов содержания; критерий соответствия содержания возрастным и индивидуальным особенностям развития учащихся; критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения; критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению; критерий соответствия содержания имеющемуся времени.

Отбор содержания межпредметного характера определяет и выбор форм и методов организации учебно-познавательного процесса, способствующих обобщению, систематизации знаний, комплексному раскрытию учебных проблем; методов и приемов обучения, обеспечивающих перенос знаний и умений учащихся из различных предметов и их обобщение.

В результате были выделены следующие критерии отбора форм и методов обучения на межпредметном факультативе: критерий соответствия целям и задачам факультатива; критерий соответствия содержанию факультативного курса; критерий соответствия возрастным и индивидуальным особенностям развития учащихся с учетом профиля обучения; критерий соответствия воспитательным и развивающим целям обучения.

На основе данных критериев отбора содержания, методов и форм работы на межпредметном факультативе нами разработан факультативный курс «Приложение начал математического анализа в экономике» для учащихся 11 профильных экономических классов.

Приведем программу данного факультатива, изучение которого рассчитано на 16 занятий:

1.  Вводная беседа о роли математических знаний для решения экономических задач. Понятие об этапах решения прикладной задачи и о математическом моделировании. Построение и виды моделей. Особенности моделирования экономических процессов.

2.  Функции спроса и предложения. Рыночное равновесие.

3.  Оценка последствий государственного регулирования рынка.

4.  Эластичность функции: определение и основные свойства.

5.  Геометрический смысл эластичности. Эластичность элементарных функций.

6-7. Эластичность экономических функций.

8.  Суммарные, средние и предельные величины: определение, геометрический смысл, свойства.