Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 2 )

П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта ) способами, то пары объектов («и , и ») можно выбрать числом способов, равным

(9.31)

При вычислениях вероятностей событий используют формулы числа выборок трех типов, называемых размещениями, перестановками, сочетаниями.

О п р е д е л е н и е 1. Размещениями из n различных элементов по k элементов называются выборки, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Например, из трех элементов можно составить по два элемента следующие размещения:

Этих размещений 6, и они одна от другой отличаются либо элементами, либо порядком их расположения.

Число различных размещений из n элементов по k элементов обозначают . Определим это число.

Пусть имеем n элементов. Первый элемент можно выбрать n способами. Второй приходится выбирать из оставшихся элементов, поэтому второй элемент можно выбрать способами. Тогда по формуле (9.31) пары двух элементов можно образовать способами. Третий элемент придется отбирать из числа оставшихся элементов. Это можно сделать способами. Тогда опять по формуле (9.31) теперь уже тройки элементов можно образовать способами. Аналогично четверки элементов можно образовать способами, а размещения по k элементов способами. Таким образом,

= (9.32)

О п р е д е л е н и е 2. Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n.

Количество всех перестановок из n элементов обозначается символом и находится по формуле (9.32) при

(9.33)

Перестановки из n элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, но не самими элементами. Принято считать, что

(9.34)

так как пустое множество (выборка) является подмножеством любого множества и может быть упорядочено только одним способом.

О п р е д е л е н и е 3. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются выборки, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из элементов по элементов обозначается символом .Отметим разницу между размещениями и сочетаниями: в первых учитывается порядок элементов в выборке, поэтому размещения называются упорядоченными выборками; сочетания представляют собой неупорядоченные выборки. В упорядоченной выборке, содержащей элементов, порядок следования элементов можно изменить способами. Значит, число сочетаний меньше числа размещений в раз. Поэтому число сочетаний вычисляется по формуле

(9.35)

Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на получаем запись формулы (9.35) в виде

(9.36)

Формулы (9.32), (9.33), (9.36) могут быть применены для определения числа случайных событий – результатов испытаний или наблюдений.

П р и м е р 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Р е ш е н и е: Две последние различные цифры можно набрать А способами, а благоприятствовать событию А (цифры набраны правильно) будет только один способ. По классическому определению вероятности события найдем

П р и м е р 2. Найти вероятность того, что при случайном наборе четырех букв из слова «математика» будут получены буквы, из которых можно составить слово «тема».

Р е ш е н и е. Общее число равновозможных событий равно числу сочетаний из 10 букв, составляющих слово «математика», по 4, а число благоприятных событий согласно формуле (9.31) равно 2×1×2×3=12, так как буква «т» может быть выбрана двумя способами, буква «е» – одним, буква «м» – двумя и буква «а» – тремя способами. Искомая вероятность события А (составлено слово «тема»)

П р и м е р 3. Кодовый замок имеет на панели 10 цифр. Замок открывается только в случае, если одновременно набраны все цифры кода. Какова вероятность того, что замок будет открыт?

Р е ш е н и е. Пусть А есть событие – замок открыт. Общее число n равновозможных событий, состоящих в случайном наборе кода, согласно правилу сложения будет равно числу способов, которыми можно составить все сочетания , где k – число цифр кода. Следовательно,

Благоприятствует открытию замка лишь один способ, поэтому:

9.4.  Теорема сложения вероятностей

Принцип сложения вероятностей попарно несовместимых событий сформулирован в аксиоме III теории вероятностей. Пусть теперь А и В – произвольные события, которые могут быть как совместимыми, так и несовместимыми. Установим связь между вероятностью их совместного появления АВ, вероятностями событий А, В и вероятностью события А+В, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Т е о р е м а с л о ж е н и я в е р о я т н о с т е й. Если А и В – два произвольные события, то справедливо соотношение

(9.37)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим сумму событий А+В в виде очевидного равенства

где т. е. события А и несовместимы. Аналогично, можно записать

где т. е. события и также несовместимы.

Используя формулу (9.18) аксиомы III, получаем

(9.38)

(9.39)

Вычитая (9.39) из (9.38) почленно, получим

Теорема доказана.

В частном случае, если события А и В несовместимы, т. е. АВ=V и Р(АВ)=0, равенство (9.37) принимает вид

(9.40)

Справедливо и обратное утверждение: если выполняется (9.40), то события А и В несовместимы.

Для трех событий формула сложения вероятностей примет вид

(9.41)

Формулы (9.37), (9.41) выражают также вероятность произведения событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три:

, (9.42)

(9.43)

Формулы типа (9.42), (9.43) находят практическое применение при преобразованиях различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий.

9.5.  Зависимые и независимые события. Правила
умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события

При совместном рассмотрении двух случайных событий и часто возникает вопрос о том, насколько связаны эти события друг с другом и в какой мере наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого.

Пусть при выполнении некоторого комплекса условий могут произойти случайные события и с вероятностями и . Допустим, стало известно, что в результате испытания событие произошло. После получения этой информации о наступлении события вероятность события может стать другой, отличной от .

Вероятность события , при условии, что событие произошло, будем называть условной вероятностью и обозначать символом .

Если знание, что событие произошло, не изменяет вероятности события , т. е.

(9.44)

то событие называют независимым от события .

Пусть событие не зависит от , тогда из принципа умножения вероятностей (9.22) следует

(9.45)

т. е. независимость двух событий всегда взаимна.

О п р е д е л е н и е 1. События и называются независимыми, если или . В противном случае события и называются зависимыми.

П р и м е р. Бросается наугад игральная кость. Событие – выпадение четного числа очков – имеет вероятность . Событие – выпадение числа очков, большего, чем 3 – имеет ту же вероятность . Очевидно, что было бы неверно утверждать, что одно из этих событий влечет за собой с неизбежностью другое или что, наоборот, появление одного из них исключает другое событие.

Допустим, стало известно, что в результате испытания произошло событие . Из трёх случаев, к которым сводится событие (выпадение 4, 5 или 6 очков), событию будут благоприятны два – выпадение 4 или 6 очков. Поэтому . Так как , то делаем вывод, что события и зависимы. В частности, и

Принцип умножения вероятностей (9.22) легко распространить на случай, когда число событий больше двух. Например, для трех событий

(9.46)

Методом индукции находится общая формула умножения вероятностей для зависимых событий

(9.47)

Для двух независимых событий, как это следует из равенств (9.44) и (9.45) правило умножения вероятностей принимает вид

(9.48)

Справедливо и обратное утверждение: если выполняется равенство (9.48), то события и независимы. В дальнейшем независимость и будет пониматься как выполнение равенства (9.48). На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Обобщим понятие независимости событий на случай нескольких событий.

О п р е д е л е н и е 2. События называются независимыми в совокупности, если для любой их комбинации выполнено соотношение

(9.49)

Соотношение (9.49) позволяет обобщить теорему сложения вероятностей на случай независимых в совокупности событий. Действительно, в силу первой из формул (9.10), если – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности,

(9.50)

то противоположное событие (ни одно из событий не наступило) запишется как

(9.51)

Используя формулу (9.24) и соотношение (9.49) для независимых в совокупности событий получаем

(9.52)

Таким образом, вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Обозначим, для простоты записи, вероятности событий буквами :

(9.53)

Вероятности противоположных событий обозначим буквами :

Формула (9.52) в новых обозначениях примет вид:

(9.54)

В частности, если события имеют одинаковую вероятность, равную , то противоположные события имеют одинаковую вероятность, равную . Вероятность появления хотя бы одного из событий будет вычисляться по формуле

(9.55)

9.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
условной вероятности гипотез

Принципы сложения и умножения вероятностей служат для расчета вероятностей случайных событий через вероятности более простых событий. Во многих задачах оказывается полезным еще одно следствие из этих принципов.

Пусть случайное событие может произойти с условной вероятностью лишь при наступлении одного из случайных событий , образующих полную группу:

(9.56)

События будем называть гипотезами относительно события . Их вероятности будем считать известными, так как полная группа событий считается заданной, если известны их вероятности.

Тогда вероятность события может быть вычислена по следующей формуле полной вероятности:

(9.57)

Формула (9.57) читается так: вероятность события равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Для вывода этой формулы заметим, что события несовместимы между собой, но не составляют полную группу. Поэтому, применяя к событию (9.56) принцип сложения вероятностей (9.18), получим соотношение

Заменив каждое слагаемое правой части произведением

записанным согласно принципу умножения вероятностей (9.22), получим формулу полной вероятности (9.57).

Выделим важный частный случай. Противоположные гипотезы и всегда образуют полную группу. Поэтому всегда имеет место формула

(9.58)

П р и м е р 1. Для приема зачета преподаватель приготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению и 30 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же взятую наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 12 задач по интегральному исчислению?

Р е ш е н и е. Введем обозначения: гипотеза – взята задача из дифференциального исчисления; – взята задача из интегрального исчисления; событие – задача решена. Тогда

По формуле (9.57) находим вероятность сдачи зачета

П р и м е р 2. В урне было шаров, из них белых. Один шар неизвестного цвета укатился. Из оставшихся шаров наугад вынимается один шар. Вычислить вероятность того, что он будет белым.

Р е ш е н и е. Введем гипотезу : утерянный шар – белый. Пусть событие – наугад вынут белый шар. Тогда

По формуле (9.58) находим искомую вероятность

Другими словами, если неизвестен цвет шара, вынутого первым (в данном случае укатившегося), то вероятность того, что второй шар будет белым, равна вероятности вынуть первым белый шар.

В тесной связи с формулой полной вероятности (9.57) находится так называемая формула Байеса условной вероятности гипотез. Она решает следующую задачу.

Пусть произведено испытание, и в результате него наступило событие . Требуется найти условные вероятности каждой из гипотез в предположении, что событие наступило. Понятно, что, вообще говоря, послеопытная (апостериорная) вероятность гипотезы будет отлична от доопытной (априорной) вероятности . Должны возрасти вероятности тех гипотез, которые «сообщали» бóльшие вероятности событию , и – уменьшиться вероятности гипотез, «сообщавших» событию малые вероятности.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом умножения вероятностей (9.22), согласно которому напишем равенство

(9.59)

Отсюда следует

(9.60)

Соотношение (9.60) показывает, что послеопытные вероятности гипотез становятся пропорциональными тем вероятностям , которые они «сообщали» событию до опыта, с коэффициентами пропорциональности

Окончательно из равенств (9.60) и (9.57) находим

(9.61)

Полученное выражение носит название формулы Байеса. Оно позволяет найти новые вероятности гипотез , если известно, что событие произошло, т. е. найти условные вероятности гипотез .

П р и м е р 3. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний и . Их вероятности в данных условиях: и Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная реакция (болезни нет) или отрицательная реакция (болезнь есть). В случае болезни вероятность положительной реакции равна 0,9 , а отрицательной – 0,1 ; в случае болезни положительная и отрицательная реакции равновероятны.

Анализ произвели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной. Требуется найти вероятность каждого заболевания после проведенных анализов.

Р е ш е н и е. Будем считать, что результаты анализов независимы. Тогда по правилу умножения вероятностей независимых событий в случае заболевания событие (реакция отрицательная) происходит с вероятностью , а в случае заболевания – с вероятностью . Следовательно, по формуле Байеса имеем:

Отсюда видно, что полученные результаты анализов дают веские основания предполагать наличие заболевания .

Глава  10.  дискретные Случайные величины

10.1.  Понятие дискретной случайной величины

Если классическая теория вероятностей оперировала по преимуществу со случайными событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, иметь дело со случайными величинами.

О п р е д е л е н и е 1. Случайной величиной, связанной с данным испытанием, называется переменная величина , принимающая различные числовые значения в зависимости от случая.

О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина называется дискретной, если все ее значения можно пронумеровать

(10.1)

и каждому случайному событию указать определенную вероятность , причем должно выполняться равенство

(10.2)

О п р е д е л е н и е 3. Законом распределения дискретной случайной величины будем называть любое правило, заданное таблично, графически или аналитически (в виде формулы), позволяющее находить все вероятности .

О п р е д е л е н и е 4. Дискретная случайная величина считается заданной, если заданы все ее значения и известен закон распределения вероятностей.

Другими словами можно сказать, что задана полная группа событий, и события состоят в том, что случайная величина принимает то или иное значение из последовательности (10.1) с вероятностью , вычисляемой по известному закону распределения.

Если случайная величина может принимать лишь конечное число различных значений, то простейшей формой ее задания является таблица, в которой указаны возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности :