Введение (стр. 3 )

Граф цепи выглядит так:

Потенциал узла 4 примем равным нулю и зададим направление ветвей и контуров.

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.1.  Синусоидальный ток и основные его характеристики

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

(3.1)

График его дан на рис.3.1. Максимальное значение функции назы­вают амплитудой . Амплитуду тока обозначают Im; период Т — это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота f равна числу колебаний в 1 секунду. Измеряют f в с-1 или герцах (Гц):

(3.2)

Угловую частоту w измеряют в рад/с.

(3.3)

Аргумент синуса, т. е. величину , называют фазой. Величину назвают начальной фазой. Фаза характеризует состояние колебания (т. е. числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

В России и в Западной Европе наибольшее распространение получи­ли установки синусоидального тока частотой 50 гц, принятой в энерге­тике за стандартную. В США стандартной является частота 60 гц. Диа­пазон частот практически применяе­мых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

Синусоидальные токи и э. д.с. сравнительно низких частот (прибли­зительно до нескольких килогерц) получают обычно с помощью син­хронных генераторов.

Синусоидальные токи и э. д.с. высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов.

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают среднее значение её за полпериода. Так, среднее значение тока

. (3.4)

Аналогично

; .

Очень широко применяют понятие действующего значения сину­соидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

(3.5)

Аналогично

; .

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с теп­ловым действием постоянного тока IПОСТ , текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

.

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна . Приравняем их:

или .

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электро­динамической и тепловой систем. Принцип действия измерительных приборов раз­личных систем изучают в курсе электрических измерений.

Коэффициент амплитуды ka — это отношение амплитуды периоди­чески изменяющейся функции к её действующему значению. Так, для синусоидального тока

. (3.6)

Под коэффициентом формы kф понимают отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока

. (3.7)

Отклонение kф от значения 1,11 косвенно свидетельствует о том, насколько переменный (несинусоидальный) ток отличается от синусоидального.

3.2.  Символический метод расчёта цепей

синусоидального тока

Рассмотрим схему, приведённую на рис.3.2. Генератор синусоидальной э. д.с. на электрических схемах обоз­начают в виде кружка со знаком синусоиды ~ и нанесённой рядом с ней стрелкой, показывающей направление, принятое для э. д.с. за положительное. Аналогично указывают направление переменного тока.

Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

или с учётом (1.3, 1.4, 1.5)

. (3.8)

Сущность символического метода расчёта состоит в том, что при синусоидальном токе от дифференциального уравнения (3.8), составленного для мгновенных значений, можно перейти к алгебраическому уравнению, составленному относительно комплексов тока и э. д.с.

Метод называют символическим потому, что токи, напряжения и э. д.с. заменяют их комплексными изображениями или символами: мгновенное значение тока i заменяют ком­плексной амплитудой тока , э. д.с. е – комплексом , производную заменяют на , а интеграл – на . Таким образом, дифференциальное уравнение (3.8) преобразуется в алгебраическое

, (3.9)

где – мнимая единица, а w определяется по (3.3).

На рис.3.3 дана комплексная плоскость, на которой изо­бражаются комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим значок +1, а на оси мнимых значений — значок +j .

Положение вектора на комплексной плоскости можно однозначно определить через его проекции на действительную и мнимую оси или через длину вектора A и угол a, отсчитываемый от действи- тельной оси против часовой стрелки , т. е.

.

Между а, b, A и a существуют следующие соотношения:

,

и

, .

Для сложения и вычитания комплексных чисел их удобно представлять в виде , а при выполнении операций умножения и деления в виде .

Вернёмся к уравнению (3.9). Сначала третье слагаемое правой части умножим и разделим на j, в результате чего получим:

.

Далее вынесем за скобки

.

Выразим

. (3.10)

Выражение в знаменаназывается комплексным сопротивлением и обозначается . Точку над не ставят, потому что принято ставить её только над такими комплексными величинами, которые являются синусоидаль­ными функциями времени. Очевидно, что резистивный элемент R в символическом методе заменяется комплексным сопротивлением R, мнимая часть которого равна нулю, индуктивный элемент L заменяется комплексным сопротивлением jwL , действительная часть которого равна нулю, а ёмкостный элемент С – комплексным сопротивлением -j(1/wC) , действительная часть которого также равна нулю.

Уравнение (3.10) можно записать так:

. (3.11/)

Разделив обе части этого уравнения на перейдём от комплексных амплитуд к комплексам действующих значений

. (3.11//)

Уравнение (3.11/) и (3.11//) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.

В общем случае имеет некоторую действительную часть R и некото­рую мнимую часть jX:

, (3.12)

где R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление.

Для схемы рис.3.2 реактивное сопротивление

,

где XL называется индуктивным сопротивлением [Ом], а XC называется емкостным сопротивлением [Ом].

В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусои­дального тока не связаны между собой магнитно, все расчётные формулы гл.2 пригодны и для расчёта цепей синусои­дального тока, если в этих формулах вместо посто­янного тока I подставить комплекс тока , вместо сопротивления R – комплексное сопротивление , вместо проводимости G – комплексную проводимость и вместо постоянной э. д.с. E – комплексную э д. с. .

3.3.  Активные и реактивные элементы

в цепи синусоидального тока

На рис.3.4,а изображено активное сопротивление R, по которому течёт ток i = Im Sinw t. По закону Ома, напряжение

Комплекс тока и совпадающий с ним по фазе комплекс напряже­ния показаны на векторной диаграмме, строящейся на комплексной плоскости, рис.3.4, б.

На рис.3.4, в даны кривые мгновенных значений тока i, напряже­ния и и мощности

.

Мгновенная мощность р имеет постоянную состав - ляющую и составляющую , изменяющуюся с частотой 2w. Элемент, у которого р имеет постоянную составляющую, называется активным.

На рис.3.5,а изображена индуктивность L , по которой протекает ток i = Im Sinw t, при этом в индуктивности L наводится э. д.с. самоиндукции

Из рис.3.5,а видно, что , поэтому

,

где

.

На рис.3.5,б показано, что в индуктивности ток отстаёт от напряжения на 900.

Графики мгновенных значений i, и, р изображены на рис. 3.5, в.

Мгновенная мощность

проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо и, либо i. За первую четверть периода, когда и и i положительны, р также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индуктивности. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику пита­ния, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова забирается энергия, за четвертую отдается и т. д., т. е. энергия периодически то забирается индуктивностью от источника, то отдается ему обратно. Постоянная составляющая р равна нулю, поэтому индуктивность называют реактивным элементом.

На рис.3.6,а изображена ёмкость С, к которой приложено напряжение u = Um Sinw t, при этом в ёмкости протекает ток

где

.

На рис.3.6,б показано, что в ёмкости ток опережает напряжение на 900.

Графики мгновенных значений и, i, р изображены на рис.3.6, в.

Мгно­венная мощность

.

За первую четверть периода конден­сатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание элек­трического поля в конденсаторе. Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимума до нуля, и запасённая в электрическом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть периода энергия снова запасает­ся, за четвертую отдается и т. д. Постоянная составляющая р равна нулю, поэтому ёмкость также, как и индуктивность, называют реактивным элементом.

3.4.  Определение токов в ветвях схем,

построение топографических диаграмм

напряжений и векторных диаграмм

токов

Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются активные сопро­тивления, индуктивности, ёмкости, источники э. д.с. и тока имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комп­лексные потенциалы одноимённых точек электрической схемы и соединённых между собой векторами, назы­вают топографической диаграммой напряжений.

Совокупность векторов, построенных из начала координат комплексной плоскости, концы которых имеют значения координат, рассчитанных токов, называют векторной диаграммой токов.

Последовательную схему рассмотрим на конкретном примере (рис.3.7).

Пример 7. Допустим R1 = 7 [Ом]; XL = 20 [Ом]; R2 = 3 [Ом]; XC = 10 [Ом]; e(t) = 311,1 Sin (1000t +30о) [B]. Определить ток , комплексы потенциалов точек схемы и построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Расчёт проведём в действующих значениях, поэтому сначала определяем действующее значение э. д.с.:

Так как начальная фаза равна 30о, комплекс э. д.с. будет равен

Комплек с полного сопротивления контура

Ток в контуре по закону Ома равен

.

Комплексы потенциалов точек схемы:

Схема содержит один контур, следовательно векторная диаграмма токов будет состоять из одного тока .

Потенциал точки е должен быть равен э. д.с. (второй закон Кирхгофа в комплексной форме), что и получено в результате расчёта. На рис.3.8 приведена топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов, построенная по рассчитанным выше комплексам потенциалов точек схемы и комплексу тока. Из диаграммы видно, что напряжение Uab = UC перпендикулярно вектору тока I (вектор I построен в другом масштабе) и направлено в сторону отставания (по часовой стрелке), напряжения Ubc = UR2 и Ude = UR1 совпадают по направлению с током I , а напряжение Uсd = UL перпендикулярно вектору тока I и направлено в сторону опережения (против часовой стрелки). Вектор э. д.с. Е =Uae равен сумме векторов Uab + Ubc + Uсd + Ude .

Рассмотрим цепь, состоящую из параллельного соединения индуктивности L и активного сопротивления R (рис.3.9,а). Допустим амперметры А1 и А2 имеют одинаковые показания 10 [А]. Требуется определить показание амперметра А3. Считаем, что сопротивления амперметров равны нулю. Решение проведём с помощью векторной диаграммы токов. Зададим произвольно (предполо-жим по действительной оси) направление вектора напряжения Uab. Вектор тока I1 направлен перпендикулярно вектору напряжения Uab в сторону отставания. Вектор тока I2 совпадает с направлением вектора напряжения Uab. Вектор тока I3 является векторной суммой I1 и I2 , а его длина определяется по теореме Пифагора

.

Для более сложных схем, состоящих из двух и более контуров можно применять метод узловых потенциалов, контурных токов, двух узлов и т. п. Однако, при ручном счёте на микрокалькуляторе требуется много времени. При использовании MathCAD время затрачивается только на расчёт комплексов сопротивлений ветвей и составление соответствующих матриц (см. п.2.5).

Пример 8. Рассчитать токи в ветвях схемы (рис.3.10) матричным методом, если e1(t)=141,4Sin(314t+450); e2(t)=169,7Sin314t ; Z1=6–j6,5; Z2=6+j5,08; Z3=3,5+j4,96.

Комплексы э. д.с. в действующих значениях:

;

.

Составляем матрицы контуров В, источников э. д.с. Ев, источников тока Jв и сопротивлений Zв:

Вычисляем матрицы контурных сопротивлений Zk, контурных э. д.с. Ek и токов ветвей:

Комплексы токов:

;

;

или в мгновенных значениях:

;

;

.

3.5.  Активная, реактивная и полная мощности

Под активной мощностью Р понимают среднее за период значение мгновенной мощности р. Если ток , апряжение на участке цепи , то активная мощность:

. (3.13)

Активная мощность физически представляет собой энергию, кото­рая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R.. Действительно, , с другой стороны или , следовательно, произведение U cos j = IR , а активная мощность

[Вт]. (3.14)

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения U на участке цепи на ток I по этому участку и на синус угла j между напряжением U и током I:

[ВАр] . (3.15)

Реактивную мощность принято измерять в вольтамперах реактив­ных [ВАр]. Если sin j > 0, то и Q > 0, если sin j < 0, то Q < 0. Под реактивной мощностью понимают скорость энергообмена между источником и реактивным элементом.

Полная (кажущаяся) мощность

[ВА] (3.16)

Между P, Q и S cуществует соотношение

. (3.17)

Рассмотрим простой приём определения активной и реактивной мощностей через комплекс напряжения и сопряженный комплекс тока. Напряжение на некотором участке цепи обозначим через , ток по этому участку . Угол между напряжением и током . Умножим комплекс напряжения на сопряжённый комплекс тока и обозначим полученный комплекс через :

.

(3.18)

3.6.  Двухполюсник в цепи синусоидального тока,

резонансные режимы его работы

Входное сопротивление двухполюсника (рис.1.1,б) при синусоидальном токе

. (3.19)

Если ХВХ > 0, то входное сопротивление имеет индуктивный характер, если ХВХ < 0 – ёмкостный, а если ХВХ = 0 – чисто активный.

Входная проводимость YBX представляет собой величину, обратную входному сопротивлению:

, (3.20)

где GBX и BBX – соответственно активная и реактивная входная проводимость.

Если ХВХ > 0, то ВВХ>0, а если ХВХ < 0, то ВВХ <0.

Пусть двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и одну или несколько ёмкостей. Режим (или режимы), при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным, называется резонансным.

По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме имеет активное сопротивление, поэтому ток и напряжение на входе двухполюсника совпадают по фазе.

Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Явление резонанса в схеме рис.3.11,а, образованной двумя парал­лельными ветвями с разнохарактерными реактивными сопротивле­ниями, называют резонансом токов.

Пусть первая ветвь имеет активное сопротивление R1 и индуктивное XL , а вторая ветвь — активное R2 и ёмкостное XC.

Ток I1 первой ветви (ветви с индуктивностью) отстает от напряжения U = Uab (рис.3.11, б) и может быть записан так:

.

Ток I2 второй ветви (ветви с ёмкостью) опережает напряжение U :

.

По первому закону Кирхгофа ток I в неразветвлённой части цепи

По определению резонансного режима, ток I должен совпадать по фазе с напряжением U . Это будет при условии, что сумма реактив­ных проводимостей ветвей равна нулю:

.

В соответствии с (3.20)

и

.

Следовательно, условие наступления режима резонанса токов в схеме рис.3.11, а можно записать так:

. (3.21)

На рис.3.11,б изображена векторная диаграмма токов для резонансного режима. Из (3.21) следует, что, если R2 = 0, резонанс наступит при условии

.

В еще более частном случае, когда R2 = 0 и R1<<w L, резонанс наступит при

.

Резонанса можно достичь путем изменения w , L, С или путем изме­нения R1 и R2. Ток в неразветвленной части схемы по величине может быть меньше, чем токи в ветвях схемы. При R2 = 0 и R10 ток I может оказаться ничтожно малым по сравнению с токами I1 и I2 .

В идеализированном, практически не выполнимом режиме работы, когда R1 = R2 = 0, ток в неразветвленной части схемы рис.3.11,а равен нулю и входное сопротивление схемы равно бесконечности. При этом частота, на которой наступает резонанс равна:

. (3.22)

Из (3.21) следует, что частота на которой наступает резонанс в реальной параллельной цепи рис.3.11,а:

. (3.23)

Резонанс в схеме последовательного соединения R, L, С (рис.3.2) называют резонансом напряжений.