Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 6 )

З а м е ч а н и е. На практике вместо интеграла вероятностей (11.40) часто пользуются функцией Лапласа:

(11.46)

В этом случае в формулах (11.41) – (11.45) нужно заменить на 2. Значения интеграла вероятностей даны в

Нормальное распределение имеет в теории вероятностей очень большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях геометрических и физических величин, при массовом производстве больших партий однотипных изделий и т. п. Можно сказать, что закон распределения суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения и ничтожно мало влияющих на всю сумму, близок к нормальному распределению.

Этот факт, называемый центральной предельной теоремой, был доказан русским математиком (1857 – 1918).

11.6. Понятие о моментах случайных величин.
Асимметрия и эксцесс распределения

Если существует математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, то несобственный интеграл (11.18) сходится абсолютно. Следовательно, можно указать такое достаточно большое число С, что интеграл (11.18) будет как угодно мал при . Это означает, что в математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно. Поэтому возникает задача построения дополнительных числовых характеристик случайной величины, которые детальнее характеризуют её. Такими числовыми характеристиками являются моменты различных порядков.

Введённые ранее две основные характеристики распределения – центр распределения и дисперсия – представляют собой частные случаи моментов распределения, введённых выдающимся русским математиком для исследования законов распределения вероятностей.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.). Совершенно теми же приёмами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

О п р е д е л е н и е 1. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины; начальные моменты обозначаются так:

(11.47)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения случайной величины Х:

(11.48)

О п р е д е л е н и е 2. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется начальный момент того же порядка центрированной случайной величины ; центральные моменты обозначаются так:

(11.49)

Центральный момент первого порядка равен нулю:

, (11.50)

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю. Центральный момент второго порядка есть дисперсия:

(11.51)

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию. Моменты центрированной случайной величины аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

При изучении распределений, отличных от нормальных, возникает необходимость количественно оценить это различие. Если распределение случайной величины Х симметрично относительно ее математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все центральные моменты нечетных порядков (если они существуют) равны нулю. Действительно, в этом случае плотность распределения центрированной величины будет четной функцией , и поэтому

(11.52)

как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку.

В частности, это справедливо для нормального и равномерного распределений.

Поэтому отличие центральных моментов нечетных порядков от нуля свидетельствует об асимметрии распределения. Обычно для характеристики асимметрии используют центральный момент третьего порядка , как самый низкий (простой) из нечетных моментов. Чтобы величина, являющаяся критерием асимметрии, была безразмерной, рассматривают отношение к кубу среднего квадратического отклонения:

(11.53)

Полученная величина носит название коэффициента асимметрии или просто асимметрии. Знак указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 84).

Иногда применяют еще центральный момент четвертого порядка для характеристики «крутости», т. е островершинности или плосковершинности кривой распределения по сравнению с нормальной

кривой. Соответствующий безразмерный коэффициент называют эксцессом и определяют по формуле:

(11.54)

Если , то кривая распределения более островершинна по сравнению с нормальной кривой; если же , то сравниваемая кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная кривая (рис. 85). При этом предполагается, что нормальное и сравниваемое теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Таким образом, асимметрия и эксцесс являются двумя важными показателями отличия функции распределения от нормальной.

11.7. Использование теории вероятностей при обработке

экспериментальных данных

11.7.1. Закон распределения ошибок

Результаты любых измерений, как правило, дают, не точное, а лишь приближенные значения измеряемой величины. И чем большее число знаков удается снять с показаний приборов, тем нагляднее выступают различия между результатами измерений. По этим различным результатам нам надо оценить истинное значение а измеряемой величины. Многие методы обработки результатов измерений основаны на допущении, что результат измерения есть случайная величина, закон распределения которой принято записывать не для самих результатов измерений, а для ошибок измерений.

Ошибкой или погрешностью измерения называется разность х – а между результатом измерения х и истинным значением измеряемой величины а.

Ошибки измерений в основном можно подразделить на три группы: 1) грубые ошибки; 2) систематические ошибки; 3) случайные ошибки.

Грубые ошибки возникают от невнимательности при чтении показаний прибора, неправильной записи показаний, неправильном использовании прибора. Эти ошибки могут быть исключены соблюдением правил измерения.

Систематические ошибки происходят, например, от несовершенства приборов, от личных качеств наблюдателя и могут быть устранены соответствующими поправками.

Будем считать, что результаты измерений не содержат грубых и систематических ошибок. Однако и после устранения этих ошибок при любом данном уровне техники измерений измерения все еще будут содержать неустранимые, неизбежные ошибки, которые получили название случайных ошибок измерения. Эти ошибки вызываются многочисленными, трудно выявляемыми причинами, каждая из которых приводит лишь к незначительному разбросу результатов измерений (например, при взвешивании на аналитических весах к таким причинам относятся неконтролируемые колебания температуры и влажности воздуха, попадание соринок на взвешиваемый предмет и т. п.). Каждая из указанных причин порождает свою, так называемую элементарную ошибку измерения; реально наблюдаемая ошибка измерения является суммой большого числа таких независимых случайных элементарных ошибок и по центральной предельной теореме Ляпунова должна быть распределена нормально.

Итак, принимается положение: при отсутствии грубых и систематических ошибок ошибка измерения есть случайная величина Т, распределенная нормально, причем ее математическое ожидание М(Т) = 0, т. е. плотность вероятности величины Т равна

(11.55)

где s – среднее квадратическое отклонение величины Т, называемое также средней квадратической ошибкой измерения или стандартной ошибкой измерения (иногда просто стандартом); стандартная ошибка характеризует точность измерений.

Результат измерения, как сумма истинного значения а и случайной ошибки Т, есть также нормально распределенная случайная величина, связанная с Т зависимостью Х = а + Т. Отсюда в силу известных свойств математического ожидания и дисперсии следует

М(Х) = а, s(Х) = s(Т) = s. (11.56)

Таким образом, предполагая измерение свободным от грубых и систематических ошибок, можно считать, что возможный результат измерения есть случайная величина Х, математическое ожидание которой равно истинному значению а измеряемой величины. Так как величина Т подчиняется нормальному закону распределения, то возможный результат измерения Х = а + Т как случайная величина, линейно зависящая от Т, также подчиняется нормальному закону распределения. В этом заключается основной закон ошибок.

11.7.2. Оценка истинного значения измеряемой величины

Рассмотрим ситуацию, которая возникает при обработке результатов измерений. Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых равноточных измерений, т. е. измерений, проводимых в одинаковых условиях. Эти условия считаются выполненными, если измерения проводятся одним прибором, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют. Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую обозначим через Хi (i – номер измерения). Обозначим через х1, х2, …, хn фактически полученные результаты n измерений величины а, тогда хi есть оно из возможных значений Хi. Нам нужно оценить истинное значение постоянной а с помощью n замеров.

На основании закона больших чисел Чебышева (п. 10.6) можно утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая величина результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной а сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство

(11.57)

где величина называется средней выборочной.

Оценим точность приближенного равенства (11.57). Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок результаты измерений х1, х2, …, хn есть независимые случайные величины, распределенные нормально с параметрами М(Хi) = а, D(Xi) = s2 (i = 1, 2,… …, n).

Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение s.

Поставим задачу указать некоторый интервал со случайными границами, который накрывает истинное значение а с заданной вероятностью g = 1 – a, где положительное число a выбирают достаточно малым, близким к нулю. Если некоторое событие имеет очень малую вероятность a, то оно происходит очень редко. Поэтому в практических расчетах возможностью его появления обычно пренебрегают.

Назначение границы пренебрежимо малых вероятностей, т. е. такого уровня a, что можно пренебречь возможностью появления событий, вероятность которых меньше чем a, не является математической задачей. Это назначение происходит вне теории вероятностей и связано с существом решаемых на практике задач, с тем, насколько важен результат предсказания. После того как граница a пренебрежимо малых вероятностей уже установлена, задача сводится к рассмотрению тех событий, которые имеют вероятности большие чем g = 1 – a. Интервал со случайными границами, который накрывает истинное значение а с заданной вероятностью g = 1 – a, называется доверительным, вероятность g – доверительной вероятностью или надежностью, a – уровнем значимости. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Случайная величина

(11.58)

также имеет нормальное распределение. При этом в силу известных свойств математического ожидания и дисперсии имеем

(11.59)

Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической имеет вид:

(11.60)

Учитывая симметрию нормального распределения относительно центра а, будем строить симметричный доверительный интервал, т. е. будем искать неравенство вида

(11.61)

которое выполнялось бы с вероятностью g.

По формуле (11.44) имеем

, (11.62)

где Ф(t) – интеграл вероятностей (11.40). Соотношение (11.62) справедливо для любого значения n ³ 1. Вероятность Ф(t) не зависит от конкретных (опытных) значений, которые принимают случайные величины х1, х2, …, хn, и при возрастании числа измерений n в силу свойства функции Ф(t) возрастает. Подставляя вместо случайных величин Хi их опытные значения хi и, значит, вместо средней ее опытное значение , получим

. (11.63)

По заданной вероятности (надежности) g найдем такое число , что Ф(t) = g. Тогда неравенство

(11.64)

дает решение поставленной задачи: интервал (11.64) накрывает истинное значение а с вероятностью (надежностью) g = 1 – a, т. е. этот интервал есть доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией s2 (известным стандартным отклонением s).

Рассмотрим теперь случай, когда обе величины а и s неизвестны. Пусть случайная величина S2 определена соотношением

, (11.65)

где случайная величина определена равенством (11.58). Можно показать, что в силу свойств математического ожидания и дисперсии

(11.66)

Применим к S2 неравенство Чебышева (10.39). Получим

e > 0.

Отсюда с учетом равенств (11.66) и того, что вероятность любого события не превосходит единицы, имеем

откуда по теореме о сжатой переменной вытекает

Рассмотрим величину

(11.67)

Так как s2 есть одно из возможных значений S2, то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство

(11.68)

где определяется равенством (11.57). Величину s2 называют выборочной дисперсией, а s – «исправленным» средним квадратическим отклонением.

На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале, определяемом неравенством (11.64), пользуются формулой (11.63), где вместо s подставляют ее приближенное значение s, найденное по формуле (11.68).

Итак, для достаточно больших значений n имеем:

(11.69)

где Ф(t) – интеграл вероятностей (11.40), а и s определяются равенствами (11.57) и (11.68). Расчет по формуле (11.69) дает удовлетворительные по точности результаты при n ³ 30.

При n < 30 используют формулу

(11.70)

где значения для различных значений n и обычно задаваемых значений вероятности (надежности) g табулированы в Приложении В учебного пособия.

11.7.3. Оценка средней квадратической ошибки измерений

В теории ошибок принято точность измерений характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения s случайных ошибок измерения. Для оценки s используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s, определенное равенствами (11.68). Имеет место следующая оценка.

Вероятность того, что интервал

(11.71)

где , будет заключать среднюю квадратическую ошибку s, равна заранее заданному значению надежности g:

. (11.72)

Таблица значений для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности g приведена в Приложении В учебного пособия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория вероятностей для астрономов и физиков. – М: Наука, 1978.

2. , Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.

3. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: Изд. «Лань», 2002.

4. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969.

5. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1977.

6. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Статистика, 1977.

7. , , В. Введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1982.

8. , Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.

9. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977.

10. Школьнику о теории вероятностей. – М.: Просвещение, 1983.

11. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Гуманит. науки. Вып– Волгоград: ВолгГАСА, 2000. – С. 96 – 101.

12. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1978.

13. Элементы теории вероятностей. – М.: Наука, 1976.

14. Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1983.

15. , , Краткий курс высшей математики. Т. 2. – М.: Высш. шк., 1978.

Приложение А

Приближенные значения интеграла вероятностей

, домноженные на 105

х	0.00	0.01	0.02	0,03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	00000	00798	01596	02393	03191	03988	04784	05581	06376	07171
0.1	07966	08759	09552	10348	11134	11924	12712	13499	14285	15069
0.2	15852	16633	17413	18191	18967	19741	20514	21284	22052	22818
0.3	23582	24344	25103	25860	26614	27366	28115	28862	29605	30346
0.4	31084	31819	32552	33280	34006	34729	35448	36164	36877	37587
0.5	38292	38995	39694	40387	41080	41768	42452	43132	43809	44481
0.6	45149	45814	46474	47131	47783	48431	49075	49714	50350	50981
0.7	51607	52230	52848	53461	54070	54675	55275	55870	56461	57047
0.8	57629	58206	58778	59346	59909	60468	61021	61570	62114	62653
0.9	63188	63718	64243	64763	65278	65789	66294	66795	67291	67783
1.0	68269	68750	69227	69699	70166	70628	71086	71538	71986	72429
1.1	72867	73300	73729	74152	74571	74986	75395	75800	76200	76595
1.2	76986	77372	77754	78130	78502	78870	79233	79592	79945	80295
1.3	80640	80980	81316	81648	81975	82298	82617	82931	83241	85547
1.4	83849	84146	84439	84728	85013	85294	85571	85844	86113	86378
1.5	86639	86696	87149	87398	87644	87886	88124	88358	88589	88817
1.6	89040	89260	89477	89690	89899	90106	90309	90508	90704	90897
1.7	91087	91273	91457	91637	91814	91988	92159	92327	92492	92655
1.8	92814	92970	93124	93275	93423	93569	93711	93852	93989	94124
1.9	94257	94387	94514	94639	94762	94882	95000	95116	95230	95341
2.0	95450	95557	95662	95764	95865	95964	96060	96155	96247	96338
2.1	96427	96514	96599	96683	96765	96844	96923	96999	97074	97148
2.2	97219	97289	97358	97425	97491	97555	97618	97679	97739	97798
2.3	97855	97911	97966	98019	98072	98123	98172	98221	98269	98315
2.4	98360	98405	98448	98490	98531	98571	98611	98649	98686	98723
2.5	98758	98793	98826	98859	98891	98923	98953	98983	99012	99040
2.6	99068	99095	99121	99146	99171	99195	99219	99241	99263	99285
2.7	99307	99327	99347	99367	99386	99404	99422	99439	99456	99473
2.8	99489	99505	99520	99535	99549	99563	99576	99590	99602	99615
2.9	99627	99639	99650	99661	99672	99682	99692	99702	99712	99721
3.0	99730	99739	99747	99755	99763	99771	99779	99786	99793	99800
3.1	99806	99813	99819	99825	99831	99837	99842	99848	99853	99858
3.2	99863	99867	99872	99876	99880	99885	99889	99892	99896	99900
3.3	99903	99907	99910	99913	99916	99919	99922	99925	99928	99930
3.4	99933	99935	99937	99940	99942	99944	99946	99948	99950	99952
3.5	99953	99955	99957	99958	99960	99961	99963	99964	99966	99967
3.6	99968	99969	99971	99972	99973	99974	99975	99976	99977	99978
3.7	99978	99979	99980	99981	99982	99982	99983	99984	99984	99985
3.8	99986	99986	99987	99987	99988	99988	99989	99989	99990	99990
3.9	99990	99991	99991	99992	99992	99992	99992	99993	99993	99993
4.0	99994	99994	99994	99994	99995	99995	99995	99995	99996	99996

Приложение Б