Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 4: Теория вероятностей: Учеб. пособие (стр. 5 )

Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств

(11.8)

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

С в о й с т в о 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1)  при ; 2)  при .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть . Тогда событие невозможно по условию и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть . Тогда событие достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

С л е д с т в и е 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ох, то справедливы предельные соотношения:

11.2. Дифференциальная функция распределения.
Числовые характеристики

О п р е д е л е н и е 1. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины или ее плотностью вероятности называется функция , равная производной интегральной функции распределения:

(11.9)

Плотность вероятности имеет следующие свойства.

С в о й с т в о 1. Плотность вероятности – неотрицательная функция:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция распределения – неубывающая функция, то ее производная

С в о й с т в о 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от :

. (11.10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как является первообразной для , то на основании формулы Ньютона – Лейбница имеем

(11.11)

Теперь с учетом соотношений (11.5), (11.8), (11.11) получим

С в о й с т в о 3. Несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от равен единице:

. (11.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с формулой (11.10) несобственный интеграл в (11.12) выражает вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала . Но это событие достоверное, а потому вероятность его равна единице.

С л е д с т в и е. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то

.

Плотность вероятности и функция распределения случайной величины взаимно определяют друг друга. Действительно, если известна функция распределения , то плотность вероятности найдется по определению (11.9):

Наоборот, зная плотность вероятности , можно найти функцию распределения :

(11.13)

Таким образом, для полной характеристики непрерывной случайной величины достаточно задать или функцию распределения , или ее плотность вероятности . Однако в большинстве случаев имеют дело с плотностью вероятности из-за удобств при теоретических исследованиях и из-за простых геометрических и вероятностных интерпретаций.

Остановимся подробнее на геометрической и вероятностной интерпретациях выведенных формул и свойств функций и .

О п р е д е л е н и е 2. Кривой распределения непрерывной случайной величины называется график ее плотности вероятности (рис. 77).

Плотность вероятности , поэтому ни одна точка кривой распределения не может лежать ниже оси . Если случайная величина принимает все значения числовой прямой, то ось служит асимптотой кривой распределения.

Как следует из формулы (11.13) и геометрического смысла несобственного интеграла, вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее : численно равна

левой заштрихованной площади полубесконечной фигуры на рис. 77. Вероятность же того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала численно равна площади криволинейной трапеции (см. рис. 77). Этот вывод получаем из формулы (11.10) и геометрического смысла определенного интеграла.

Формула (11.12) геометрически означает, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Поясним смысл названия «плотность вероятности» . По теореме о среднем значении непрерывной функции из формулы (11.10) получаем среднее значение плотности вероятности на интервале :

где с – некоторая точка из , .

Представим себе, что интервал стягивается к точке . Тогда по теореме о сжатой переменной и по свойству непрерывности на получаем

(11.14)

Предел (11.14) естественно рассматривать как плотность вероятности в точке. Отсюда и название для функции – плотность вероятности.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение непрерывной функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

или, так как то

(11.15)

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу приближенно равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала

Используя (11.15), распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные.

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности . Допустим, что все возможные значения принадлежат отрезку . Разобьем этот отрезок на частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку . Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал :

(11.16)

Сумма (11.16) есть интегральная сумма функции на отрезке , поэтому ее предел при выражается определенным интегралом .

О п р е д е л е н и е 3. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

(11.17)

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

(11.18)

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует

Если бы требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к , а верхнего – к .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

О п р е д е л е н и е 4. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

(11.19)

если возможные значения принадлежат всей оси , то

(11.20)

Нетрудно получить для вычисления дисперсии и более удобные формулы:

(11.21)

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, формулой

(11.22)

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной величины имеют те же свойства, что и для дискретной величины.

11.3. Закон равномерного распределения на отрезке

При решении задач, возникающих в практике, приходится иметь дело с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности вероятности непрерывных случайных величин называют также законами распределения. Часто встречаются, например, законы равномерного, показательного и нормального распределений.

О п р е д е л е н и е. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины , принимающей все свои значения из отрезка , называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.

(11.23)

Примерами равномерного распределения являются:

1)  – время ожидания на остановке автобуса (величина распределена равномерно на отрезке , где – интервал движения между автобусами);

2)  – ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от округления результата взвешивания до ближайшего целого числа (величина имеет равномерное распределение на отрезке , где за единицу принята цена деления шкалы).

Значение постоянной определяется из условия (11.12), которому удовлетворяет любая плотность вероятности:

Отсюда следует: . График изображен на рис. 78.

Определим интегральную функцию распределения по формуле (11.13):

(11.24)

График функции показан на рис. 79.

Определим, наконец, основные числовые характеристики случайной величины , подчиненной закону равномерной плотности на отрезке :

(11.25)

11.4. Показательное распределение. Показательный закон надежности

О п р е д е л е н и е. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется показательным, если плотность вероятности есть

(11.26)

где – постоянная положительная величина. Легко проверить, что условие нормировки (11.12) здесь выполнено.

Показательный закон распределения встречается во многих задачах теории массового обслуживания, теории надежности технических устройств, в военном деле, в задачах автоматизации производства и организации систем сообщений.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Итак,

(11.27)

Графики плотности вероятности и интегральной функции распределения показательного закона изображены на рис. 80.

Используя формулы (11.18) и (11.21), по заданной плотности вероятности (11.26) методом интегрирования по частям найдем математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(11.28)

(11.29)

Среднее квадратическое отклонение, согласно (11.22), равно

(11.30)

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой и обратны величине параметра .

Рассмотрим пример использования показательного распределения в теории надежности. Пусть элемент некоторого устройства начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит его отказ. Обозначим через непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Тогда функция распределения

(11.31)

определяет вероятность отказа за время длительностью . Вероятность безотказной работы элемента за то же время , как вероятность противоположного события , будет равна

(11.32)

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательный закон распределения с плотностью вероятности при , интегральная функция распределения которого . Тогда вероятность безотказной работы элемента есть функция распределения вида

(11.33)

где – интенсивность отказов (среднее число отказов, приходящихся на единицу времени).

Функцию вида (11.33), определяющую вероятность безотказной работы элемента за время , называют показательным законом надежности.

П р и м е р. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( – время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Р е ш е н и е. По условию . Следовательно,

11.5. Нормальный закон распределения

Среди всех непрерывных распределений вероятностей случайной величины наиболее часто встречается на практике распределение с плотностью вероятности

(11.34)

Такое распределение называется нормальным законом распределения с параметрами . Множитель выбран из условия (11.12) нормировки плотности .

Выясним, прежде всего, вероятностный смысл параметров и путем вычисления основных числовых характеристик нормального распределения и . Будем использовать в вычислениях известный интеграл Эйлера – Пуассона:

(11.35)

По формуле (11.18) имеем

Введя новую переменную

(11.36)

получаем:

Следовательно, с учетом (11.35)

Итак,

(11.37)

Значение параметра в формуле (11.34) равно математическому ожиданию рассматриваемой случайной величины. Точка для закона нормального распределения является центром распределения вероятностей. При функция имеет наибольшую ординату (рис. 81). Кривая нормального распределения, называемая кривой Гаусса, симметрична относительно прямой и сдви

гается вдоль оси вправо при и влево при , не меняя своей формы.

Вычислим дисперсию по формуле (11.20), применив вновь замену переменной (11.36), формулу (11.35) и используя метод интегрирования по частям:

так как при . В соответствии с формулой (11.22) среднее квадратическое отклонение будет равным

(11.38)

Параметр , имеющий размерность случайной величины , характеризует форму кривой нормального распределения.

На рис. 82 показаны три нормальные кривые при для значений . Рассматривая их, видим, что при уменьшении вероятность значений, близких к центру распределения , увеличивается, а при увеличении – уменьшается. При этом в последнем случае сама кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс, так как площадь фигуры под кривой распределения всегда должна оставаться равной единице.

Заметим, что при и кривую

(11.39)

называют нормированной. Она симметрична относительно оси ординат (в силу четности ), при имеет максимум, равный , и имеет две точки перегиба при . При кривая асимптотически приближается к оси , причем весьма быстро, например, уже .

Интеграл от плотности (11.39) не выражается через элементарные функции. Для расчета вероятностей случайных величин с нормальным распределением составлены таблицы специальной функции

(11.40)

называемой интегралом вероятностей. Функция нечетная, т. е. . График приведен на рис. 83.

При изменении от до функция возрастает от значения до значения , причем возрастает очень быстро: уже

С помощью интеграла вероятностей можно вычислить вероятность попадания случайной величины со стандартным нормальным распределением с параметрами в любой интервал :

т. е.

(11.41)

В частности, для симметричного интервала получаем

(11.42)

Последнее соотношение позволяет толковать интеграл вероятностей (11.40) при как вероятность попадания в симметричный интервал для случайной величины со стандартным нормальным законом распределения.

Расчет вероятностей в общем нормальном распределении (11.34) производится с помощью интеграла вероятностей по формулам (11.41) и (11.42) следующим образом. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна интегралу

(11.43)

В частности, вероятность отклонения величины от центра распределения вероятностей (т. е. от математического ожидания) меньше, чем на , равна

(11.44)

Например,

(11.45)

Формулу (11.45) обычно трактуют следующим образом: для нормально распределенной случайной величины практически достоверно, что ее отклонения от центра не превосходят утроенного среднего квадратического отклонения (так называемое «правило трех сигм»).

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.