Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 4 )

По этой причине, наряду с математическим ожиданием, вводят числовую характеристику рассеяния значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания. Рассеяние случайной величины связано с отклонением этой величины от ее математического ожидания. Формула (10.27) показывает, что непосредственное осреднение отклонения с помощью математического ожидания не может дать числовой характеристики рассеяния, так как отклонения противоположных знаков в среднем взаимно погашаются, что приводит к равенству . Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины .

О п р е д е л е н и е 1. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания :

(10.28)

или в развернутом виде

(10.29)

Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата величины и квадратом ее математического ожидания:

(10.30)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу (10.28) и свойства математического ожидания, имеем

С помощью этого свойства и свойств математического ожидания устанавливаются еще четыре свойства дисперсии.

С в о й с т в о 2. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

С в о й с т в о 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

С в о й с т в о 4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

С в о й с т в о 5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин и равна сумме их дисперсий:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Иногда, для характеристики рассеяния, удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина – среднее квадратическое отклонение.

О п р е д е л е н и е 2. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(10.31)

10.5. Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин

П р и м е р 1. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, имеющей геометрическое распределение вероятностей.

Р е ш е н и е. Согласно результатам, полученным в пункте 10.2.1., таблица распределения случайной величины имеет вид:

	1	2	3	…		…
				…		…

Математическое ожидание величины выражается суммой ряда

Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат почленного дифференцирования суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

Следовательно,

,

откуда находим

(10.32)

Для определения дисперсии величины вычислим сначала математическое ожидание ее квадрата:

Для вычисления суммы ряда, стоящего в скобках, умножим на ряд:

Получим:

Дифференцируя этот ряд по , имеем:

Умножая на , получим:

По формуле (10.30) найдем дисперсию:

(10.33)

Ответ: ,

П р и м е р 2. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, имеющей биномиальное распределение вероятностей.

Р е ш е н и е. Согласно пункту 10.2.3. случайную величину будем рассматривать как сумму случайных величин , , … , выражающих число наступлений события соответственно в первом, втором, … , -м испытаниях:

(10.34)

Каждая из случайных величин может принимать только два значения: 0 – если событие не наступит в испытании с номером , и 1 – если событие наступит. Вероятности этих событий равны соответственно Следовательно, случайные величины , , … , – одинаково распределенные и независимые, а таблица распределения их имеет такой вид:

	0	1

Поэтому математическое ожидание каждой из них (при любом )

а дисперсия, согласно формулам (10.28) и (10.20), равна

Следовательно, математическое ожидание и дисперсия случайной величины , определенной формулой (10.34), согласно свойствам математического ожидания и дисперсии одинаково распределенных независимых случайных величин, равны:

(10.35)

О т в е т: .

П р и м е р 3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Р е ш е н и е. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями, определяемыми по формуле (10.14). Следовательно, математическое ожидание ее

Первый член полученного ряда равен нулю. Вынесем множитель за скобки:

Сумма ряда, стоящего в скобках, как известно из теории рядов, равна . Поэтому

(10.36)

Дисперсию вычислим по формуле (10.30). Для этого сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины :

Первый член полученного ряда равен нулю. Вынесем за скобку и сократим числитель и знаменатель каждого члена ряда на общие множители. В результате получим:

Для вычисления суммы ряда, стоящего в скобках, используем разложение в степенной ряд:

Обе части этого равенства сначала умножим на , а затем продифференцируем по . Тогда будем иметь

Умножив еще раз обе части полученного равенства на , получим:

Учитывая это равенство, выражение мы можем преобразовать так:

Теперь дисперсия случайной величины в соответствии с формулой (10.30) равна:

(10.37)

Тем самым установлен важный теоретико-вероятностный смысл параметра , который определяет распределение Пуассона: он является математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

О т в е т: .

10.6. Закон больших чисел

В практических исследованиях важно знать, в каких случаях можно гарантировать, что вероятность события будет или достаточно мала, т. е. событие будет практически невозможным, или вероятность как угодно близка к единице, т. е. событие будет практически достоверным. В предварительных исследованиях за достоверные принимаются события, вероятность которых не менее 0.95 , а при окончательных серьезных выводах – вероятности которых не менее 0.999.

Давно было замечено, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины и становится практически постоянной величиной. Теоретически объяснить такое поведение среднего арифметического можно с помощью закона больших чисел.

Под законом больших чисел понимается совокупность условий, при выполнении которых среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин сколько угодно мало отклоняется от неслучайной постоянной величины – среднего арифметического их математических ожиданий. Эти условия указываются в теореме Чебышева и в теореме Бернулли, которые носят общее название закона больших чисел. Теорема Чебышева является наиболее общим законом, а теорема Бернулли – простейшим законом больших чисел.

Рассмотрим сначала вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева.

Л е м м а Ч е б ы ш е в а. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения с вероятностями соответственно. Тогда

(10.38)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По принципу сложения вероятностей для несовместимых событий (9.18) имеем

где суммирование распространено на все значения xi ³ 1. Но для них, очевидно, . Поэтому

Но последняя сумма по определению (10.20) совпадает с . Тем самым неравенство (10.38) доказано.

Н е р а в е н с т в о Ч е б ы ш е в а. Для любой случайной величины при каждом положительном числе e имеет место неравенство

(10.39)

Неравенство (10.39) называется неравенством Чебышева. Оно имеет простой геометрический смысл (рис. 76):

вероятность попадания случайной величины в интервал ; ), где – математическое ожидание, а – сколь угодно малое положительное число, не меньше разности между единицей и отношением дисперсии к квадрату e.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случайные события и – противоположные. Поэтому (см.(9.24))

Так как событие равносильно событию

то, согласно неравенству (10.38) леммы, имеем:

Здесь использованы свойство 2 математического ожидания и определение дисперсии (10.28). Итак,

что и требовалось доказать.

П р и м е р. Оценить вероятность события , где – среднее квадратическое отклонение величины .

Р е ш е н и е. Полагая в (10.39) , получим

.

Для подавляющего большинства встречающихся на практике случайных величин эта вероятность значительно ближе к единице, чем 0,888... . Обычно, если закон распределения случайной величины неизвестен, но указаны параметры и , принимают, что диапазон практически возможных значений случайной величины есть интервал

Указанное правило принято называть «правилом трех сигм».

Т е о р е м а Ч е б ы ш е в а. (Закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной , т. е. , то для любого числа вероятность выполнения неравенства

(10.40)

где – среднее арифметическое случайных величин, а – среднее арифметическое их математических ожиданий, стремится к единице при :

(10.41)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя неравенство Чебышева (10.39) к величине , имеем

(10.42)

Пользуясь свойствами дисперсии и условием теоремы, получим

С учетом того, что вероятность любого события не превосходит единицы, из неравенства (10.42) получим

(10.43)

Наконец, переходя в неравенстве (10.43) к пределу при , по теореме математического анализа о пределе сжатой переменной приходим к искомому соотношению (10.41). Теорема доказана.

Ч а с т н ы й с л у ч а й т е о р е м ы Ч е б ы ш е в а. Если все независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания и , то

(10.44)

Из частного случая теоремы Чебышева следует теорема Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.

Т е о р е м а Б е р н у л л и. Пусть – частота наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна . Тогда для любого числа выполняется соотношение

(10.45)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Частоту события рассмотрим как среднее арифметическое одинаково распределенных дискретных случайных величин , выражающих число наступлений события в отдельных испытаниях:

Согласно примеру 2 п. 10.5 имеем

,

Тогда из формулы (10.44) сразу получаем соотношение (10.45), что и доказывает теорему Бернулли.

Отсюда видно, что теорема Бернулли объясняет, почему при достаточно большом числе испытаний частота обладает устойчивостью и оправдывает статистическое определение вероятности (9.29).

Закон больших чисел лежит в основе многообразных физических явлений, различных видов страхования, планирования ассортимента товаров широкого потребления. В законе больших чисел находит свое научное обоснование широко применяемый в экономической статистике выборочный метод.

Глава 11. Непрерывные случайные величины

11.1. Интегральная функция распределения

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной величины, нельзя построить таблицу распределения вероятностей. Поэтому непрерывные случайные величины изучаются другим способом.

Пусть – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала и – действительное число.

О п р е д е л е н и е 1. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины называется функция , равная вероятности того, что приняла значение, меньшее :

(11.1)

Будем говорить что известно распределение непрерывной случайной величины , если известна ее функция распределения .

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

С в о й с т в о 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :

(11.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство вытекает из определения (11.1): вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

С в о й с т в о 2. – неубывающая функция, т. е.

(11.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Событие « примет значение, меньшее » можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: « примет значение, меньшее » и « примет значение, удовлетворяющее неравенствам ». Обозначим их вероятности соответственно и . По принципу сложения вероятностей двух несовместимых событий имеем

Отсюда с учетом (11.1) и (11.2)

(11.4)

Следовательно, , что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е 1. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна приращению на нем функции распределения:

(11.5)

Это важное следствие вытекает из формулы (11.4), если принять и .

О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная дифференцируемая функция с непрерывной производной во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек на любом конечном интервале.

С л е д с т в и е 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо заранее заданное значение , равна нулю:

(11.6)

Действительно, положив в формуле (11.4) , будем иметь

(11.7)

Так как – непрерывная функция, то, переходя в равенстве (11.7) к пределу при , по второму определению непрерывности в точке имеем ; следовательно,