Введение (стр. 4 )

При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с э. д.с. Е. Это возможно, если входное сопротивление схемы (cм. формулу 3.12):

будет чисто активным, т. е. когда выражение в скобках будет равно нулю. Таким образом, условие резонанса в последовательной R, L, С цепи

. (3.24)

Из (3.24) следует, что частота на которой наступает резонанс в последовательной цепи рис.3.2:

. (3.25) Топографическая диаграмма напряжений для режима резонанса показана на рис.3.12.

Ток в цепи при резонансе напряжений равен

.

Действующее значение напряжения на индуктивности равно действующему значению напряжения на ёмкости

.

Отношение

(3.26)

называют добротностью резонансного контура. Добротность Q показывает во сколько раз напряжение на реактивном элементе (L или C) больше, чем на входе схемы и используется для решения важных практических задач.

3.7.  Трёхфазные цепи, основные соотношения,

схемы соединения и методы расчёта

Под трёхфазной симметричной системой э. д.с. понимают совокуп­ность трёх синусоидальных э. д.с. одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. График их мгновенных значений и векторная диаграмма изображены на рис.3.13.

Источником энергии в трёхфазной системе служит трехфазный гене­ратор (рис.3.14). Он состоит из статора (неподвижной части) и ротора (подвижной части), представля - ющего собой электромагнит. В пазах статора размещены три электрически изолированные друг от друга обмотки — фазные обмотки генератора (А, В, С на рис.3.14). Если ротор генератора двухполюсный, то оси фазных обмоток генератора повернуты в пространстве относительно друг друга на угол 120°. При вращении ротора в фазных обмот­ках статора индуктируются синусоидальные фазные э. д.с. Вследствие симметрии конструкции генератора максимальные Ет и действую­щие Е значения э. д.с. во всех фазах одинаковые. Однако линии магнитного поля вращающегося ротора пересекают провода фазных обмоток не одновременно. Поэтому синусоидальные э. д.с. обмоток сдви­нуты по фазе относительно друг друга на одну треть периода, чему соответствует пространственный угол 2p/3 между осями обмоток(рис.3.13, 3.14).

Совокупность трёхфазной системы э. д.с., трёхфазной нагруз­ки или нагрузок и соединительных проводов называют трёхфазной цепью.

Токи, протекающие по отдельным участкам трёхфазных цепей, сдвинуты относительно друг друга во времени, т. е. по фазе. Участок трёхфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток также называют фазой. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса, фаза это либо участок трёхфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.

На схемах замещения фазы трёхфазного генератора или вторич­ной обмотки трёхфазного трансформатора изображают двумя спо - собами (рис.3.15, а, б).

Если э. д.с. одной фазы (например, фазы А) принять за исходную и считать её начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных значений э. д.с. можно записать в виде

;

;

.

Комплексные действующие э. д.с. будут иметь соответственно выражения:

;

; (3.27)

,

где .

Из векторной диаграммы трёхфазной симметричной системы э. д.с., показанной на рис.3.13 следует, что в любой момент времени

.

На распределительных устройствах шины, относящиеся к разным фазам, имеют различную раскраску. В нашей стране приняты цвета: желтый — для фазы А, зеленый — для фазы В, красный — для фазы С.

Фазы трёхфазного генератора или вторич­ные обмотки трёхфазного трансформатора могут быть соединены звездой (рис.3.16,а), в которой концы фаз X, Y, Z соединяются в один общий узел N (или 0), называемый нейт­ралью или нейтральной (нулевой) точкой генератора (либо трансформатора). Провода, соединяющие начала фаз обмоток генератора (трансформатора) и приёмника, называют линейными, а провод, соединяющий нейтральные точ­ки генератора и приёмника, — нейтральным (или нулевым).

При соединении фаз обмотки трёхфазного генератора треугольником объединяются в одну точку начала и концы соответст­вующих фаз: X и В, Y и С, Z и А (рис.3.16,б).

Важной особенностью трёхфазных цепей является наличие двух напряжений — фазного и междуфазного. Фазным называют напряжение между началом и концом каждой фазы, а междуфазным — между началами двух фаз. За положительное направ­ление фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз обмоток (рис.3.16,а). Соотношения между междуфазными и фазными напряжениями трёхфазного источника электрической энергии при соединении обмоток звездой определяют из соотношения

, (3.28)

которое определяет предусмотренные ГОСТом междуфазные и фазные напряжения для цепей низкого напряжения:

;

Приёмники, включаемые в трёхфазную цепь, могут быть либо одно­фазными, либо трёхфазными. К однофазным приёмникам относятся электрические лампы накаливания и другие осветительные приборы, различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т. д. К трёх­фазным приёмникам относятся трёхфазные асинхронные двигатели и индукционные печи. Обычно комплексные сопротивления фаз трёх­фазных приёмников равны между coбoй: . Такие при­ёмники называют симметричными. Если это условие не вы­полняется, то приёмники называют несимметричными.

Подобно фазам генераторов и трансформаторов фазы трёхфазных приёмников, а также однофазные приёмники могут соединяться звездой либо треугольни­ком. Способ соединения фаз обмоток источника электрической энергии не предопределяет спо­соб соединения приём­ников.

На рис.3.17 показа­ны схема включения од­нофазных и трёхфазных приёмников (а) и схема замещения (б) этой це­пи. Как правило, элек­трические осветитель­ные приборы, являясь в трёхфазных цепях ти­пичными несимметрич­ными приёмниками, включаются либо звез­дой в четырехпроводную цепь, либо треугольником в трёхпроводную цепь. В качестве примера симметричных приёмников на рис.3.17 изображен асинхронный двигатель, обмотки кото­рого соединены звездой (на схеме замещения каждая обмотка представлена резистивным и

индуктивным элементами), и батарея конденсаторов,
соединенная треугольником.

Существуют пять простейших комбинаций включения трёхфазного источника и трёхфазного приёмника:

1). Соединение звезда – звезда с нулевым проводом (рис.3.18).

При таком соеди - нении ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе и определяется фазной э. д.с. и сопротивлением фазы приёмника

;

; (3.29)

.

2). Соединение звезда – звезда без нулевого провода (рис.3.19).

При таком соеди- нении также ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе, но определяется фазной э. д.с., сопротивлением фазы приёмника и напряжением смещения нейтрали U00 :

, (3.30)

,

, (3.31)

.

Если при таком соединении нагрузка симметрична, то напряжение смещения нейтрали U00 = 0 и формулы (3.31) превращаются в (3.29).

3). Соединение звезда – треугольник (рис.3.20).

При таком соеди - нении ток в линейном проводе равен разности токов фаз. Ток фазы определяется междуфазным напряжением и сопро - тивлением фазы:

; ; ,

; ; .

4). Соединение треугольник– треугольник (рис.3.21).

При таком соеди - нении ток в линейном проводе равен разности токов фаз. Ток фазы определяется фазной э. д.с. и сопротивлением фазы приёмника

;

;

.

5). Соединение треугольник– звезда (рис.3.22).

При таком соеди - нении ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе. Треугольник источника легко преобразовать в звезду и, таким образом, привести схему к виду звезда – звезда без нулевого провода. Далее необходимо составить систему уравнений относительно токов в фазах источника и токов в линейных проводах. Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.

Отметим, что обмотки фаз ге­нератора предпочитают соеди­нять звездой, так как в случае нарушения симметрии э. д.с. в обмотке, соединенной треугольником, уже при холостом ходе возникнут токи, которые вызовут нагревание обмоток и соответствующее увеличение потерь энергии. Что касается вторичных обмоток трансформаторов, то их можно соеди­нять и звездой, и треугольником.

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и потому расчёт и исследование процессов в них производятся теми же методами и приёмами, которые рассматривались в гл. 2 и 3.

Для цепей трёхфазного тока применим также символический метод расчёта, могут строиться векторные и топографические диаграммы.

Аналитический расчёт трёхфазных цепей рекомендуется сопрово­ждать построением векторных или топографических диаграмм. Век­торные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, делают все соотношения более наглядными и помогают находить ошибки при аналитическом расчёте, если последние возни­кают.

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.8.  Синусоидальный ток и основные его характеристики

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

(3.1)

График его дан на рис.3.1. Максимальное значение функции назы­вают амплитудой . Амплитуду тока обозначают Im; период Т — это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота f равна числу колебаний в 1 секунду. Измеряют f в с-1 или герцах (Гц):

(3.2)

Угловую частоту w измеряют в рад/с.

(3.3)

Аргумент синуса, т. е. величину , называют фазой. Величину назвают начальной фазой. Фаза характеризует состояние колебания (т. е. числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

В России и в Западной Европе наибольшее распространение получи­ли установки синусоидального тока частотой 50 гц, принятой в энерге­тике за стандартную. В США стандартной является частота 60 гц. Диа­пазон частот практически применяе­мых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

Синусоидальные токи и э. д.с. сравнительно низких частот (прибли­зительно до нескольких килогерц) получают обычно с помощью син­хронных генераторов.

Синусоидальные токи и э. д.с. высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов.

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают среднее значение её за полпериода. Так, среднее значение тока

. (3.4)

Аналогично

; .

Очень широко применяют понятие действующего значения сину­соидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

(3.5)

Аналогично

; .

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с теп­ловым действием постоянного тока IПОСТ , текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

.

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна . Приравняем их:

или .

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электро­динамической и тепловой систем. Принцип действия измерительных приборов раз­личных систем изучают в курсе электрических измерений.

Коэффициент амплитуды ka — это отношение амплитуды периоди­чески изменяющейся функции к её действующему значению. Так, для синусоидального тока

. (3.6)

Под коэффициентом формы kф понимают отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока

. (3.7)

Отклонение kф от значения 1,11 косвенно свидетельствует о том, насколько переменный (несинусоидальный) ток отличается от синусоидального.

3.9.  Символический метод расчёта цепей

синусоидального тока

Рассмотрим схему, приведённую на рис.3.2. Генератор синусоидальной э. д.с. на электрических схемах обоз­начают в виде кружка со знаком синусоиды ~ и нанесённой рядом с ней стрелкой, показывающей направление, принятое для э. д.с. за положительное. Аналогично указывают направление переменного тока.

Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

или с учётом (1.3, 1.4, 1.5)

. (3.8)

Сущность символического метода расчёта состоит в том, что при синусоидальном токе от дифференциального уравнения (3.8), составленного для мгновенных значений, можно перейти к алгебраическому уравнению, составленному относительно комплексов тока и э. д.с.

Метод называют символическим потому, что токи, напряжения и э. д.с. заменяют их комплексными изображениями или символами: мгновенное значение тока i заменяют ком­плексной амплитудой тока , э. д.с. е – комплексом , производную заменяют на , а интеграл – на . Таким образом, дифференциальное уравнение (3.8) преобразуется в алгебраическое

, (3.9)

где – мнимая единица, а w определяется по (3.3).

На рис.3.3 дана комплексная плоскость, на которой изо­бражаются комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим значок +1, а на оси мнимых значений — значок +j .

Положение вектора на комплексной плоскости можно однозначно определить через его проекции на действительную и мнимую оси или через длину вектора A и угол a, отсчитываемый от действи- тельной оси против часовой стрелки , т. е.

.

Между а, b, A и a существуют следующие соотношения:

,

и

, .

Для сложения и вычитания комплексных чисел их удобно представлять в виде , а при выполнении операций умножения и деления в виде .

Вернёмся к уравнению (3.9). Сначала третье слагаемое правой части умножим и разделим на j, в результате чего получим:

.

Далее вынесем за скобки

.

Выразим

. (3.10)

Выражение в знаменаназывается комплексным сопротивлением и обозначается . Точку над не ставят, потому что принято ставить её только над такими комплексными величинами, которые являются синусоидаль­ными функциями времени. Очевидно, что резистивный элемент R в символическом методе заменяется комплексным сопротивлением R, мнимая часть которого равна нулю, индуктивный элемент L заменяется комплексным сопротивлением jwL , действительная часть которого равна нулю, а ёмкостный элемент С – комплексным сопротивлением -j(1/wC) , действительная часть которого также равна нулю.

Уравнение (3.10) можно записать так:

. (3.11/)

Разделив обе части этого уравнения на перейдём от комплексных амплитуд к комплексам действующих значений

. (3.11//)

Уравнение (3.11/) и (3.11//) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.

В общем случае имеет некоторую действительную часть R и некото­рую мнимую часть jX:

, (3.12)

где R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление.

Для схемы рис.3.2 реактивное сопротивление

,

где XL называется индуктивным сопротивлением [Ом], а XC называется емкостным сопротивлением [Ом].

В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусои­дального тока не связаны между собой магнитно, все расчётные формулы гл.2 пригодны и для расчёта цепей синусои­дального тока, если в этих формулах вместо посто­янного тока I подставить комплекс тока , вместо сопротивления R – комплексное сопротивление , вместо проводимости G – комплексную проводимость и вместо постоянной э. д.с. E – комплексную э д. с. .

3.10.  Активные и реактивные элементы

в цепи синусоидального тока

На рис.3.4,а изображено активное сопротивление R, по которому течёт ток i = Im Sinw t. По закону Ома, напряжение

Комплекс тока и совпадающий с ним по фазе комплекс напряже­ния показаны на векторной диаграмме, строящейся на комплексной плоскости, рис.3.4, б.

На рис.3.4, в даны кривые мгновенных значений тока i, напряже­ния и и мощности

.

Мгновенная мощность р имеет постоянную состав - ляющую и составляющую , изменяющуюся с частотой 2w. Элемент, у которого р имеет постоянную составляющую, называется активным.

На рис.3.5,а изображена индуктивность L , по которой протекает ток i = Im Sinw t, при этом в индуктивности L наводится э. д.с. самоиндукции

Из рис.3.5,а видно, что , поэтому

,

где

.

На рис.3.5,б показано, что в индуктивности ток отстаёт от напряжения на 900.

Графики мгновенных значений i, и, р изображены на рис. 3.5, в.

Мгновенная мощность

проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо и, либо i. За первую четверть периода, когда и и i положительны, р также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индуктивности. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику пита­ния, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова забирается энергия, за четвертую отдается и т. д., т. е. энергия периодически то забирается индуктивностью от источника, то отдается ему обратно. Постоянная составляющая р равна нулю, поэтому индуктивность называют реактивным элементом.

На рис.3.6,а изображена ёмкость С, к которой приложено напряжение u = Um Sinw t, при этом в ёмкости протекает ток

где

.

На рис.3.6,б показано, что в ёмкости ток опережает напряжение на 900.

Графики мгновенных значений и, i, р изображены на рис.3.6, в.

Мгно­венная мощность

.

За первую четверть периода конден­сатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание элек­трического поля в конденсаторе. Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимума до нуля, и запасённая в электрическом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть периода энергия снова запасает­ся, за четвертую отдается и т. д. Постоянная составляющая р равна нулю, поэтому ёмкость также, как и индуктивность, называют реактивным элементом.

3.11.  Определение токов в ветвях схем,

построение топографических диаграмм

напряжений и векторных диаграмм

токов

Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются активные сопро­тивления, индуктивности, ёмкости, источники э. д.с. и тока имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комп­лексные потенциалы одноимённых точек электрической схемы и соединённых между собой векторами, назы­вают топографической диаграммой напряжений.

Совокупность векторов, построенных из начала координат комплексной плоскости, концы которых имеют значения координат, рассчитанных токов, называют векторной диаграммой токов.

Последовательную схему рассмотрим на конкретном примере (рис.3.7).

Пример 7. Допустим R1 = 7 [Ом]; XL = 20 [Ом]; R2 = 3 [Ом]; XC = 10 [Ом]; e(t) = 311,1 Sin (1000t +30о) [B]. Определить ток , комплексы потенциалов точек схемы и построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Расчёт проведём в действующих значениях, поэтому сначала определяем действующее значение э. д.с.:

Так как начальная фаза равна 30о, комплекс э. д.с. будет равен

Комплек с полного сопротивления контура

Ток в контуре по закону Ома равен

.

Комплексы потенциалов точек схемы: