Элементы теории вероятностей и математической статистики (стр. 3 )

Окончательно имеем

б) f (x) – ? , отсюда

Замечание. Если график плотности вероятности имеет вид, изображенный на рис. 16, то говорят, что случайная величина x равномерно распределена на [a, b].

 

График функции распределения для такой случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 17.

 

Числовые характеристики

Напомним, что для дискретной случайной величины числовые характеристики определяются формулами:

mx = x1p1 + x2p2 + … xnpn = ;

Dx = M [(x – mx)2] = ;

.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины определяются формулами

; ; .

Эти величины имеют такой же смысл, как в дискретном случае: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины, дисперсия и СКО – разброс относительно центра. Сохраняют, как можно доказать, все свойства математического ожидания и дисперсии, доказанные в дискретном случае.

47 48

Пример. Найти числовые характеристики для равномерно распределенной на [a, b] случайной величины x.

Решение. Имеем из замечания (рис.16)

Тогда

Следовательно,

, , . (14)

Глава 3. Основные законы распределения

Рассмотрим законы распределения, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах, связанных с учетом случайных факторов:

1.  биномиальный закон (закон Бернулли);

2.  равномерный закон;

3.  закон Пуассона;

4.  показательный закон;

5.  нормальный закон (закон Гаусса).

§1. Биномиальный закон

Дискретная случайная величина x называется биномиальной (подчиненной биномиальному закону распределения) с параметрами (n, p), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n и вероятности этих значений даются формулой

, k = 0, 1, …, n, q = 1 – p, p Î (0, 1).

1. Проверим, что .

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

отсюда следует:

.

2. Числовые характеристики даются формулами

mx = np, Dx = npq, . (15)

(будут доказаны позднее, см.§2 главы 5).

50

3. Наиболее вероятное значение биномиальной случайной величины k0 (pk = max) вычисляется из двойного неравенства:

np – q ≤ k0 ≤ np + p.

4. пример биноминальной случайной величины - число успехов в серии из n независимых испытаний. Здесь параметром р служит вероятность успеха при одном испытании.

§2. Равномерный закон

Непрерывная случайная величина x называется равно­мерно распределенной на [a,b], если ее плотность вероятности дается формулой

график f (x) см. рис. 16.

1. График функции распределения F (x) см. на рис. 17.

2. Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины x даются формулами (14).

3. Пример - показание рулетки.

§3. Закон Пуассона

Дискретная случайная величина x называется распределенной по закону Пуассона с параметром а, если она принимает любые целые неотрицательные значения и вероятности значений даются формулой

, k = 0, 1, 2, … .

1. Проверим, что .

.

2. Найдем числовые характеристики

.

Аналогично можно доказать:

.

Помнить mx = a, Dx = a, sx = . (16)

3. Примеры:

1)  число отказов конвейера за фиксированное время t,

2)  число вызовов, поступающих на АТС за фиксирован­ное время t,

3)  число пассажиров, входящих на станцию метро за фиксирован­ное время t,

4)  число автомашин, прибывающих на автозап-равочную станцию за фиксирован­ное время t.

4. Все перечисленные выше примеры можно охватить единой схемой, которую мы сейчас рассмотрим.

Последовательность событий, происходящих одно за другим, называется потоком событий. Поток событий называется регулярным, если события наступают в определенные заранее известные моменты времени, и случайным, если события наступают в случайные моменты времени. Далее будем говорить только о случайных потоках, слово "случайный" будем опускать.

Поток событий называется стационарным, если в каждую секунду наступает в среднем одинаковое число событий потока. Это означает, что математическое ожидание числа событий, наступающих в данную секунду равно математическому ожиданию числа событий, наступающих в следующую секунду.

Поток событий называется ординарным, если события происходят не одновременно, а одно за другим; более точно: если вероятность одновременного наступления двух или нескольких событий мала по сравнению с вероятностью наступления одного события в данный момент времени.

Поток событий называется потоком с отсутствием последействия, если информация о числе событий, наступивших в прошлом, не позволяет сделать никаких прогнозов о числе событий, которые наступят в будущем. Это свойство означает полную стихийность потока.

Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Обозначим через l– среднее число событий простейшего потока, наступивших за единицу времени. В силу свойства стационарности l=const. Число l называется интенсивностью простейшего потока, является его полной характеристикой.

обозначим x число событий простейшего потока, наступающих за фиксированное время t. Можно доказать, что случайная величина x подчинена закону Пуассона:

, k = 0, 1, 2, …, где а = lt.

Очевидно, а – среднее число событий простейшего потока, наступающих за время t; то есть математическое ожидание числа событий, наступающих за время t. Рассмотренные выше четыре примера потока событий являются приближенно простейшими, если в качестве периода времени t взять промежуток времени, на котором имеет место стационарность потока. Поэтому при данном условии число событий за время t в этих примерах подчинено закону Пуассона с параметром а = lt.

§4. Показательный закон

Непрерывная случайная величина x называется показа­тельной (подчиненной показательному закону распределения), если ее плотность вероятности дается формулой

Число l называется параметром показательной случайной величины.

График плотности вероятности имеет вид.

 

Рис. 18

1. Покажем, что площадь бесконечной фигуры S между графиком функции f (x) и осью абсцисс равна 1.

.

2. Найдем числовые характеристики:

.

Здесь учтено, что

.

.

Здесь, аналогично, учтено, что .

Помнить:

, , . (17)

3. Найдем функцию распределения F (x).

.

Пусть х ≤ 0: F (x) = P (x < x) = 0,

x>0: .

Следовательно,

График F (x):

 

Рис. 19

4. Примерами показательных случайных величин являются продолжительность телефонного разговора, время безотказной работы автоматической линии. Имеет место следующий более общий результат.

Рассмотрим простейший поток событий. Обо­значим Т промежуток времени между сосед­ними событиями потока (рис. 20).

Утверждение. Т – показательная случайная величина с параметром l, равным интенсивности данного простейшего потока.

Доказательство. Вычислим функцию распределения F (x) случайной величины. Пусть:

1). х ≤ 0:

2). x > 0: F (x) = P (0≤ T ≤ x) = Р (за время х более одного события) = 1 – р (за время х ни одного события) = =.

Мы получили:

Отсюда следует

что и требовалось доказать.

Мы использовали, что число событий простейшего потока с интенсивностью l, наступающих за время х, является пуассоновской случайной величиной с параметром а = lх.

§5. Нормальный закон

Непрерывную случайную величину x называют нормальной с параметрами (a, s) и пишут x = N (a, s), если ее плотность вероятности дается формулой

.

График f (x) изображен на рис.21.

Можно доказать:

1.  Площадь бесконечной фигуры между кривой f (x) и осью абсцисс равна 1.

2.  Параметры (a, s) нормальной случайной величины x имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО):

mx = a, Dx = s2, sx = s. (18)

3.  F(x) =, где Ф (х) - функция Лапласа (12).

Следующие свойства 4-6 вытекают из 2,3 с учетом свойств функции распределения случайной величины и функции Лапласа.

4.  . (19)

Действительно,

5.  .

Имеем

6.  .

В самом деле

.

Значения нормальной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале (а ± 3s) (рис 21) (правило трех сигм).

7. Примеры нормальных случайных величин

1.  Показание измерительного прибора. В этом случае а – истинное значение измеряемой величины, s характе­ризует точность прибора (называется среднеквадрати­ческой ошибкой прибора).

2.  Размер серийно изготовляемой детали. В этом случае а – размер детали по ГОСТу, s характеризует точность технологии.

3.  Величина анодного тока в электронной лампе.

4.  Высота стебля пшеницы на поле, и т. д.

Помнить: нормальный закон широко распространен в природе и в практической деятельности человека, связанной со случайными факторами. Причина этого будет объяснена в главе 5.

Замечание. Случайные величины x1, x2, … , xn называются независимыми в совокупности (кратко: независимыми), если знание значений любой части из них не дает новой информации об остальных. Справедливо следующее утверждение: если случайные величины x1, x2, … , xn независимы и нормальны с одними и теми же а, s, то сумма x1 + … + xn также нормальна, при этом имеет место формула:

.

Глава 4. Совместные распределения случайных величин

Пусть с испытанием связаны две случайные величины x1, x2. Будем кратко говорить: (x1, x2) – случайная точка на плоскости. Будем говорить, что (x1, x2) – случайная точка дискретного типа, если множество ее реализаций в результате испытания состоит из отдельных, изолированных точек, и непрерывного типа, если множество ее реализаций заполняет сплошь области на плоскости или всю плоскость. В основе изучения совмест­ных свойств случайных величин x1, x2 лежит со­вместный закон распределения или, в других терминах, закон распределения случайной точки.

§1. Закон распределения случайной точки дискретного типа на плоскости

Совместное распределение двух случайных величин x1, x2 в дискретном случае задается перечислением всех возможных реализаций случайной точки (x1, x2) и указанием их вероятностей. Это удобно делать с помощью таблицы с двумя входами:

x2 x1	y1	y2	…	yn	Здесь хi (i =1, …, m) – всевоз­можные значения случайной величины x1, yj (j = 1, …, n)- все­возможные значения слу­чайной величины x2, Pij = P (x1 = xi и x2 = yj).
х1	P11	P12	…	P1n
х2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
хm	Pm1	Pm2	…	Pmn

При этом .

Таблица показывает, как суммарная вероятность 100% распределена между значениями случайной точки.

По данной таблице можно найти законы распределе­ния случайных величин x1 и x2. Значения случайных вели­чин даны в таблице. Вероятности значений x1 вычисляются суммирова­нием по строкам таблицы, то есть pi = P (x1 = xi) =.

Вероятности значений x2 вычисляются суммированием по столбцам таблицы, то есть pj = P (x2 = yj) =.

Обратное неверно. Закон распределения случайной точки восстанавливается по законам распределения координат только в случае, когда x1, x2 независимы.

Пример. В урне имеются три шара с номерами 1, 2, 3. Берут наугад из урны один за другим 2 шара. Обозначим x1 – номер 1-го шара, x2 – номер 2-го шара. Найти закон распределения случайной точки (x1, x2), законы распределения случайных величин x1 и x2.

Решение. Найдем закон распределения дискретной случайной точки (x1, x2):

x2 x1	1	2	3		P11 = P (x1 = 1 и x2 = 1) = = P (x1 =1) P (x2 = 1/x1 =1) = = · 0 = 0. P12 = P (x1 = 1 и x2 = 2) = = P (x1 =1) P (x2 = 2/x1 =1) = = · = .
1	0
2		0
3			0

Аналогично находятся все остальные вероятности возможных значений случайной точки (x1, x2).

Законы распределения случайных величин x1 и x2, очевидно, имеют вид:

x1: ; x2:

§2. Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости

В непрерывном случае совместное распределение случайных величин x1, x2 не может быть задано (как и в случае одной непрерывной случайной величины x) таблицей, так как в этом случае вероятности отдельных реализаций случайной точки (x1, x2) равны нулю.

62

Совместное распределение задается, как и в случае одной случайной величины, двумя способами: с помощью функции распределения F(х, у) и плотности вероятности f(х, у).

Функция распределения случайной точки (x1, x2) определяется равенством

Плотность вероятности случайной точки (x1, x2) определяется равенством

y

Другими словами, плотность вероятности случайной точки (x1, x2) в точке (х, у) есть предел отношения вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник (рис.22) к площади этого прямоугольника при условии, что прямоугольник стягивается к точке (х, у). Нестрого говоря, плотность вероятности случайной точки – вероятность попадания на участок с площадью единица.

Перечислим без доказательства основные свойства плотности вероятности f(х, у) (первые 4 из них аналогичны свойствам плотности вероятности f(х) одной непрерывной случайной величины, 5-е и 6-е указывают связь закона распределения случайной точки (x1, x2) с законами распределения ее координат).

10. f (x, y) ≥ 0;

20. Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости дается формулой

P ((x1, x2) Î D) =.

30. Объем фигуры, заключенной между плоскостью хОу и графиком плотности (рис.23), равен единице: V = 1.

40. .

50. Законы распределения координат случайной точки (x1,x2) восстанавливаются по совместному закону распределения по формулам

, (20)

60. Совместный закон распределения восстанав-ливается по законам распределения координат только в случае, когда x1, x2 независимы. В этом случае верна формула