Омский институт

Российского государственного торгово-экономического университета

Омский государственный технический университет

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(теория и задачи)

Омск-2003

Оглавление

Введение. 3

§ 1. Предмет теории вероятностей.. 3

§ 2. Краткий исторический очерк.. 3

Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей.. 6

§ 1. Классическое определение вероятности.. 6

§ 2.Элементы комбинаторики.. 7

§ 3. Действия над событиями.. 9

§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.. 10

§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 12

§ 6. Схема с повторением испытаний (схема Бернулли) 13

Глава 2. Случайные величины.. 15

§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины.. 15

§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины.. 16

§3. Математическое ожидание дискретной случайной величины.. 17

§4. Дисперсия дискретной случайной величины.. 18

§ 5. Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины.. 19

Глава 3. Основные законы распределения. 24

§1. Биномиальный закон.. 24

§2. Равномерный закон.. 25

§3. Закон Пуассона. 25

§4. Показательный закон.. 26

§5. Нормальный закон.. 28

Глава 4. Совместные распределения случайных величин. 29

§1. Закон распределения случайной точки дискретного типа на плоскости.. 30

§2. Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости.. 31

§3. Ковариация двух случайных величин. Коэффициент корреляции.. 32

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

§4. Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон.. 35

Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы.. 36

§1. Закон больших чисел в форме Чебышева. 37

§ 2. Теорема Бернулли.. 39

§ 3. Центральная предельная теорема. 39

Глава 6. Элементы математической статистики. 41

§ 1. Предмет математической статистики.. 41

§ 2. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот. 41

§ 3. Выборочная функция распределения. 42

§ 4. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам.. 43

§ 5. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации.. 43

§ 6. Два распределения, связанные с нормальным законом.. 45

§ 7. Квантиль распределения. 46

§8. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.. 46

§ 9. Общая схема проверки гипотез по данным опыта. 47

§ 10. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по данным опыта. 48

§ 11. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. 48

§ 12. Метод наименьших квадратов (МНК) 49

Дополнения. 51

I. Образцы решения типовых задач. 51

Приложения. 65

Библиографический список. 4

Введение

§ 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности в массовых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах.

1. Проводится испытание – бросается монета. Если испытание проводится один раз, то предсказать его исход – выпадение герба или цифры – невозможно, здесь царит случай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс условий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых испытаний. Замечательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет примерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испытаний. Этот прогноз подтверждается многократными проверками, проводившимися в разное время учёными. Так, французский учёный Ж. Л.Л. Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; шведский учёный К. Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпадал в 12012 случаях; и так далее.

2. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумерованы цифрами 1–6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длинной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше бросаний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, состоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, представляет собой один из универсальных законов природы, получивший название закона больших чисел. Теория вероятностей представляет собой математическую модель этого закона. Вводимое в самом начале этой теории понятие "вероятность случайного события" и связанные с ним правила позволяют дать строгую математическую формулировку закона больших чисел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случайного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым – подходы к прогнозированию результата этих испытаний. Методы прогнозирования по массовым случайным явлениям, развиваемые в теории вероятностей, широко применяются в настоящее время в различных областях науки и практической деятельности человека.

Данное учебное пособие написано на основе курсов лекций, прочитанных одним из авторов в Омском государственном техническом университете, другим автором в Омском филиале Московского государственного университета коммерции. Основная задача, которую ставили перед собой авторы, – не стремясь к максимальной строгости и охвату материала, предложить простую методику разъяснения ряда трудных для понимания узловых понятий и идей теории вероятностей. надеемся, что эта задача отчасти выполнена.

В дополнениях I-III приведены образцы решения типовых задач, набор задач для использования на практических занятиях и варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей широкого профиля, может быть использовано в качестве элементарного руководства инженерами и экономистами, применяющими в своей деятельности методы теории вероятностей.

§ 2. Краткий исторический очерк

Истоки теории вероятностей теряются в глубине веков. Еще в древнем Египте собирались статические данные о народонаселении. Этот факт говорит о том, что уже тогда была замечена возможность практических выводов по результатам массовых случайных явлений. Однако многие столетия дальше сбора статистических данных дело не шло. В этот период никаких специальных методов не возникает, идет накопление материала.

В XVI веке появление работ Д. Кардано и Н. Тарталья[1] знаменует собой первый шаг в развитии вероятностных представлений. В работах этих ученых впервые формулируются простейшие задачи из области азартных игр.

На роль случайностей в измерениях впервые обратил внимание великий Галилей[2]. И хотя он не дал аналитического анализа оценки ошибок наблюдений, многие высказанные им положения оказали большое влияние на выработку основных понятий теории ошибок и теории вероятностей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей можно условно разбить на 4 периода[3].

первый период начинается с середины XVII века и продолжается до начала XVIII в. Он характеризуется возникновением теории вероятностей как науки.

До середины XVII в. не было никакого общего метода решения вероятностных задач. Однако следующие 50 лет ознаменовались выдающимися достижениями в этой области. В разработку вопросов теории вероятностей были вовлечены крупнейшие ученые того времени. В первую очередь здесь следует назвать Паскаля[4], Ферма[5] и Гюйгенса[6]. В своих трудах они уже широко использовали теоремы сложения и умножения, ввели понятие математического ожидания, а также выяснили фундаментальное значение для теории вероятностей понятий зависимости и независимости случайных событий.

В 1657г. Гюйгенс пишет первую книгу по теории вероятностей "О расчете в азартных играх". Примечательно его высказывание: "… при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Итак, в рассматриваемый период теория вероятностей превращается в науку. Она начинает использоваться для решения важных практических задач, находит свои первые применения в демографии (наука о народонаселении), страховом деле и теории ошибок.

Начало второго периода связано с появлением в 1713г. книги Я. Бернулли[7] "Искусство предположений". В этой работе была строго доказана одна из важнейших теорем теории вероятностей, которая является простейшей формой

закона больших чисел. Эта теорема утверждает, что относительная частота события при достаточно большом числе испытаний сходится в определенном смысле к вероятности этого события. Теорема Бернулли позволила придать определенный смысл понятию вероятности и применить теорию вероятностей к самым разнообразным задачам статистики.

Выдающимся ученым Муавру[8] и Лапласу[9] принадлежит заслуга доказательства одной из простейших форм центральной предельной теоремы. Они впервые ввели в рассмотрение нормальный закон, который играет исключительную роль в самых разнообразных задачах теории вероятностей.

Великий немецкий математик [10] доказал, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону, и тем самым внес неоценимый вклад в теорию ошибок. Он также разработал метод обработки экспериментальных данных, который носит название "Метода наименьших квадратов". Здесь следует также отметить, что вывод нормального закона для случайных ошибок независимо от Гаусса и практически одновременно с ним получил малоизвестный американский математик Р. Эдрейн (1775–1843).

Второй период в развитии теории вероятностей завершается работами Пуассона[11], который доказал более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел. Ему также принадлежит заслуга применения методов теории вероятностей к задачам стрельбы. Имя Пуассона носит название один из важнейших законов распределения, который играет большую роль во многих задачах практики.

Следует отметить, что попытка Пуассона и некоторых других ученых применять теорию вероятностей к социальным явлениям вызвала оживленные споры и серьезные возражения в среде математиков и социологов. Появилось большое количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества. Это привело к тому, что к теории вероятностей стали относиться скептически. А если еще учесть, что в это время недостаточно ясны были области приложения теории вероятностей в естественных науках, то становится понятным, почему интерес к ней на Западе резко упал.

Третий период в развитии теории вероятностей тесно связан с работами Петербургской математической школы. Следует отдать должное выдающемуся математику (1804–1889), роль которого в распространении вероятностных идей в России переоценить нельзя. Он является автором первого курса теории вероятностей на русском языке и учителем великого русского математика [12], которого по праву можно назвать руководителем дореволюционной математической школы в России. Работы Чебышева в области теории вероятностей явились крупнейшим событием в математике. Они положили начало целому циклу глубоких исследований в области закона больших чисел. Его идеи оставили яркий след в развитии математики и предопределили надолго наперед направление и методы исследований массовых случайных явлений. "Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире Пафнутий Львович Чебышев", – так оценил роль этого замечательного ученого академик могоров[13].

Наиболее выдающимися учениками Чебышева, оставившими неизгладимый след в развитии теории вероятностей, являются [14] и [15]. Маркову принадлежит обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин. Его работы положили начало бурно развивающейся в настоящее время теории случайных функций. Ляпунову мы обязаны первым доказательством центральной предельной теоремы при весьма общих условиях.

Современный, четвертый период характеризуется исключительным подъемом интереса к теории вероятностей в самых различных областях человеческой деятельности. Этот интерес стимулировал бурное развитие многих направлений теории вероятностей.

Российская школа теории вероятностей, которая в настоящее время по праву занимает в мировой науке ведущее место, решила ряд принципиальных вопросов. В частности, академикам и принадлежат основополагающие работы в аксиоматическом построении теории вероятностей.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли российские ученые , , и другие. теория вероятностей продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.

Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей

§ 1. Классическое определение вероятности

Пусть с испытанием связано интересующее нас событие А. Событие А называется случайным, если оно может произойти или не произойти при данном испытании в зависимости от случая; достоверным, если оно при данном испытании заведомо произойдет; невозможным, если оно заведомо не произойдет.

Далее будем использовать стандартные обозначения:

W – достоверное событие;

Æ – невозможное событие.

Общее определение вероятности случайного события дано в опубликованной в 1933 г. фундаментальной работе академика "Основания теории вероятностей". Это определение сложно для понимания. мы ограничимся так называемым классическим определением вероятности, данным еще в XVIII в. Ферма и Паскалем, и относящимся к частной ситуации. Правила теории вероятности, основанные на этом определении, остаются верными и в общем случае.

Пусть испытание имеет n равновозможных исходов (в зависимости от случая), из которых интересующему нас событию А благоприятствуют т исходов.

Определение. Вероятностью события А при данном испытании называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов:

. (1)

Данное определение носит название классического определения вероятности.

пример 1. Испытание: бросают монету один раз.

Событие А: выпадение герба.

Р (А) - ?

пример 2. Испытание: бросают монету два раза.

Событие А: одинаковый результат.

Р (А) - ?

Очевидно, данное испытание имеет четыре равновозможных исхода: ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ (Г – герб, Ц – цифра).

Пример 3. В урне имеется 10 белых и 5 черных шаров.

Испытание: берут наугад один шар равновозможным образом.

Событие А: шар белый

Р (А) - ?

Замечание 1. Р (Æ) ;

Р (W);

0 ≤ Р (А) ≤ 1.

Замечание 2. Укажем реальный смысл понятия "вероятность". Предположим, что вероятность связанного с некоторым испытанием случайного события А равна 30%. Это позволяет сделать следующий прогноз: если испытание повторять достаточно много раз, то с практической достоверностью событие А произойдет примерно в 30% случаях, причем этот прогноз тем точнее, чем больше число испытаний. Помнить: вероятность случайного события – это процент наступления события в длинной серии одинаковых независимых испытаний. Точная формулировка и доказательство этого утверждения приводятся далее в §2 главы 5; см. также §1 введения.

Геометрическое определение вероятности

Испытание: выбирают точку в области D равновозможным образом (рис. 1).

Событие А: попадание в область d.

Р (А) = ?

По классическому определению:

не имеет смысла.

По определению примем:

P (A) =	площадь d	=	благоприятная площадь
площадь D	вся возможная площадь

данное определение называется геометрическим определением вероятности.

§ 2.Элементы комбинаторики

Для решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики – раздела математики, изучающего, в частности, вопрос о количестве комбинаций из n элементов по т, которые можно составлять тем или иным способом. Мы рассмотрим три таких способа.

1. Сочетания

Комбинации из n элементов по т, отличающиеся только составом, называются сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по т равно

, (2)

где n! = .

Пример 1. В группе 30 человек. необходимо выбрать трех делегатов на конференцию. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Каждый способ – это новая тройка студентов, отобранная из 30 человек. Очевидно, эти тройки отличаются только по составу, то есть являются сочетаниями из 30 элементов по 3.Их количество находим по формуле (2):

способов.

Пример 2. В шахматном турнире участвует 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16. Пары игроков отличаются от других пар только составом, то есть представляют собой сочетания из 16 элементов по 2. По формуле (2) найдем:

партий.

2. Размещения

Комбинации из n элементов по т, отличающиеся составом или порядком элементов, называются размещениями. Число размещений из n элементов по т равно

. (3)

Пример 1. В группе 30 человек необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. каждый способ – это новая тройка студентов, отобранная из 30 человек. Очевидно, эти тройки отличаются как по составу, так и по порядку, то есть являются размещениями из 30 элементов по 3. Их количество находим по формуле (3):

способов.

Пример 2. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе 11 дисциплин.

решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, то есть является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписания, то есть число размещений из 11 по 5 находим по формуле (3):

вариантов.

3. перестановки

Комбинации из n элементов по n, отличающиеся порядком, называются перестановками. Число перестановок из n элементов равно

(4)

Пример 3. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

решение. каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, то есть является перестановкой из 7 элементов. Их число находим по формуле (4):

вариантов.

Приведем пример на вычисление вероятности случайного события с использованием формул комбина-торики.

Пример 4. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?

решение. Пусть событие А состоит в том, что все 3 выбранных наудачу студента – разрядники. Общее число вариантов выбора трех студентов из 30 равно , так как комбинации из 30 студентов по 3 отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, равно . По формуле (1) имеем

§ 3. Действия над событиями

Пусть с испытанием связаны события А, В.

Определение 1. Суммой событий А, В называется третье событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В:

С = А + В.

Пример 1. Испытание: берут наугад точку в области D (рис 2). Рассмотрим события:

А – попадание в область d1;

В – попадание в область d2;

С– попадание в заштрихованную область.

Тогда С = А + В.

Определение 2. Произведением двух событий А, В называется третье событие С, состоящее в одновременном наступлении этих событий: С = А · В.

Пример 2. Испытание: берут наугад точку в области D (рис 2). Рассмотрим события:

А – попадание в область d1;

В – попадание в область d2;

С – попадание в общую часть областей d1 и d2.

Тогда С = А · В.

Определение 3. Событие В называется противоположным событию А, если оно состоит не в наступлении события А:

В = .

Пример 3. Испытание: берут наугад точку в области D (рис 3).

Событие А: попадание в область d1;

Событие В: попадание в область d2.

Тогда В = .

Замечание. Укажем другие обозначения для введенных операций:

А + В Û А или В;

А · В Û А и В;

Û не А.

Сумма событий – операция "или";

произведение событий – операция "и";

переход к противоположному событию – операция "не".

Из определения суммы и произведения событий вытекают следующие свойства введенных трех операций.

1) А + А = А; 8) А · W = А;

2) А + Æ = А; 9) А · В = В · А;

3) А + W = W; 10) (А · В) · С = А · (В · С);

4) А + В = В + А; 11) (А + В) · С = А · С + В · С;

5) (А + В) + С = А + (В + С); 12) ;

6) А · А = А; 13) .

7) А · Æ = Æ;

Докажем свойства 12 и 13, остальные 1–11 очевидны.

Событие А + В состоит в наступлении хотя бы одного из событий: А, В, следовательно событие состоит в ненаступлении ни одного из событий А, В. Тот же смысл имеет произведение , то есть , что и требовалось.

Событие состоит в одновременном наступлении событий А, В, следовательно событие состоит в ненаступлении хотя бы одного из событий А или В. Тот же смысл имеет сумма , то есть , что и требовалось.

Множество элементов, удовлетворяющих указанным свойствам, называется алгеброй Буля. Алгебра Буля играет важную роль в математической логике, являющейся одной из теоретических основ ЭВМ.

В математической логике применяются следующие названия указанных операций: "или" – дизъюнкция; "и" – конъюнкция; "не" – отрицание.

§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Пусть с испытанием связаны события А, В. Справедлива формула:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В). (5)

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Доказательство. Проведем доказательство в рамках схемы геометрической вероятности.

Испытание: берут наугад точку в области D равновозможным образом (рис. 4).

Событие А: попадание в область d1;

Событие В: попадание в область d2.

р (А + В) = Р (попадание в заштрихованную область) =

=	благоприятная площадь	=	пл. d1 + пл. d2 –пл. d3	=
вся возможная площадь	площадь D
=	пл.d1	+	пл.d2	–	пл.d3	= Р(А) + Р (В) – Р (АВ),
пл.D	пл.D	пл.D

что и требовалось доказать.

Замечание 1. События А, В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при данном испытании. Для несовместных событий справедлива формула

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (6)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

В самом деле, по теореме сложения имеем: