Введение (стр. 2 )

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

2.3. Энергетический баланс (баланс мощностей) в

электрических цепях

При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество тепла, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками электрической энергии.

Если направление тока I, протекающего через источник э. д.с. Е, совпадает с направлением э. д.с. (первая ветвь в схеме рис.2.5), то источник э, д.с. доставляет в цепь в единицу времени энергию (или мощность), равную EI, и произведение EI входит со знаком «плюс» в уравнение энергетического баланса.

Если же направление тока I встречно направлению э. д.с. Е (вторая ветвь в схеме рис.2.5), то источник э. д.с. потребляет энергию (например, заряжается аккумулятор), в этом случае произведение EI входит в уравнение энергетического баланса со знаком «минус».

Когда схема питается не только от источников э. д.с. E, но и от источников тока J, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и утекают токи этих источников, при составлении уравнения энергети­ческого баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Если к узлу а схемы подтекает ток J от источ­ника тока, а от узла b этот ток утекает, то доставляемая источником тока мощность равна UabJ. Напряжение Uab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учётом источника тока J.

Общий вид уравнения энергетического баланса имеет вид:

(2.7)

2.4. Методы расчёта электрических цепей

Метод уравнений Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения напряжений на участках цепи и токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через в, число ветвей, содержащих источники тока, — через вит и число узлов — через у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источ­никами тока известны, то число неизвестных токов равняется в–вит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:

а) произвольно выбрать положительные направления токов в вет­вях и обозначить их на схеме;

б) выбрать положительные направления обхода контуров для со­ставления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется (это не обязательно) для всех контуров положи­тельные направления их обхода выбирать одинаковыми, например, все по часовой стрелке (или наоборот).

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, на единицу меньше, чем число узлов, т. е. у–1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в–вит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. (в–вит) – ( у–1).

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа надо охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стре­мятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называют независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, и потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Пример 1 (см. рис.2.5). E1 =80 [B]; E2 =64 [B]; R1=6 [Ом]; R2 =4 [Ом]; R3 =3 [Ом]; R4 =1 [Ом]. Определить I1, I2, I3.

Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях. В схеме в =3; вит =0; у =2.

По первому закону Кирхгофа составляем ( у–1 = 2–1 = 1) одно уравнение: –I1 –I2 +I3 =0 (а).

По второму закону Кирхгофа составляем [(в–вит) – ( у–1) = (3–0) – (2–1) = 2] два уравнения. Для контура R1E1R2E2 : I1R1 – I2R2 = E1+E2 (б); для контура E2R2R3R4 : I2R2 + I3 (R3+R4) = –E2 (в). Совместное решение уравнений (а), (б), (в) даёт: I1 = 14 [A], I2 = –15 [A], I3 = –1 [A].

Поскольку положительные направления токов выбирают произ­вольно, в результате расчёта какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I2 и I3 , что следует понимать так: направле­ния токов I2 и I3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис.2.5 за положительные, т. е. в действительности токи I2 и I3 текут в обратном направлении.

Метод уравнений Кирхгофа является универсальным методом, однако, его применение ограничено возможностью вычислительных средств, доступных расчётчику, т. к. система уравнений содержит столько уравнений, сколько ветвей без источников тока содержится в схеме.

Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы (содержащей э. д.с. или нет) можно найти по закону Ома для участка цепи (см. п.2.1). Для того, чтобы можно было применить этот закон, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчёта электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потен­циалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Перед тем как составлять уравнения для определения значений потенциалов узлов схемы, необходимо:

а) пронумеровать все N узлов схемы;

б) потенциал одного из узлов принять равным нулю.

Далее составляют каноническую систему из N–1 уравнений по методу узловых потенциалов:

(2.8)

Рассмотрим структуру системы уравнений (2.8). Множителем G при j , имеющем одинаковые индексы Gkk – является сумма проводимостей всех ветвей сходящихся в узле k; имеющем разные индексы Gkm – является сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узел k с узлом m, взятая со знаком «минус». Ток Ikk , называемый узловым током k-го узла, – это расчётная величина, равная алгеб­раической сумме токов, полученных от деления э. д.с. ветвей, подходящих к узлу k, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со зна­ком «плюс» входят токи тех ветвей, э. д.с. которых направлены к узлу k и со знаком «минус», э. д.с. которых направлены от узла k .

Если к k-му узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток Ikk со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус».

Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответст­вующая проводимость равна нулю. После решения системы (2.8) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э. д.с.

Пример 2 (см. рис.2.7). E1 =80 [B]; E2 =36 [B]; E4 =10 [B]; J4 =0,5 [A]; R/1=7 [Ом]; R//1=3 [Ом]; R2 =18 [Ом]; R3 =20 [Ом];

R4 =20 [Ом]. Определить I1, I2, I3, I4.

Обозначим номера узлов 1, 2, 3 и примем потенциал точки 3 равным нулю (j3=0). Так как необходимо найти потенциалы j1 и j2 , то система (2.8) будет иметь вид:

,

Рассчитываем проводимости G11, G22, G12=G21 и узловые токи I11 и I22 :

Таким образом, исходная система имеет вид:

. Решение j1 =36 [B] , j2 =28 [B] .

Далее по закону Ома для участка цепи, содержащей э. д.с., определяем токи в ветвях схемы (рис.2.5) :

Проверка по 1-му закону Кирхгофа показывает, что задача решена верно: узел 1: 4,4=4+0,4; узел 2: 0,4+0,5=0,9.

Преимущество метода узловых потенциалов заключается в том, что если проверка по 1-му закону Кирхгофа проходит успешно, то никакой другой проверки (баланс мощностей) не требуется.

Метод контурных токов. При расчёте методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют реальные токи ветвей через расчётные контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчёта, в котором за искомые принимают контурные токи.

Перед тем как составлять уравнения для определения значений контурных токов, необходимо:

а) определить все независимые контуры схемы;

б) произвольно задаться направлением контурных токов в них.

Далее составляют каноническую систему уравнений по методу контурных токов:

(2.9)

Рассмотрим структуру системы уравнений (2.9). Множителем R при контурных токах Ikk , имеющем одинаковые индексы Rkk – является сумма сопротивлений всех ветвей, которые обтекает контурный ток k-го контура, имеющем разные индексы Rkm – является сумма сопротивлений ветвей обтекаемых одновременно контурными токами k-го и m-го контуров, причём сопротивления тех ветвей, в которых контурные токи протекают в одном направлении входят со знаком «плюс», а сопротивления тех ветвей, в которых контурные токи протекают в разных направлениях входят со знаком «минус». Еkk – контурная э. д.с. k-го контура. Она равна алгебраи­ческой сумме э. д.с. этого контура. В неё со знаком «плюс» входят те э. д.с., направления которых совпадают с на­правлением контурного тока и со знаком «минус», направления которых не совпадают с на­правлением контурного тока.

После решения системы (2.9) относительно контурных токов ток в любой ветви определяют как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Пример 3 (см. рис.2.8). E1 =80 [B]; E2 =36 [B]; E4 =10 [B]; J4 =0,5 [A]; R/1=7 [Ом]; R//1=3 [Ом]; R2 =18 [Ом]; R3 =20 [Ом]; R4 =20 [Ом]. Определить I1, I2, I3, I4.

Схема и параметры аналогичны примеру 2. Эта схема имеет некоторую особенность, которая заключается в наличии источника тока J4. Этот источник можно преобразовать в источник э. д.с. и включить последова - тельно с Е4. Однако, можно поступить и по-другому, выделив источник тока в отдельный контур, как это показано на рис.2.8. Система уравнений (2.9) будет выглядеть следующим образом:

Рассчитываем сопротивления R11, R22, R12=R21, R13, R23 и контурные э. д.с. Е11 и Е22.

,

,

,

, ,

,

.

Таким образом, исходная система имеет вид:

. Решение I11 = 4,4 [A]; I22 = 0,4[A]

Определяем токи в ветвях:

Полученное решение необходимо проверить по 2-му закону Кирхгофа для всех контуров или по балансу мощностей.

Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис.2.9 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчёта токов в них является метод двух узлов. Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов. Если N=2, j2=0 система (2.8) выродится в уравнение:

. (2.10)

Под методом двух узлов понимают метод расчёта электрических цепей, в котором за искомое принимают напряжение между двумя узлами схемы. Затем с его помощью определяют токи ветвей.

Читателю предлагается самостоятельно записать формулы для определения напряжения двух узлов и токов схемы, изображённой на рис.2.9.

2.5. Матричный метод расчёта

электрических цепей

Соединение элементов электрической цепи наглядно отобра­жается её схемой. Пусть цепь состоит только из двухполюсных элементов. В простейшем случае, как отмечалось выше, такие элементы могут быть сое­динены последовательно или параллельно.

При последовательном соединении (см. п.2.2) два соседних элемента имеют один общий зажим. В любой момент времени ток в каждом элементе имеет одинаковое значение. Напряжение на зажимах всего соединения равно сумме напряжений на отдель­ных элементах:

(2.11)

При параллельном соединении (см. п.2.2) все элементы присоединены к одной и той же паре узлов. Для любого момента времени напряжение на каждом элементе одинаково. Ток в неразветвлен­ной части цепи равен сумме токов всех элементов:

(2.12)

Соотношения (2.11) и (2.12) справедливы для соединений любых элементов: линейных и нелинейных, с постоянными и перемен­ными во времени параметрами, резистивных, индуктивных, емкостных и т д., причём в ветвях элементы могут соединяться различным образом.

Выражения (2.11) и (2.12) представляют собой примеры простейших соотношений, которые определяются только способом соединения элементов, или, как говорят, геометрией (топологией) соединений.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Например, на рис.2.10 приведена схема разветвленной электрической цепи. Если каждую ветвь схемы заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис.2.11.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заме­няется отрезком линии, называют графом электрической цепи.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называют ветвью графа. Граничные (концевые) точки ветви графа назы­вают узлами графа.

Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называют ориентированным. В противном случае граф счи­тают неориентированным.

Контур графа – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути.

Сечением графа называют множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых в частном случае может быть изолированным узлом.

Топологические матрицы графа. В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три топологические матрицы: матрицу соединений (узловую) А, мат­рицу сечений Q и матрицу контуров В.

Матрица соединений (узловая матрица) А —это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов. Строки этой матрицы соответствуют узлам, столбцы — ветвям. Если элемент матрицы А обозначить через аij, т. е. A=[ аij]

(i — номер строки, j — номер столбца), то можно сформулировать следующее правило составления матрицы:

аij= 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла;

аij= – 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу;

аij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Обычно число строк матрицы А равно числу независимых узлов, т. е. на единицу меньше числа узлов графа (схемы), т. е. равно у – 1. Если узловую матрицу записывают для всех узлов, то её обозначают АН.

Матрица сечений Q — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки мат­рицы Q соответствуют сечениям, столбцы — ветвям.

Элемент qij матрицы Q = [qij] оп­ределяется следующим образом:

qij = 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения (т. е. с направлением для замкнутой по­верхности);

qij = –1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения;

qij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Матрица контуров (контурная мат­рица соединения ветвей) В — это таблица ко­эффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки матрицы В соответствуют контурам, столбцы — ветвям.

Элемент bij матрицы В = [bij] определяется следующим образом:

bij = 1, если ветвь j содержится в кон­туре i и направление ветви совпадает с на­правлением обхода контура;

bij = – 1, если ветвь j содержится в кон­туре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура;

bij = 0 если ветвь j не содержится в контуре i.

Число строк матрицы В равно числу независимых контуров.

В дальнейшем нам будет необходимо совершать арифметические действия с матрицами, поэтому вспомним некоторые правила.

При сложении (вычитании) двух матриц каждому элементу третьей результирующей матрицы соответствует сумма (разность) соответствующих элементов первых двух матриц. Естественно, матрицы должны быть одинаковой размерности.

Произведением матрицы М1=[aij] размера на матрицу М2=[bij] размера является матрица М3=[cij] размера , элемент которой Сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы М1 на соответствующие элементы j-го столбца матрицы М2, т. е. число столбцов матрицы М1 должно быть равно числу строк матрицы М2:

Матрица М-1 называется обратной к матрице М, если М х М-1=М-1 х М=Е, где Е – единичная матрица, т. е. матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные 0. Матрица имеет обратную только в том случае, если она квадратная и её определитель не равен нулю.

Законы Ома и Кирхгофа в матричной форме. Некоторая обобщённая ветвь электрической цепи может в общем случае содержать сопротивление rk, идеальный источник э. д.с. Ek и идеальный источник тока Jk рис.2.12.

Примем указанное на рис.2.12 направление источника э. д.с. и тока за положительное. Тогда, напряжение на зажимах ветви по закону Ома

.

Запишем это соотношение для всех ветвей схемы:

. . .

.

или в матричной форме

Введём обозначения: – столбцовая матрица напряжений ветвей; – диагональная матрица сопротивления ветвей; – диагональная матрица проводимостей ветвей, причём ; – столбцовая матрица токов ветвей; – столбцовая матрица источников тока; – столбцовая матрица источников э. д.с. Запишем закон Ома в матричной форме записи для напряжений ветвей:

(2.13)

и для токов ветвей:

. (2.14)

Далее в матричной форме – первый закон Кирхгофа

(2.15)

и второй закон Кирхгофа.

(2.16)

Применение узловых уравнений. Умножим обе части равенства (2.14) на матрицу А

.

Раскроем квадратные скобки, перегруппируем и с учётом (2.15) получим:

. (2.17)

С помощью матрицы А напряжения всех ветвей можно выразить через потенциалы узлов:

, (2.18)

где UВ и j – соответственно столбцовые матрицы напряжений ветвей и узловых потенциалов, АТ – транспонированная узловая матрица.

Подставим (2.18) в (2.17) и получим уравнение

, (2.19)

которое называют узловым уравнением в матричной форме. Далее введём обозначения

;

и запишем узловое уравнение более кратко:

.

Матрицу GУ называют матрицей узловых проводимостей, матрицу IУ – матрицей узловых токов.

Пример 4 (см. рис.2.10). E1 =80 [B]; E2 =36 [B]; E4 =10 [B]; J4 =0,5 [A]; R/1=7 [Ом]; R//1=3 [Ом]; R2 =18 [Ом]; R3 =20 [Ом]; R4 =20 [Ом]. Определить I1, I2, I3, I4.

Изобразим граф цепи (рис.2.11), пронумеруем узлы и примем потенциал одного из них за нуль (j3=0), пронумеруем ветви и зададим их направления (направления токов). Вычисления будем проводить в MathCAD. Задаём узловую матрицу А, столбцовую матрицу э. д.с. ЕВ (знак «плюс» соответствует одинаковому направлению ветви графа и направлению э. д.с.), столбцовую матрицу источников тока JВ (знак «плюс» соответствует противоположному направлению ветви графа и направлению источника тока), диагональную матрицу сопротивлений ветвей схемы RВ:

Вычисляем матрицу проводимостей ветвей как обратную матрице сопротивлений:

Далее вычисляем матрицу узловых проводимостей, и матрицу узловых токов:

Столбцовую матрицу узловых потенциалов j определяем через обратную матрицу GУ-1:

Столбцовую матрицу напряжений ветвей получаем по (2.18) и далее по выражению (2.14) определяем токи в ветвях (столбцовую матрицу токов ветвей):

Ток четвёртой ветви I4=0,4 [A] – ток обобщённой ветви (рис.2.10). Для того, чтобы определить ток в R4 необходимо учесть источник тока:

Применение контурных уравнений. Умножим обе части равенства (2.13) на матрицу В

Раскроем квадратные скобки, перегруппируем и с учётом (2.16) получим:

. (2.20)

С помощью матрицы В токи в ветвях можно выразить через контурные токи:

, (2.21)

где IB и IК – соответственно столбцовые матрицы токов ветвей и контурных токов, ВТ – транспонированная матрица контуров.

Подставим (2.21) в (2.20) получим уравнение

,

которое называют контурным уравнением в матричной форме. Далее введём обозначения

;

и запишем узловое уравнение более кратко:

Матрицу RК называют матрицей контурных сопротивлений, матрицу EК – матрицей контурных э. д.с..

Пример 5 (см. рис.2.10). E1 =80 [B]; E2 =36 [B]; E4 =10 [B]; J4 =0,5 [A]; R/1=7 [Ом]; R//1=3 [Ом]; R2 =18 [Ом]; R3 =20 [Ом]; R4 =20 [Ом]. Определить I1, I2, I3, I4.

Изобразим граф цепи (рис.2.11), пронумеруем ветви цепи и зададим их направление (направление токов), пронумеруем контуры и выберем направление их обхода. Вычисления будем проводить в MathCAD. Задаём матрицу контуров В, столбцовую матрицу э. д.с. ЕВ (знак «плюс» соответствует одинаковому направлению ветви графа и направлению э. д.с.), столбцовую матрицу источников тока JВ (знак «плюс» соответствует противоположному направлению ветви графа и направлению источника тока), диагональную матрицу сопротивлений ветвей схемы:

Вычисляем матрицу контурных сопротивлений, и матрицу контурных э. д.с.:

Столбцовую матрицу контурных токов IK определяем через обратную матрицу RK-1:

Далее по выражению (2.21) определяем токи в ветвях:

Ток четвёртой ветви I4=0,4 [A] – ток обобщённой ветви (рис.2.12). Для того, чтобы определить ток в R4 необходимо учесть источник тока:

Пример 6. Нарисовать граф цепи и составить матрицы А, В, RВ, ЕВ, JВ.