Математика. Учебно-методический комплекс (стр. 21 )

На титульном листе тетради должны быть написаны наименование дисциплины, наименование факультета, курс, фамилия, имя, отчество.

В начале работы или на титульном листе должны быть указаны номера задач, выполненных в контрольном задании.

Перед решением каждой задачи надо полностью записать ее условие. Решение задач должно включать развернутые расчеты и краткие пояснения, экономический анализ полученных результатов. В конце контрольной работы привести список использованной литературы и поставить свою подпись.

В процессе выполнения контрольной работы студент может получить на кафедре устную или письменную консультацию.

Допущенную к защите контрольную работу вместе с рецензией на нее студент должен представить на собеседование.

Студент, не выполнивший контрольную работу и не прошедший собеседование, к экзамену не допускается.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
(К/Р IV СЕМЕСТР)

Тема 1. Модели оптимального планирования

Студентам следует обратить внимание на содержание существующих хозяйственных планов, методы их составления и освоить математические методы и модели, позволяющие установить их оптимальность.

Планирование обычно связано с распределением различного вида ресурсов: финансовых, трудовых, энергетических, материальных, технических, природных, товарных и других, поскольку они и позволяют решать различные задачи торговли. Причем выделенные ресурсы необходимо распределить наиболее экономичным образом. Задачу планирования оптимальной структуры товарооборота коммерческого предприятия на заданный период можно представить с учетом, например, следующих показателей:

bl – ресурсы рабочего времени продавцов квалификации l;

alwj – нормативы затрат труда продавцов квалификации l на единицу

товарооборота w-го товара j-й товарной группы;

aswj – плановые нормативы полезной площади предприятия для продажи

товаров по каждой группе;

S – общая площадь торгового предприятия;

ahwj – плановые нормативы издержек обращения по позиции h: зарплата,

транспортные расходы и т. д.;

bh – предельно допустимые величины издержек обращения по позиции h;

Pwj – цена w-го товара j-й группы;

qwj – установленные ранее объемы продажи товаров по товарным группам

на планируемый период Т;

– величина торговой скидки на единицу соответствующего товара;

cwj – издержки обращения на единицу товара;

xwj – объем продажи w-го товара j-й товарной группы ;

n – число товарных групп;

Kj – количество товарных позиций в j-й товарной группе.

Задача заключается в определении таких оптимальных объемов продаж товаров xwj по каждой товарной группе которые бы и обеспечивали максимум дохода торгового предприятия в соответствии с целевой функцией вида

при следующих ограничениях:

Экономическая интерпретация математических моделей оптимального планирования охватывает очень широкий спектр приложений торговой практики, часть из которых необходимо построить в задачах № 1-20.

Тема 2. Системы и модели массового обслуживания

Изучение этой темы следует начать с освоения основных терминов и определений – обслуживание, заявка, очередь, канал обслуживания, поток заявок, система массового обслуживания (СМО).

Следует иметь ввиду, что в коммерческой деятельности задачи обслуживания приходится решать на всех уровнях управления работниками всех профессий: продавцами, грузчиками, товароведами, бухгалтерами, кассирами, фасовщиками, заведующими, директорами, министрами.

Заявка на обслуживание может исходить от перечисленных выше работников или каких-либо других объектов разной природы товаров, документов, денег, торгового оборудования, покупателей, ревизоров и т. п. Характерным для этих сфер деятельности является массовость, т. е. поступление целого потока заявок, которые могут образовывать, например, очереди в ожидании обслуживания.

Входной поток заявок, очередь, узел обслуживания и входной поток образуют систему массового обслуживания (СМО).

К СМО можно отнести универсамы, столовые, рестораны магазины, кафе, секции, овощехранилища, склады оптовых и торгово-закупочных баз, отделы заказов, торги и т. п.

Входящий поток заявок для большинства анализируемых СМО предлагается пуассоновским с интенсивностью , который определяется как среднее число заявок, поступающих в единицу времени: чел./ч.; авт./день; руб./ч.; док./день; чеков./ ч.; кг/день.

Длительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью, характеризующей среднее число заявок обслуживаемым одним каналом в единицу времени: пок./ч.; авт./день; руб./ч; кг/день; т/нед.

Важной характеристикой, объединяющих оба этих показателя, является интенсивность нагрузки, по которой определяется устойчивость СМО:

Из множества показателей СМО в качестве критерия экономической эффективности СМО можно выбрать общие издержки Cсмо, включающие издержки обращения Сио и издержки потребления Сип, которые в сумме должны быть минимальны. На этом основании целевую функцию можно записать так: Ссмо=(Сио+Сип)min.

Модели СМО с ограниченной длиной очереди для решения задач № 21-25

1. Доля времени простоя каналов или вероятность простоя узлов обслуживания, когда нет заявок k=0:

P0=1:

где

причем 0!=1,0.

2. Вероятность отказа в обслуживании или доля потерянных заявок:

.

3. Относительная пропускная способность или вероятность обслуживания:

Робс=1-Ротк.

4. Абсолютная пропускная способность:

А=Робс.

5. Среднее число занятых узлов обслуживания:

nз=

6. Вероятность того, что узлы заняты обслуживанием:

Рзан=Р0.

7. Среднее время ожидания обслуживания:

8. Среднее время пребывания заявки в СМО:

смо=оч+обс.

Модели СМО с ожиданием для решения задач № 26-30

1. Вероятность простоя узлов обслуживания СМО, когда нет заявок,

k=0:.

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:

Pk =Р0.

3. Вероятность наличия очереди в системе:

Pоч=Р0

4. Среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживании:

L.

5. Среднее время ожидания в очереди:

.

6. Среднее время пребывания в СМО:

.

7. Число узлов, не занятых обслуживанием:

.

8. Среднее число заявок в СМО:

9. Коэффициент занятости узлов обслуживанием:

Тема 3. Игровые методы и модели в торговле

При изучении этой темы следует иметь ввиду, что при решении задач возникает необходимость выбора оптимального экономического решения не только в условиях определенности, но и в условиях риска и неопределенности. Особенностью таких условий является неясность исходов, последствий выбираемых решений одной стороной, обусловленных или влиянием случайных факторов, или неизвестностью поведения, реакции, например, покупателей на новые виды товаров; неясностью погодных условий при перевозки грузов; недостаточной информированностью о торговых операциях, закупках, сделках; наличием очень большого числа вариантов поведения противоположной стороны. В таких случаях наблюдаются разнообразные по своей природе противоречия или столкновения интересов, целей и т. д. участвующих сторон.

Решением подобного рода задач и занимается теория игр и статистических решений, позволяющая находить оптимальные решения в условиях риска и неопределенности.

Схематизированное описание (математическая модель) конфликтной ситуации называется игрой; стороны – участники конфликта (отдельные лица или коллективы) называются игроками, а исход конфликта выигрышем.

Задача состоит в выборе такого решения, которое обеспечивает наибольший выигрыш или наименьший проигрыш.

Неопределенность в коммерческой деятельности связана с действием заранее непредсказуемых внешних и внутренних факторов в процессе работы организаций и предприятий. В этом случае между сторонами, участниками отсутствует “антагонизм”, и такие ситуации называют “играми с природой”, а решаются с помощью методов теории статистических решений.

Первая сторона (например, торговая организация) выбирает решение стратегии, а вторая сторона “природа” не оказывает первой стороне сознательного, активного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Пусть Т – коммерческое предприятие имеет m стратегий: Т1, Т2, Т3,...,Тi,...,Тm и допустим имеется n возможных состояний “природы”: П1, П2, П3,...,Пj,...,П. Поскольку “природа” не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью выигрышей bij, первой стороны для каждой пары стратегий Тi и Пj. Все показатели игры записываются в виде матрицы , которая называется платежной.

Неоднозначность и неопределенность условий (в силу вероятного описания) не позволяют получить одну количественную (единую) оценку вариантов решений. Более наглядный показ условий неопределенности дают характерные оценки платежной матрицы, получаемые для конкурирующих вариантов. Каждая из этих оценок является односторонней и не внушает полного доверия, однако вычисление их для анализа необходимо. Рассмотрим наиболее интересные из них.

Минимальный выигрыш:

Bimin=

определяется как наименьшая из величин в строке (наиболее пессимистическая оценка).

Максимальный выигрыш:

Bimax=

Определяется как наибольшая из величин строки платежной матрицы и характеризует то наилучшее, что дает выбор этого варианта (оптимистическая оценка).

При анализе “игры с природой” вводится показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние “природы” влияет на исход ситуации. Этот показатель называется риском .

Риском при пользовании стратегией Ti и состоянием “природы” Пj называется разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянием “природы” и выигрышем Вij при выбранной стратегии Ti

=

Пользуясь этими положениями, строим матрицу рисков .

Теперь можно записать еще одну характерную оценку: максимальное значение риска для каждого решения Ti.

rimax=max rij..

Для решения игровых задач существуют специальные критерии принятия решения.

1. Критерий, основанный на известных вероятностях состояния природы, например, покупательского спроса, по данным анализа за прошлые годы:

а) если в этом случае известны вероятности состояний “природы”

Р1=Р(П1), Р2=Р(П2), Р3=Р(П3),...,Рn=P(Пn),

и при этом полагаем, что р1+р2+р3+...+рn=1,0 ,то в качестве показателя эффективности стратегии Тi берется среднее значение (математическое ожидание) – выигрыш при применение этой стратегии:

а оптимальной стратегией считается такая, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, т. е.

б) если каждому решению Ti соответствует множество возможных результатов Bij с вероятностями соответственно pij, то среднее значение выигрыша определяется по формуле:

а оптимальной является такая стратегия, для которой получается максимальная величина

В этом случае можно пользоваться значением среднего риска

который следует выбрать минимальным, т. е. определить такую стратегию Т, для которой величина r обращается в минимум:

2. Максиминный критерий Вальда. Выбирается решение торговой организации Tw, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях:

3. Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм – пессимизм) придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего так и наилучшего поведения природы. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается та, для которой эта величина окажется наибольшей.

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. По этому критерию выбирается та стратегия, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

Сущность критерия заключается в том, чтобы избежать большого риска при выборе решения.

Каждый из этих критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их комплексный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных решений.

Тема 4. Методы и модели сетевого планирования и управления

Студентам следует изучить особенности задач, решаемых методами СПУ, которые заключаются в многосвязности и взаимообусловленности множества работ, состоящих в логической связи и очередности выполнения и в целом представляют комплекс. К таким задачам относятся: открытие нового коммерческого предприятия, проведение капитального ремонта, подготовка и проведение оптовых и розничных ярмарок, перевод магазина на самообслуживание, строительство магазина, базы, разработка плана развития торговой сети, организация поставки товаров в городе и др.

В содержании сетевого моделирования следует обратить внимание на основные понятия, определения и графические обозначения: работ, событий фиктивных работ, путей, критических путей, сетевой модели.

Необходимо усвоить порядок подготовки задач к решению методами СПУ, который включает ряд этапов: расчленение комплекса работ на элементарные, пояснение логических связей между работами, очередности их выполнения, указание предшествующих (опорных) для каждой работы, определение ресурсов (длительность, затраты) для выполнения каждой работы, установление правил вычисления для случая возможного перераспределения ресурсов, представление всех сведений компактно, в виде специальной структурно-временной таблицы.

Особенно необходимо обратить внимание на экономико-математическую постановку задачи, выявление ее показателей в качестве которых, например, могут быть:

B – общие затраты по выполнению всего комплекса работ;

T – время выполнения всего комплекса работ;

bi – выделенные ресурсы для i-й элементарной работы;

ai – обозначение i-й элементарной работы;

ti – длительность выполнения элементарной работы аi выделенными ресурсами bi;

n – число работ, n=12

сi – коэффициент пересчета ресурсов, сi=.

Из них осуществляют выбор экономического показателя эффективности, по которому определяется успех выполнения всего комплекса работ, например, время выполнения работ Т или общие затраты В. В качестве критерия эффективности, например, выбираем Т – время, которое желательно иметь минимальным из возможных значений.

Следует иметь в виду, что первый вариант распределения ресурсов В по элементарным работам bi определяет ti длительности их выполнения, т. е. ti=f(bi). На этом основании целевую функцию в обобщенном виде можно записать так:

min

Задача состоит в поиске минимального значения времени выполнения всего комплекса работ при заданных ограниченных ресурсах В путем их оптимального распределения между работами.

Поскольку управляемыми параметрами являются ресурсы элементарных работ bi, определяющие длительность их выполнения ti, то мы будем стремиться найти новый вариант распределения ресурсов В путем переноса с одних работ части ресурсов на другие так, чтобы общий срок выполнения комплекса был минимальным.

Формально постановку задачи можно представить таким образом:

найти новый вариант перераспределения ограниченных ресурсов В между элементарными работами:

b10 + b20 + b30 + ... + b120 = B

и такие неотрицательные значения длительности их выполнения

t10, t20, t30 ,...,t120 ,

которые при заданных ограничениях

обращали бы в минимум функцию цели.

Построение сетевых моделей производят по определенным правилам: строится трафарет событий; наносят на трафарет в соответствии со структурно-временной таблицей последовательно все работы м события, между одной парой событий может быть изображена только одна работа. Если две пары работ начинаются параллельно в одном событии и оканчиваются в другом узле, то вводят фиктивную работу с нулевой продолжительностью и фиктивное событие, чтобы избежать параллельных стрелок; на сетевом графике не должно быть стрелок, которые ни откуда не выходят и никуда не входят; проводится преобразование геометрии взаимного расположения работ и событий к виду, удобному для восприятия в целом, например, устраняются пересечения на графике, проводится нумерация событий слева направо и сверху вниз и др.

При решении задач № 41-50 следует придерживаться следующей последовательности.

Строят сетевой график на основе исходных данных задачи в соответствии со структурно-временной таблицей.

Определяют все возможные пути перехода из начального бытия в конечное. Анализ сетевой модели проводят с целью выявления резервов и наиболее напряженных операций.

Вычисляют длительности всех путей перехода Т1, Т2, Т3... от начального события к завершающему. Это необходимо для определения времени выполнения всего комплекса работ для первоначального варианта распределения ресурсов.

Определяют критический путь и его длительность по модели:

Длительность пути Ткр максимальна, не включает целого ряда работ других путей, но они выполняются параллельно, поэтому за это время Ткр все работы комплекса будут выполнены. Следовательно, минимальное время, за которое может быть выполнен весь комплекс работ, составляет Ткр. Этот путь называют критическим, он не имеет резерва, поскольку его работы наиболее напряжены и запаздывание сроков выполнения любой работы сразу приводит к увеличению продолжительности выполнения всего комплекса, а в итоге – к невыполнению плановых заданий.

Находят резервы времени по каждому пути Тi по формуле:

Ri=(Tкр - Тi).

Строят сетевой график в масштабе времени, начиная с критического пути Ткр, у которого Rкр=0, для определения работ комплекса, которые непосредственно имеют резервы. При этом сталкиваются с необходимостью введения фиктивных работ и фиктивных событий в местах расположения резервов.

Оптимизацию сетевого плана проводят последовательно по этапам путем переноса на работы аj критического пути Ткр с некритических работ а части средств хi(т. е. хi<bi), которые находят математическими методами. Задача оптимизации решается методом последовательного перехода от одного пути к другому до тех пор, пока все работы не будут лежать на критических путях и не будут иметь резервов времени. Перенося резервы с некритических работ на критические, мы будем увеличивать некритический путь и уменьшать критический до тех пор, пока не совпадут длительности всех путей. Для этого вначале располагают длительности всех путей последовательно, в порядке увеличения их резервов и начинают оптимизацию с первой пары путей Ткр и ближайшего по длительности к критическому. Это позволяет в итоге получить новый вариант распределения ресурсов b10 + b20 + b30 + ... + bn0 = B и соответственно другие длительности работ ti0, участвующих в оптимизации и приводящих к тому, что все работы комплекса будут критическими, не иметь резервов для сокращения длительности времени выполнения всего комплекса работ.

Строят оптимальный сетевой план работ с учетом новых значений длительностей работ, которые изменились в процессе оптимизации. Этот план является оптимальным, поскольку все его работы лежат на критических путях и не имеют резервов. Следует заметить, что поскольку мы переносим резервы с некритических работ на критические произвольно, полученный оптимальный план не является единственным.

Определяют экономию по критерию времени по формуле:

Э=(Ткр - Топт).

8. Вопросы для подготовки к экзамену 1-ый семестр

1. Понятие функции. Способы задания функций. Примеры. Элементарные функции.

2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Примеры.

3. Предел функции (два определения). Основные теоремы о пределах. Второй замечательный предел.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел, его геометрический смысл.

5. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.

6. Функции, непрерывные на отрезке (определение). Свойства функций, непрерывных на отрезке.

7. Производная функции её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность функции.

8. Производные элементарных функций.

9. Основные правила дифференцирования.

10. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

11. Теорема Ферма (с доказательством).

12. Теорема Ролля (с доказательством).

13. Теорема Лагранжа (с доказательством).

14. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

15. Возрастание и убывание функции. Исследование возрастания и убывания функции с помощью производной.

16. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

17. Формулы Тейлора и Маклорена.

18. Выпуклость графика функции. Исследование выпуклости с помощью второй производной. Точки перегиба.

19. Асимптоты. Общая схема исследования функций.

20. Эластичность функции, анализ спроса и предложения.

21. Простейшие оптимизационные задачи в области коммерции.

22. Решение задачи о хранении вина.

23. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность, частные производные и дифференциал.

24. Производная функции двух переменных по направлению. Градиент и его свойства.

25. Необходимое и достаточное условия локального экстремума функции двух переменных.

26. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

27. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла.

28. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.

29. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

30. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

31. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

32. Геометрические приложения определенного интеграла.

33. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

34. Несобственные интегралы. Определение, примеры.

35. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, интегральные кривые. Общее и частное решения.

Задача и теорема Коши.

36. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

37. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теоремы об общем решении.

38. Метод вариации постоянных.

39. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теоремы об общем решении.

40. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

41. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

42. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.

43. Теорема сравнения рядов. Примеры применения теоремы.

44. Признак Даламбера сходимости ряда, интегральный признак Коши.

45. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

46. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Примеры.

47. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

2-ой семестр

1. Системы линейных уравнений, основные понятия. Метод Гаусса.

2. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Решение неопределенных систем линейных уравнений.

Общее, частное и базисное решения системы линейных уравнений.

3. Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.

4. Определители n-го порядка и их свойства.

5. Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.

6. Обратная матрица и способы ее нахождения.

7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n - мерное векторное пространство Rn

Геометрический смысл пространств и .

9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.

10. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

11. Базис пространства . Разложение вектора по произвольному базису.

12. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.

13. Прямая и плоскость в пространстве.

14. Основная задача линейного программирования. Геометрический метод решения задачи ЛП с двумя переменными.

15. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.

16. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическая вероятностная схема.

17. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий. Геометрическая вероятность.

16. Теорема сложения вероятностей.

19. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.

20. Формула полной вероятности.

21. Формула Бейеса.

22. Вероятность событий в схеме Бернулли.

23. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.

24. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

25. Ряд распределения, полигон и функция распределения дискретной случайной величины.

26. Плотность распределения и функция распределения непрерывной случайной величины.

27. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины.

28. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной и непрерывной случайной величины.

29. Распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона. Их числовые характеристики.

30. Равномерное и показательное распределения, их числовые характеристики.

31. Нормальное распределение и его числовые характеристики.

32. Понятие случайного вектора на примере системы двух случайных величин. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин. Условные законы распределения. Независимые случайные величины.

33. Числовые характеристики системы случайных величин.

34. Предельные теоремы теории вероятностей.

35. Статистические оценки.

3 семестр

1. Задачи математического и линейного программирования.

2. Математические модели простейших экономических задач (задача использования ресурсов, задача о составлении рациона питания).

3. Каноническая форма задачи линейного программирования, различные виды ее записи.

4.Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.

5.Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными.

6. .Графический метод решения задач линейного программирования с многими переменными.

7. Свойства решений задач линейного программирования.

8. Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками области допустимых решений.

9. Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению.

10. Преобразование целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому.

11. Теорема об улучшении опорного решения, ее следствия.

12. Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования.

13. Виды математических моделей двойственных задач.

14. Общие правила составления двойственных задач.

15. Первая теорема двойственности.

16. Вторая теорема двойственности.

17. Текстовая формулировка транспортной задачи. Математическая модель транспортной задачи.

18. Необходимые и достаточные условия разрешимости транспортной задачи.

19. Опорное решение транспортной задачи, его взаимосвязь и циклами.

20. Метод вычеркивания для проверки опорности решения транспортной задачи. Метод северо-западного угла построения начального опорного решения.

21. Метод минимальной стоимости построения начального опорного решения. Переход от одного опорного решения к другому.

22. Означенный цикл. Сдвиг по циклу.

23. Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом.

24. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.

25 Матричные игры. Решение матричных игр в чистых стратегиях.

26. Решение матричных игр в смешанных стратегиях геометрическим методом.

27. Решение матричных игр в смешанных стратегиях симплексным методом.

28.Предмет теории массового обслуживания. Элементы системы массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания и основные методы их исследования.

29. Системы массового обслуживания без очередей (с отказами, без ожидания)

30. Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди.

31. Система массового обслуживания без ограничения длины очереди.

32. Простейшая замкнутая система массового обслуживания.

33. Общая замкнутая система массового обслуживания.

4 семестр

1. Общая схема системы массового обслуживания.

2. Различные модели СМО.

3. Простейший поток событий.

4. Граф состояний СМО. Примеры СМО.

5. Уравнения Колмогорова для финальных вероятностей.

6. Классификация СМО.

7. СМО с отказами. Формулы для финальных вероятностей.

8. СМО с отказами. Основные показатели.

9. СМО с ограниченной очередью. Формулы для финальных вероятностей.

10. СМО с ограниченной очередью. Основные показатели.

11. СМО с ожиданием. Формулы для финальных вероятностей.

12. СМО с ожиданием. Формулы для финальных вероятностей. Основные показатели.

13. Сложные СМО. Двухмерный граф состояний. Уравнения Колгмогорова.

14. Уравнения Колгмогорова для сложных СМО.

15. Расчет финальных вероятностей методом статистических испытаний.

16. Построение сетевого графика по таблице опорных работ.

17. Нахождение минимальных времен и критического пути.

18. Перераспределение ресурсов в сетевом графике.

19. Сети. Определение минимального разреза.

20. Сети. Построение максимального потока.

21. Основные определения теории графов.

22. Гамильтоновы и эйлеровы графы.

23. Плоские графы.

24. Задача о назначениях.

25. Операции над графами. Подграфы.

26. Матрицы и графы.

27. Определение рангов и нумерация вершин сети.

28. Изоморфизм графов.

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

9.1. ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ

1. Высшая математика для экономистов под ред. . – М. ЮНИТИ. 2006.

2. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002.

3. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

4. (ред). Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.:«ИНФРА-М», 2001.

5. Минорский задач по высшей математике. – М.: Наука, 2002.

6. , Аксютина 3.М., Савельева высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1982.

7. , Туганбаев вероятностей. – М.: Факториал, 2006.

8. , , Волощенко программирование. – М.: Высшая школа,1980. Стр. 66-76.

9. , Демидович курс высшей математики. – М.: Наука, 2005.

10. , , Черемных методы в экономике. – М.: «ДИС», 1999.

11. Фомин методы и модели в коммерческой деятельности. – М.: Финансы и статистика, 2005.

12. Шипачев математика. – М.: Высшая школа, 2002.

13. Шипачев задач по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2006.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

Разделы 1, 2 и 3

14. , (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1-2. – М.: Наука, 1986.

15. Пискунов и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1-2. – М.: Наука, 1985.

Раздел 4

16. Гнеденко теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

17. , , Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1980.

18. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1990.

19. , , Чистяков задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1989.

20. Клетеник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

21. , В, Турудаевский вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

22. Введения в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1–2. – М.: Мир, 1984.

23. Чистяков теории вероятностей. – М.: Наука, 1982.

24. Ширяев . – М.: Наука, 1980.

9.2 Методическое обеспечение

1. , Лавриненко математика. Сборник задач. Ч. 1. – М.: РГТЭУ, 2005.

2. , , Туганбаев математика. Сборник задач. Ч. 2. – М.: РГТЭУ, 2005.

3. Сухорукова задач по математическому программированию. – М: РГТЭУ, 2006.

4. , , Фомин математика. Сборник задач, часть I. – М: РГТЭУ, 2005.

5. , , Фомин математика. Сборник задач, часть II. – М: РГТЭУ, 2005.

6. , , Фомин математика. Сборник задач контрольных работ для заочного отделения часть II. – М: РГТЭУ, 2005.

7. , , Фомин математика. Сборник задач контрольных работ для заочного отделения часть I. – М: РГТЭУ, 2002.

8. , Чубарова задания по высшей математике для студентов заочной формы обучения (первый семестр) – М: РГТЭУ, 2002.

9.3 Материально-техническое и информационное
обеспечение дисциплины

При подготовке к практическим занятиям и самостоятельной работе можно использовать компьютерные классы со стандартным программным обеспечением:

• ОС Windows;

• пакет программных средств офисного назначения MS Office;

• язык программирования Visual Basic 6.0.

Интернет – ресурсы.

www. *****

www. *****/i

www. *****

www. *****

www. *****

www. -ru

МАТЕМАТИКА

Учебно-методический комплекс

В авторской редакции

Подписано в печать 03.07.2007 г. Формат 60х84/8. Бумага офсетная.

Гарнитура Times New Roman. Объем 16,25 п. л. Тираж 100 экз.

Цена договорная. Изд. зак. № 86. Тип. зак. №

Издательство Российского государственного торгово-экономического университета

г. Москва, А-445, ГСП-3, 125993