Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 3 )

			···	···
			···	···

Она называется таблицей распределения случайной величины.

Случайная величина может быть так же задана графически в виде многоугольника распределения вероятностей. В этом случае в прямоугольной системе координат строятся точки и соединяются отрезками прямых (рис. 75).

Заметим, что значение , имеющее наибольшую вероятность, называется модой случайной величины. На рис. 75 мода равна значению .

Некоторые законы распределения вероятностей дискретной случайной величины часто встречаются при решении задач. Они получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона. Рассмотрим каждое из распределений отдельно и найдем его аналитическое выражение.

10.2.  Законы распределения дискретных случайных величин

10.2.1.  Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна и, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появится событие . Таким образом, если событие появилось в k-м испытании, то в предшествующих испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события . Очевидно, возможными значениями являются натуральные числа: .

Пусть в первых испытаниях событие не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по правилу умножения вероятностей независимых событий (9.48),

(10.3)

Полагая в формуле (10.3), получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем :

. (10.4)

По этой причине распределение (10.3) называют геометрическим. Легко убедиться, что сумма вероятностей (10.4), образующих бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, равна единице:

П р и м е р 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель Найти вероятность попадания в цель при третьем выстреле.

Р е ш е н и е.

10.2.2.  Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу следующего содержания.

Из урны, в которой шаров, в том числе белых , случайным образом последовательно извлекается шаров без возвращения их в урну. Требуется найти вероятность того, что среди них окажется ровно белых шаров.

Обозначим через случайную величину – число белых шаров среди извлеченных. Тогда возможные значения таковы: Для нахождения вероятности используем классическое определение вероятности события (9.27).

Общее число равновозможных событий, состоящих в последовательном извлечении из урны шаров, равно числу сочетаний . Число благоприятных событий (когда окажется белых шаров среди извлеченных), согласно правилу произведения (9.31) равно числу сочетаний , умноженному на число сочетаний . Таким образом,

(10.5)

Распределение вероятностей по формуле (10.5) называется гипергеометрическим. Оно определяется тремя параметрами: , , . Если и велики, то приближенно максимум вероятности достигается при

(10.6)

где есть вероятность достать белый шар при первом извлечении.

П р и м е р 2. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных.

Р е ш е н и е. Обозначим По формуле (10.5) находим

10.2.3.  Биномиальное распределение

Пусть производится испытаний, причем вероятность появления события в каждом испытании равна и не зависит от исхода других испытаний. Такая последовательность независимых испытаний называется схемой Бернулли или схемой повторной выборки (по схеме возвращенного шара).

В условиях схемы Бернулли найдем вероятность того, что при испытаниях событие наступит раз ().

Интересующая нас случайная величина – число появлений события при  - кратном повторении испытания. Возможными значениями величины служат числа Найдем закон распределения вероятностей случайной величины .

Событие означает появление события во всех испытаниях; по правилу умножения вероятностей (с учетом условия независимости) получаем

Аналогично находим где .

Событие означает, что за испытаний случайное событие наступит точно раз и, значит, раз наступит противоположное событие . Вероятность того, что событие наступит раз и не наступит раз, подсчитаем по правилу умножения вероятностей:

Эта вероятность не зависит от того, в каких именно испытаниях наступит событие . Поэтому по принципу сложения вероятностей искомая вероятность равна вероятности умноженной на число способов выбора испытаний, в которых наступит событие , из общего числа испытаний:

(10.7)

Формула (10.7) называется формулой Бернулли. Распределение вероятностей дискретной случайной величины по формуле (10.7) называется биномиальным распределением. Название связано с тем, что вероятности (10.7) совпадают с общим членом разложения бинома Ньютона по степеням . Имея в виду, что , находим:

(10.8)

Если число испытаний велико, а вероятность не очень близка к нулю и к единице, то расчеты по формуле (10.7) показывают, что значение , при котором достигает максимума, удовлетворяет двойному неравенству

(10.9)

В общем случае этому условию удовлетворяет одно целое число . В частном же случае, когда концы отрезка целые числа, – два целых числа.

Из неравенства (10.9) при больших значениях следует приближенное равенство

(10.10)

т. е. наивероятнейшим значением частоты появления события в испытаниях является вероятность того, что событие произойдет в одном испытании.

П р и м е р 3. Вероятность брака в данной партии изделий . Какова вероятность того, что в партии из 10-ти изделий будет 2 бракованных изделия?

Р е ш е н и е.

10.2.4.  Распределение Пуассона

Рассмотрим случай редких событий, когда число испытаний , а вероятность появления события , притом так, что среднее число появлений события

(10.11)

остается постоянным в каждом испытании. Примерами таких редких событий являются: «сбой» в автоматическом соединении, авария на городском транспорте, опечатка в книге, рождение близнецов, достижение столетнего возраста и т. п.

Подставляя, согласно допущению (10.11), значения

(10.12)

в формулу Бернулли (10.7), преобразуем ее следующим образом:

Пусть постоянно. Тогда с учетом, что , получим

(10.13)

Отсюда при больших и малых для искомой вероятности имеем приближенную формулу Пуассона

(10.14)

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых ( велико) и редких ( мало) событий. Используя разложение в ряд Маклорена, легко увидеть, что при этом равенство (10.2) выполняется:

. (10.15)

П р и м е р  4. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестандартных.

Р е ш е н и е. Здесь n = 1000, p = 0,004,  = n p = 4. По формуле (10.14) находим

10.3. Математическое ожидание дискретной случайной
величины

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает дискретную случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако во многих случаях достаточно знать лишь наиболее существенные числовые параметры, характеризующие распределение случайной величины. Их называют числовыми характеристиками. Одной из важнейших числовых характеристик положения случайной величины является ее математическое ожидание.

Предположим, что произведено испытаний, в которых дискретная случайная величина приняла значения соответственно раз, так что . Тогда среднее арифметическое значение величины выразится формулой

(10.16)

Так как каждый коэффициент является, согласно формуле (9.28), частотой события , то

(10.17)

Из статистического определения вероятности события следует, что при достаточно большом числе испытаний частоту можно приближенно принять за значение вероятности :

(10.18)

Поэтому

(10.19)

По аналогии с рассмотренным примером вводится понятие математического ожидания дискретной случайной величины. Пусть некоторая дискретная случайная величина задана таблицей

			···	···
			···	···

О п р е д е л е н и е 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее значений на соответствующие им вероятности:

(10.20)

Из формул (10.19) и (10.20) следует, что

(10.21)

т. е. математическое ожидание дискретной случайной величины приближенно равно ее среднему арифметическому значению.

Если на оси Ох в точках с абсциссами поместить массы , удовлетворяющие условию то абсцисса центра тяжести системы материальных точек определяется по формуле, известной из механики,

(10.22)

Формула (10.22) по виду совпадает с формулой (10.20), поэтому математическое ожидание называется центром распределения вероятностей случайной величины .

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Постоянную величину можно рассматривать как случайную величину, которая принимает лишь одно значение с вероятностью . Поэтому .

С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя определение математического ожидания (10.20), имеем

О п р е д е л е н и е 2. Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от возможных значений остальных случайных величин.

Используя последнее определение, следующие свойства примем без доказательства.

С в о й с т в о 3. Математическое ожидание суммы двух случайных независимых величин и равно сумме их математических ожиданий:

(10.23)

Следствием свойств 2 и 3 является свойство 4.

С в о й с т в о 4. Математическое ожидание разности двух случайных независимых величин и равно разности их математических ожиданий:

(10.24)

С в о й с т в о 5. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

(10.25)

Следствием свойств 1 и 4 являются свойства 6 и 7.

С в о й с т в о 6. Если все значения случайной величины уменьшить на одно и то же число , то математическое ожидание ее уменьшится на то же число :

(10.26)

С в о й с т в о 7. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

(10.27)

10.4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины

Математическое ожидание, являясь числовой характеристикой положения центра распределения вероятностей, описывает случайную величину не полностью, так как не учитывает рассеяния или разброса случайной величины относительно ее математического ожидания. Покажем это на примере. Пусть две дискретные случайные величины и заданы своими законами распределения таблично:

	–2	0	2				–100	0	100
	0,4	0,2	0,4				0,3	0,4	0,3

Тогда Несмотря на то, что математические ожидания случайных величин одинаковы, возможные значения их разбросаны или рассеяны около своих математических ожиданий по-разному. Можно сказать, что случайная величина имеет гораздо больший разброс своих значений относительно математического ожидания.