Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 1 )

В. А. М Е Р К У Л О В

КУРС

ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Избранные разделы

Р а з д е л 4

теория вероятностей

Волгоград 2004

УДК 51

ББК 22.1

М 523

Рецензенты:

, д-р физ.-мат. наук, профессор, зам. директора

по научной работе Волжского гуманитарного института

Волгоградского государственного университета;

кафедра высшей математики Волжского филиала Московского

энергетического института (ТУ)

(зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент ,

доцент, канд. техн. наук )

М 523 Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие / ВолгГАСУ. – Волгоград, 2004. – 68 с.

ISBN -8

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для инженерно-строительных и технических специальностей вузов. Оно содержит четыре независимых друг от друга раздела: «Аналитическая геометрия», «Элементы линейной алгебры», «Введение в анализ», «Теория вероятностей».

Раздел 4 «Теория вероятностей» состоит из глав 9 – 11: «Случайные события и их вероятности», «Дискретные случайные величины», «Непрерывные случайные величины». С самого начала фиксируются первичные, не подлежащие определению понятия данной теории. Их свойства формулируются в виде системы аксиом, принадлежащей . После этого все предложения теории выводятся из аксиом без обращения к посторонним понятиям.

В основу пособия положены лекции, читаемые автором с 1974 года в ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.

Предназначено для самостоятельного изучения указанных разделов студентами дневной и заочной форм обучения.

Илл. 12. Библиогр. 15 назв.

УДК 51

ББК 22.1

ISBN -8 © Волгоградский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2004

© , 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Раздел 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..............................................	5
Глава 9. Случайные события и их вероятности............................	5
9.1. Испытания и события. Поле случайных событий. Полная группа событий ............................................................... 9.2. Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и статистическое определения вероятности........ 9.3. Основные формулы комбинаторики ..................................... 9.4. Теорема сложения вероятностей ........................................... 9.5. Зависимые и независимые события. Правила умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.... 9.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса условной вероятности гипотез........................................................................	5 8 12 14 16 18
Глава 10. Дискретные случайные величины..................................	22
10.1. Понятие дискретной случайной величины ........................ 10.2. Законы распределения дискретных случайных величин..	22 23
10.2.1. Геометрическое распределение ................................. 10.2.2. Гипергеометрическое распределение....................... 10.2.3. Биномиальное распределение ................................... 10.2.4. Распределение Пуассона ............................................	23 24 25 26
10.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины ......................................................................................... 10.4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.................................................. 10.5. Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин ......................................................................... 10.6. Закон больших чисел............................................................	28 30 32 36
Глава 11. Непрерывные случайные величины................................	40
11.1. Интегральная функция распределения ............................... 11.2. Дифференциальная функция распределения. Числовые характеристики ............................................................................... 11.3. Закон равномерного распределения на отрезке................ 11.4. Показательное распределение. Показательный закон надежности ...................................................................................... 11.5. Нормальный закон распределения ...................................... 11.6. Понятие о моментах случайных величин. Асимметрия и эксцесс распределения ................................................................... 11.7. Использование теории вероятностей при обработке экспериментальных данных……………………………………......... 11.7.1. Закон распределения ошибок……………………….. 11.7.2. Оценка истинного значения измеряемой величины. 11.7.3. Оценка средней квадратической ошибки измерений……………………………………………………………..	40 42 46 48 50 55 57 57 59 62
Литература. …………………………………………………………….	63
Приложение А………………………………………………………….	64
Приложение Б………………………………………………………….	65
Приложение В………………………………………………………….	66
Приложение Г………………………………………………………….	67

Р а з д е л 4

Теория вероятностей

Глава 9. Случайные события и их вероятности

9.1.  Испытания и события. Поле случайных событий.
Полная группа событий

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных массовых явлениях. Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Первым основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Будем называть событие случайным, если при осуществлении некоторого комплекса условий событие может произойти или не произойти. Если данный комплекс условий многократно в точности повторяется, то употребляют также более короткий термин – испытание. Можно сказать, что при данном испытании случайное событие произошло (или не произошло).

Будем говорить, что событие влечет за собой событие или событие содержит в себе событие , и обозначать это свойство событий символом

(9.1)

если при наличии события обязательно произойдет событие . Например, при бросании игральной кости событие, состоящее в появлении цифры 1, влечет за собой событие , состоящее в появлении нечетной цифры, следовательно .

В общем случае, если обратное утверждение не справедливо. В приведенном примере появление нечетной цифры, т. е. события , не влечет за собой появление цифры 1, т. е. события А. Если же , а , то события и называются эквивалентными. В этом случае пишут

. (9.2)

Если, например, в урне имеются шары различных диаметров, то событие , состоящее в извлечении шара наименьшего радиуса, и событие , состоящее в извлечении шара наименьшего объема, являются эквивалентными событиями.

Пусть – некоторое событие, которое может произойти в результате испытания. Обозначим

(9.3)

событие, состоящее в том, что при данном испытании событие не произошло. называется дополнением . События и называются противоположными событиями. Очевидно, что .

Суммой (или объединением) двух событий и называется такое событие , которое состоит в осуществлении события , или события , или событий и вместе, т. е. хотя бы одного из событий и . Операцию объединения условно записывают так:

или (9.4)

Например, назовем событием появление дамы при извлечении из колоды игральной карты, а событием – появление карты масти пики. Событие происходит, если извлеченная игральная карта оказалась одной из дам либо любой картой масти пики, в том числе и пиковой дамой.

Аналогично, событие

(9.5)

состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий , и . Например, если есть появление 1, – появление 3, –появление 5 при бросании игральной кости, то есть событие, состоящее в появлении нечетной цифры. Для суммы событий справедлив сочетательный закон

. (9.6)

Произведением (или пересечением) двух событий и называется событие , которое состоит в осуществлении и события , и события . Операция пересечения событий условно записывается в виде

или . (9.7)

В приведенном выше примере с игральными картами событие происходит, если извлечена из колоды пиковая дама.

Для произведения событий выполняется сочетательный закон

(9.8)

и распределительный закон относительно суммы событий

. (9.9)

Легко убедиться также в справедливости равенств

, . (9.10)

Пусть испытание состоит в том, что из квадрата наудачу выбирается точка (рис. 74). Если обозначает попадание точки в верхнюю половину квадрата, а – попадание в левую половину, то события

обозначают попадание точки в области, указанные на рис. 74 с помощью операций (9.3), (9.4), (9.7), (9.10).

Если в результате испытания рассматриваемое событие обязательно произойдет, то такое событие называют достоверным и обозначают буквой . Если же известно, что в результате испытания событие заведомо не произойдет, то оно называется невозможным событием и обозначается буквой .

Для противоположных событий и , достоверного события и невозможного события справедливы соотношения:

(9.11)

(9.12)

О п р е д е л е н и е 1. Совокупность событий называется полем событий, если выполнение операций (9.3), (9.4), (9.7) дополнения, объединения и пересечения над событиями поля приводит снова к событиям, принадлежащим полю.

Например, поле событий, порожденное двумя случайными событиями и , состоит из

, , , , , , , ,

, , , , , , , . (9.13)

Любая из операций (9.3), (9.4), (9.7), (9.11), (9.12), выполненная над событиями (9.13), снова приводит к одному из событий (9.13).

Два события и при осуществлении некоторого комплекса условий называются несовместимыми событиями, если в результате испытания появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события и называются совместимыми. Если события и несовместимы, можно записать .

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что случайные события образуют полную группу событий, если они попарно несовместимы и если при каждом повторении испытания должно достоверно произойти хотя бы одно из них.

Для полной группы событий очевидно равенство

(9.14)

Простейшей полной группой событий является группа , так как для нее справедливы соотношения (9.11).

9.2.  Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и статистическое определения вероятности

Для практических целей недостаточно знать только то, что исследуемое событие случайно. Каждое из событий, происходящих в результате испытания, обладает своей степенью объективной возможности. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможного появления, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

Таким образом, вторым основным понятием теории вероятностей является понятие вероятности события как численной меры степени объективной возможности этого события.

В качестве единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут иметь вероятности, составляющие какую - то долю единицы. Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, которому естественно приписать вероятность, равную нулю.

Таким образом, установлены единица измерения вероятностей – вероятность достоверного события, равная единице – и диапазон изменения вероятностей любых событий – числа от 0 до 1.

Исчерпывающей математической формулировки понятия вероятности не существует. Поэтому для вычисления вероятностей сложных событий применяются, как правило, не прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям элементарных событий (вычисление этих вероятностей является предметом специальных наук) определять вероятности других, более сложных, событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, применяя которые мы всегда в той или иной мере или форме пользуемся двумя основными принципами: принципом сложения вероятностей и принципом умножения вероятностей.

Чтобы построить теорию вероятностей, непротиворечивую и свободную от ограничений, в основу ее следует положить систему аксиом, которые, так же как, например, аксиомы евклидовой геометрии, формулируются как результат жизненного опыта и практической деятельности человека. Принятая в теории вероятностей система аксиом сформулирована в начале 30-х годов ХХ века академиком .

А к с и о м а I. С каждым событием данного поля событий связывается число , называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию

(9.15)

А к с и о м а II. Вероятность достоверного события равна 1:

(9.16)

А к с и о м а III. Если событие подразделяется на попарно несовместимые события того же поля, т. е.

(9.17)

то

(9.18)

Равенство (9.18) называется принципом сложения вероятностей.

А к с и о м а IV. Если событие может быть представлено как сумма бесконечной последовательности попарно несовместимых событий, то

(9.19)

причем бесконечный ряд в правой части (9.19) предполагается сходящимся.

Эта аксиома, называемая расширенной аксиомой сложения вероятностей, необходима, так как часто приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.

Сформулированные аксиомы не определяют вероятности события относительно другого события данного поля при условии, что другое событие наступило. Поэтому, дополнительно к аксиомам, принимается в качестве определения следующий способ нахождения условной вероятности.

О п р е д е л е н и е. Условная вероятность события относительно события , если вероятность последнего отлична от нуля, равна частному от деления вероятности их произведения на вероятность события :

(9.20)

Очевидно из определения, что и

(9.21)

Из равенств (9.20) и (9.21) получаем

(9.22)

Выражение (9.22) называется принципом умножения вероятностей.

Аксиомы I – IV совместно с принципом умножения вероятностей составляют основу всей теории вероятностей. Все теоремы этой теории выводятся из них формально-логическим путем.

Рассмотрим некоторые элементарные следствия из аксиом теории вероятностей.

1) Из очевидного равенства и аксиомы III следует, что и, следовательно, вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

(9.23)

2) Так как , то из аксиом II и III следует

(9.24)

т. е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

3) Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

(9.25)

Равенство (9.25) есть следствие равенства (9.14) и аксиом II и III.

Рассмотрим здесь более подробно тот случай, когда все вероятности в формуле (9.25) равны между собой:

другими словами, когда все события полной группы равновероятны или равновозможны.

Пусть событие представляет собой сумму равновероятных событий

(9.26)

входящих в состав полной группы событий. События будем называть благоприятными для события , так как появление одного из них делает достоверным событие . События неблагоприятны для события , так как появление одного из них делает невозможным появление события . Легко видеть, что тогда в силу формулы (9.18) аксиомы III справедливо равенство:

(9.27)

Формула (9.27), называемая классическим определением вероятности, читается так: вероятность события равна отношению числа событий, благоприятных для , к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу.

Формула (9.27) позволяет решать задачи на нахождение вероятностей, если для данного испытания можно указать полную группу конечного числа несовместимых равновероятных событий. Она сводит понятие вероятности события к более элементарному понятию равновозможных (равновероятных) событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным.

Однако, французский математик XIX века Бертран на ряде примеров показал, что понятие равновероятности не самоочевидно и зависит от условий испытаний и рассуждения, что приводит к различным методам решения задач и к различным ответам к ним. Кроме того, при рассмотрении экономических задач и задач естественно-научного характера часто встречаются события, которые не распадаются на конечное или бесконечное число единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев.

В настоящее время при определении понятия вероятности события обычно исходят из эмпирического понятия частоты.

Частотой события в данной серии испытаний называется отношение числа опытов , в которых появилось событие , к общему числу испытаний . Если обозначать частоту события через , то

(9.28)

На основании длительных наблюдений над результатами большого числа различного рода испытаний подмечено, что частота появлений рассматриваемого события в различных сериях испытаний обнаруживает устойчивость, т. е. частоты в различных сериях испытаний мало отличаются друг от друга.

Объективно существующая величина, около которой группируются относительные частоты события, называется статистической вероятностью события. Если производится достаточно большое число испытаний, то частоту события можно приближенно принять за значение вероятности

(9.29)

Следует отметить, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа испытаний отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле слова. Для описания такого характера приближения частоты к вероятности вводится специальный термин: «сходимость по вероятности».

Говорят, что величина сходится по вероятности к величине , если для сколь угодно малого числа вероятность неравенства

(9.30)

с увеличением неограниченно приближается к единице.

9.3.  Основные формулы комбинаторики

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий число различных комбинаций определенного типа, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях элементов из заданного множества, а о выборках из заданной совокупности объектов, для составления которых используют два общих правила – правило суммы и правило произведения.

П р а в и л о с у м м ы. Если объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами (не такими, как ), то объект («либо , либо ») можно выбрать способами.