Элементы теории вероятностей и математической статистики (стр. 2 )

Доказательство. Доказательство проведем в рамках схемы геометрической вероятности (рис. 5).

.

Замечание. 1. Будем говорить, что событие В не зависит от события А, если выполняется равенство Р(В/А) = Р(В), в этом случае

. (8)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказать самостоятельно:

если событие В не зависит от события А, то событие А не зависит от В.

2. .

Пример. В урне содержится 7 белых и 3 черных шара (рис. 6).

Испытание: из урны берут наугад два шара равновозможным образом.

Найти вероятность того, что они:

а) оба белые (Р(бб) – ?);

б) оба черные (Р (чч) – ?);

в) одного цвета;

г) разного цвета.

Решение.

I способ. По определению вероятности (1) (гл.1§1) и по формуле (2) имеем:

а) Р(бб) ;

б) Р(чч) .

II способ. По формулам (6) и (7) имеем:

а) Р(бб) = Р (1й белый и 2й белый) = Р(1й белый) ·Р (2й б/ 1й б) =

.

б) Р(чч) = Р (1й черный и 2й черный) = Р(1й ч) ·Р (2й ч/ 1й ч) =

.

в) Р(одного цвета) =Р (1й б и 2й б или 1й ч и 2й ч) = Р(бб + чч) =

= Р(бб) + Р (чч) ==.

г) I способ.

Р (разного цвета) = Р (б·ч + ч·б) = Р (б·ч) + Р(ч·б) =

.

II способ.

Р (разного цвета) = 1 – Р (одного цвета) = 1 – = .

§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим следующую задачу. имеются три урны с указанным количеством белых и черных шаров (рис. 7).

 

Рис. 7

Испытание: из наугад выбранной урны наугад берут один шар. Найти вероятность того, что шар белый.

обозначим: событие А – выбран белый шар, Р(А) – ?.

Введем три предположения (гипотезы):

Н1 – выбран шар из I-ой урны;

Н2 – выбран шар из II-ой урны;

Н3 – выбран шар из III-ей урны.

Очевидно, эти гипотезы являются несовместными событиями, одно из которых обязательно реализуется в результате испытания, то есть

.

Найдем вероятности следующих событий:

, , .

Р(А·Н1) = Р(Н1)Р(А/Н1), ;

Р(А·Н2) = Р(Н2)Р(А/Н2), ;

Р(А·Н3) = Р(Н3)Р(А/Н3), .

Откуда имеем:

Р(А) = Р (АН1 + АН2 + АН3) = Р (АН1) + Р (АН2) + + Р (АН3) .

Перенесем эту задачу в следующую общую ситуацию: событие А может наступить при одной из n взаимоисключающих гипотез Н1, Н2, …, Нn. Рассуждая аналогично, применяя формулы сложения, умножения событий, получаем формулу

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2) + … +Р(Нn)Р(А/Нn), (9)

которая называется формулой полной вероятности.

Вычисление вероятностей гипотез при наличии дополнительной информации. Формула Байеса.

Рассмотрим две задачи.

 

рис. 8

1. Известно, что в соседней комнате проводилось следующее испытание: из наугад выбранной урны (рис. 8) брали наугад один шар. Какова вероятность того, что его брали: а) из первой урны (Н1); б) из второй урны (Н2)?

В этой ситуации оба предположения следует считать равновозможными:

.

2. Известно, что в соседней комнате проводилось то же испытание, и был вынут белый шар. какова вероятность, что шар взят: а) из первой урны; б) из второй урны.

В этой ситуации гипотезы нельзя считать равновоз­мож­ными: в первой урне значительно больше белых шаров, чем во второй. Как в этой ситуации найти вероятности гипо­тез?

Эта задача может быть в общем виде сформулирована так:

1)  в данном испытании интересующее нас событие А может наступить при одной из n взаимоисключающих гипотез Н1, Н2, …, Нn;

2)  известно, что испытание проведено и его результат известен: наступило событие А. Как найти вероятности Р(Н1/А), Р(Н2/А), …, Р(Нn/А)?

Утверждение. В указанной ситуации справедлива формула:

, (10)

которая называется формулой Байеса.

Доказательство. По формуле (7) имеем

Р(А·Нk) = Р(А) · Р(Нk/А),

Р(А·Нk) = Р(Нk) · Р(А/Нk).

Откуда, учитывая формулу (9), получаем

.

§ 6. Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)

Рассмотрим следующую часто встречающуюся ситуацию.

1. Проводится серия n независимых испытаний. незави­симость испытаний означает, что при выполнении каждого следующего испытания полностью восстанавливается ком­плекс условий, при которых выполнялось предыдущее испытание.

2. При каждом испытании интересующее нас событие А (успех) наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 – p. такую ситуацию будем называть схемой с повторением испытаний или схемой бернулли.

Обозначим через x число успехов в серии из n независимых испытаний. Очевидно, x в зависимости от случая принимает значения

0, 1, 2, …, n.

Каковы вероятности этих значений?

Теорема 1. Справедлива формула

, k = 0, 1,…, n. (11)

эта формула называется формулой Бернулли.

Доказательство.

.

Здесь Y (успех) – появление события А, Н (неуспех)– непоявление события А.

Число слагаемых в этой сумме равно числу способов выбрать k мест из n свободных мест, то есть числу сочетаний из n по k:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Проводится десять независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что три раза из 10 выпадет герб.

Решение. Здесь успех – выпадение герба, x – число успехов, p = q = , n = 10, k =3. Следовательно, из формулы (11) имеем

.

Пример 2. Проводится 100 независимых бросаний монеты. Найти Р (40≤ x≤ 60), x - число выпадений герба.

Решение.

Р (40≤ x≤ 60) = Р(x = 40) + Р(x = 41) + Р(x = 42) + … +

+ Р(x = 60) =.

Мы видим: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то подсчет вероятностей вида P(m1 ≤ x≤ m2) с помощью формулы Бернулли весьма затруд­нен.

укажем приближенную формулу для подсчета таких ве­роятностей, доказанную независимо французскими математи­ками Муавром и Лапласом.

для этого вначале введем функцию, которая называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х):

. (12)

Укажем график и некоторые свойства этой функции.

10. Ф(0) = 0;

20. Ф (– х) = – Ф(х);

30. если | x | ≥ 3, то Ф (х) » ± 0,5 с большой точностью.

Для функции Лапласа имеются таблицы.

Теорема 2. В схеме Бернулли при достаточно большом числе испытаний справедлива приближенная формула:

P(m1 ≤ x ≤ m2) » . (13)

эта формула называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Доказательство этой формулы приводится в §3 главы 3. Вычисления показывают, что эта формула является практически точной при n ≥ 30.

Вернемся к решению примера 2.

решение. Здесь n =100, p = q = . По формуле Муавра-Лапласа найдем

Р (40 ≤ x ≤ 60)

Замечание. Интегральная формула Муавра-лапласа указывает правила вычисления вероятности неравенств вида P(m1 ≤ x ≤ m2) в схеме Бернулли при большом числе испытаний. Укажем правило вычисления вероятностей P(x=k) в этой ситуации.

Рассмотрим функцию

.

 

Очевидно, φ(х) связана с функцией Лапласа равенством

.

При большом числе испытаний справедлива приближенная формула

. ()

эта формула называется локальной формулой Муавра-Лапласа. Для функции (13') имеются таблицы.

Глава 2. Случайные величины

§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины

Пусть с испытанием связано некоторое число, зависящее от случая. Такое число называется случайной величиной. Случайные величины будем обозначать буквами греческого алфавита: x, h и так далее.

Примеры случайных величин.

1.  Число успехов в серии из n независимых испытаний в схеме Бернулли.

2.  Число вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

3.  Результат измерений какой-либо величины с помощью прибора.

4.  Продолжительность телефонного разговора.

случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, и непрерывной, если ее возможные значения заполняют сплошь промежуток на числовой оси или всю числовую ось.

Очевидно, в первых двух примерах случайные вели­чины являются дискретными, в последних двух примерах – непрерывными.

Статистически зависимые и независимые величины

В математическом анализе изучаются жесткие зависимости между величинами, когда каждому значению одной величины отвечает определенное значение другой. Такие зависимости называются функциональными. Например, площадь круга функционально зависит от его радиуса:

S = pr2.

В теории вероятностей изучаются слабые зависимости между величинами, когда значению одной величины отвечает разброс значений другой величины. такие зависимости называются статистическими.

Определение. Пусть с испытанием связаны случайные величины x,h. Если для любой пары чисел a, b справедливо равенство

P ( x < a / h < b) = P (x < a),

то говорят, что случайная величина x статистически не зависит от h. Если хотя бы для одной пары a, b это равенство не выполняется, то говорят, что случайная величина x статистически зависит от h.

определение статистической независимости имеет следую­щий смысл: x не зависит от h, если информация о значениях случайной величины h не позволяет высказать никаких новых суждений о случайной величине x.

Пример 1. Из урны берут один за другим два шара. Пусть x,h – номера первого и второго шара. Очевидно, что номер h статистически зависит от номера x.

Пример 2. Из урны берут один за другим два шара, при этом перед взятием второго шара первый шар возвращают в урну и производится перемешивание.

В этом случае номер второго шара h статистически не зависит от номера первого шара x.

Замечание. Ранее мы вводили понятие "независимые события": событие А не зависит от события В, если

Р(А/В) = Р(А).

Очевидно, статистическая независимость случайных величин x, h означает: для любых a, b событие x < a не зависит от события h < b.

§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины

Напомним, что дискретная случайная величина прини­мает отдельные изолированные значения.

Законом распределения дискретной случайной вели­чины x называется таблица

,

где x1 < x2 < … < xn – возможные значений величины x,

а pk (k = 1, …, n) – их вероятности, то есть рk = P(x =хк ).

При этом должно выполняться равенство р1 + р2 + … + рn = 1.

Это равенство означает, что при испытании одно из значений заведомо реализуется. Таблица показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по возможным значениям случайной величины. отсюда термин "закон распределения".

Пример. Производятся три выстрела по цели. Вероят­ность попадания при одном выстреле равна . Найти закон распределения числа попаданий в цель.

Решение. имеем схему Бернулли, где успехом является попадание в цель , число испытаний n = 3, x – число успехов после трех испытаний. Требуется найти закон распределения случайной величины x.

Пользуясь формулой Бернулли ,

найдем

,

,

,

.

Итого .

§3. Математическое ожидание дискретной случайной величины

При решении инженерных задач, связанных с расчетом случая, фундаментальную роль играют так называемые числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия. математическое ожидание имеет смысл центрального значения случайной величины. дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно центра. В этом и следующем параграфах мы изучим эти понятия для дискретной случайной величины.

Пусть x - дискретная случайная величина с законом распределения

.

Математическим ожиданием случайной величины x называется число:

М [ x ] = mx = x1· p1 + x2 · p2 + … + xn · pn

(сумма произведений возможных значений на их вероятно­сти).

Пример 1.

.

мы видим: если значения x равновозможны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим возможных значений x.

Пример 2.

.

Помнить: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины с учетом возможных значений и их вероятностей: маловероятные значения вносят малый вклад в формирование математического ожидания, наиболее вероятные значения вносят основной вклад.

Свойства математического ожидания.

10. М [ a ] = а.

Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине.

20. М [ а x ] = a M [ x ].

Неслучайный множитель выносится за знак математиче­ского ожидания.

30. M [ x + h ] = M [ x ] + M [ h ].

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий.

40. Если x, h статистически независимы, то

M [ x · h ] = M [ x ] · M [ h ].

Доказательство.

1. Имеем: , откуда получаем ma = 1· a = a.

2. Пусть

, тогда ,

откуда М [ а x ] = ax1· p1 + ax2· p2 +…+ axn· pn = a M [ x ].

Для наглядности далее будем предполагать, что x, h при­ни­мают два возможных значения:

; h .

3. x + h : ;

M [ x + h ] ;

I1 = p11 x1 + p12 x1 + p21 x2 + p22 x2 = (p11 + p12)x1 + (p21 + p22)x2.

;

доказано: р11 + р12 = р1­, аналогично получим: р21 + р22 = р2,

тем самым I1 = p1x1 + p2x2 = M [ x ].

Также доказывается, что I2 = M [ h ].

4. В силу теоремы умножения для независимых событий имеем: x · h : .

Тогда

M [ x · h ] = p1q1x1­y1 + p1q2x1­y2 + p2q1x2­y1 + p2q2x2­y2 =

= (p1x1 + p2x2) · (q1y1 + q2y2) = M [ x ] · M [ h ].

§4. Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть

;

mx = x1· p1 + x2 · p2 + … + xn · pn – математическое ожидание x (центр);

x – mx – отклонение x от центра;

(x – mx)2 – квадрат отклонения x от центра.

Очевидно,

(x – mx)2 : .

Дисперсией дискретной случайной величины x называется матема­тическое ожидание квадрата отклонений от центра:

D[ x ] = Dx = M[(x – mx)2] = p1 (x1– mx)2 + p2 (x2– mx)2 +…+ + pn(xn – mx)2.

пример 1. , mx = 3,

Пример 2.

, mx = 3, Dx = 1.

Помнить: дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей.

Свойства дисперсии:

10. D [ a ] = 0;

20. D [ a x ] = a2 Dx;

30. если x, h статистически независимы, то

D [ x + h ] = D [ x ] + D [ h ].

40. Dx = M [x 2 ] – .

доказательство.

Первое и второе свойства непосредственно вытекают из определения и соответствующего свойства математического ожидания (доказать самостоятельно).

30. D [ x + h] = M [(x + h – mx + h)2] = m [(x + h – mx – – mh)2] = M [(x – mx+ h – mh)2] = M [(x– mx)2 + (h – mh)2 + + 2(x– mx)(h – mh)] = M [(x– mx)2 ] + M [(h – mh)2] + 2 M [x – – mx ]·M[h – mh] = Dx +dh +2(mx – mx)(mh – mx) = Dx +dh, что и требовалось.

Здесь существенно использовалась статистическая независимость случайных величин x – mx, h – mh.

40. Dx = M [(x– mx)2 ] = M [x 2 – 2x mx +] = M [x 2] –

– 2 M [x ]· mx + = M [x 2] – .

Величина

называется среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины x . Очевидно, sx имеет тот же смысл, что и Dx – характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей. СКО имеет ту же физическую размерность, что и случайная величина x.

§ 5. Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Мы знаем, что закон распределения дискретной случайной величины x задается таблицей, в которой перечислены ее возможные значения и указаны их вероятности. Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, так как в этом случае вероятности отдельных значений равны нулю.

Пример.

Испытание: берут наугад точку x на чи­словой оси так, что значения на от­резке [0, 1] равновозможны, остальные значе­ния невозможны. Очевидно, x – непре­рывная случайная величина.

Найдем

.

Закон распределения непрерывной случайной вели­чины может быть задан двумя способами:

1.  с помощью функции распределения F (x);

2.  с помощью плотности вероятности f (x).

Функция распределения

Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x.

Зафиксируем произвольное число х. В зависимости от случая возможны три исхода испытания:

x > x, x = x, x < x.

Каждое из этих трех событий случайно, поэтому имеет смысл говорить об их вероятности. Обозначим

F (x) = p (x < x).

Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины x.

 

Рис. 11

свойства функции распределения

10. 0 ≤ F (x) ≤ 1;

20. F (x) монотонно не убывает (рис. 11);

30. F (– ¥) = 0, F (+ ¥) = 1;

40. P (a<x< b) = F (b) – F (a).

доказательство.

1. Это свойство вытекает из того, что вероятность любого события есть число, принадлежащее [0, 1].

2. Это свойство вытекает из того, что при увеличении х интервал ( – ¥, х) расширяется, поэтому вероятность попадания в этот интервал не уменьшается.

3. F (– ¥) ,

F (+ ¥) .

4. Имеем:

F (b) = P (x < b) = =

= P (x < a) + P (x = a) + P (x Î (a, b)) = F (a) + 0 + P (a<x< b).

Отсюда вытекает требуемое равенство 40.

Замечание. Функция распределения F (x) имеет смысл и для дискретных случайных величин. Например, функция распределения случайной величины

x :

представляет собой кусочно-постоянную функцию, график которой изображен на рис. 12 (кружок означает, что в этом месте отсутствует точка на графике).

 

Рис. 12

Проверим это для случаев х >3, 2≤ х< 3. В первом случае имеем

F (x) = P (x < x) = P (x = 1 или x = 2 или x = 3) =

= P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) = 0,25 + 0,25 + 0,5 = 1.

Во втором случае

F (x) = P (x = 1 или x = 2) = Р (x = 1) + Р (x = 2) =

= 0,25 + 0,25 = 0,5.

Оставшиеся случаи 1≤ х< 2, x<1 предлагаем рассмотреть са­мостоятельно.

Плотность вероятности

[ ] Пусть с испытанием связана непрерыв­ная случайная величина x.

Плотностью вероятности случайной величины x в точке х называется предел отношения вероятности попадания в отрезок [x, x + Dx] к длине отрезка Dx при условии, что отрезок стягивается к точке х:

.

Нестрого говоря, плотность вероятности – это вероятность попадания в отрезок длины 1.

Свойства плотности вероятности:

10. f (x) ≥ 0 при всех х.

20. P (x Î (a, b)) =

вероятность попадания в интервал равна заштрихованной площади (рис. 13).

 

Рис. 13

30. Площадь S бесконечной фигуры, ограниченной графи­ком плотности f (x) и осью абсцисс, равна 1 (рис. 13): S = 1.

Доказательство.

1. Это свойство вытекает из того, что предел неотрица­тельной функции неотрицателен.

2. Имеем

.

Отсюда получаем

;

учтено свойство 40 функции распределения.

3. .

Помнить: кривая плотности вероятности показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по интервалам.

Замечание. Рассмотрим два крайних случая (рис.14, 15). В первом случае с вероятностью, близкой к единице, случайная величина x принимает значения, близкие к х0, в этом случае можно без большой погрешности считать, что x - неслучайная величина: x » х0. Во втором случае суммарная вероятность 100% приблизительно равномерно распреде-лена по широкому спектру возможных значений, то есть в этом случае x сильно случайная величина.

 

Рис. 14 Рис. 15

Связь между f (x) и F(x)

Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x с плотностью вероятности f (x) и функцией распределения F (x). Справедливы равенства

10. ;

20. .

доказательство.

1. по свойству плотно­сти вероятности.

2. Это свойство было доказано выше (см. доказатель­ство свойства 20 плотности).

Пример. Берут наугад точку x на оси так, что значения на [0, 1] равновозможны, а остальные невозможны. Найти: а) функцию распределения F(x); б) плотность вероятности f(x).

Решение. а) F(x) – ? [ ]

Пусть

1. х ≤ 0: F (x) = P (x < x) = 0.

2. 0 < x≤ 1: F (x) = P (x < x) = P ( – ¥ < x≤ 0 или 0 < x < x) =

= P( – ¥ < x ≤ 0) + P (0 < x < x) = 0 + = x.

3. x > 1: F (x) = P (x < x) = P (x≤ 0 или 0 < x ≤ 1 или 1 <x < x) =

45 46

= P (x ≤ 0) + P (0 < x ≤ 1) + P( 1 < x < x) = 0 + 1 + 0 = 1.