Введение (стр. 7 )

Выражение для тока, также как и после первой коммутации, можно получить, используя формулу (1.5):

Процесс изменения напряжения на ёмкости и тока в цепи показан на рис.6.6.

6.4. Преобразование Лапласа

Условимся под р понимать комплексное число:

,

где а – действительная часть, b – мнимая часть этого комплексного числа.

Функцию времени (ток, напряжение, э. д.с., заряд) будем обозначать f(t) и называть оригиналом. Преобразованная по Лапласу функция f(t), называется её изображением F(p) и определяется по формуле:

(6.24)

F(p) – функция комплексного числа р. Соответствие между функцией F(p) и функцией f(t) записывают так:

Переход от функции времени f(t) к функции F(р) позволяет свести операцию дифференцирования к операции умножения, а операцию интегрирования – к делению. Это даёт возможность заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.

6.5. Изображение простейших функций времени

по Лапласу

1. Изображение постоянной. Если f(t)=A, то подставив f(t) в (6.24), получим:

2. Изображение первой производной. Подставим в (6.24) и получим:

.

Интегрирование произведём по частям. Обозначим

и

Cледовательно,

Но

,

а

.

Таким образом,

.

3. Изображение интеграла. Подставим в (6.24) и получим:

Интегрирование произведём по частям. Обозначим

Cледовательно

6.6.Операторный метод расчёта

переходных процессов

С помощью преобразования Лапласа легко решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Для этого к обеим частям дифференциального уравнения применяют вышеназванное преобразование, в результате чего получается алгебраическое уравнение для функций от р. Рассмотрим применение этого общего метода, называемого операторным, к задачам электротехники, связанным с расчётом переходных процессов в линейных цепях. Суть метода заключается в следующем:

а) по виду исходной схемы и начальным условиям составляют операторную схему;

б) используя известные методы (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д.), определяют операторное выражение для искомой величины, например, I(p) или U(p);

в) по операторному выражению определяют оригинал искомой величины.

Определим, как в операторной схеме замещения будут представлены конденсатор, индуктивность и активное сопротивление.

Ток iC(t) и напряжение uC(t) конденсатора связаны уравнением

Воспользуемся операторными изображениями постоянной и интеграла [F1(p) и F3(p) из п.6.5] и получим:

Это выражение показывает, что конденсатор в операторной схеме замещения должен быть представлен последовательно соединёнными операторным сопротивлением ZC(p)=1/pC и операторной э. д.с. uC(0)/p . Эта э. д.с. учитывает начальные условия на конденсаторе, обусловленые запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нём непосредственно до коммутации. Её направление выбирается против операторного тока в конденсаторе.

Напряжение uL(t) и ток iL(t) в индуктивности связаны уравнением

.

Воспользуемся изображением производной [F2(p) из п.6.5] и получим:

.

Анализируя это выражение, делаем вывод о том, что индуктивность заменяется последовательно соединёнными операторным сопротивлением ZL(p)=pL и операторной э. д.с. LiL(0), учитывающей начальные условия. Направление этой э. д.с. выбирается по операторному току в индуктивности. Физически эта э. д.с. обусловлена запасом энергии в магнитном поле индуктивности вследствие протекания через неё тока непосредственно до коммутации.

Напряжение и ток в активном сопротивлении связаны уравнением

,

тогда в изображениях получим:

.

Из последнего выражения следует, что активное сопротивление заменяется операторным сопротивлением ZR(р)=R.

Порядок расчёта операторным методом рассмотрим на конкретном примере схемы с двумя коммутациями, представленной на рис.6.7.

Пример 11. Е1=100 [B]; R2=40 [Ом]; R3=20 [Ом]; L1=0,02 [Гн]; L3=0,001 [Гн]; C2=200 [мкФ]. До первой коммутации ток в цепи отсутствовал и конденсатор С2 был разряжен. Ключ К2 включается через время Dt = 10–2 с после замыкания К1.

После первой коммутации (замыкании ключа К1) цепь, представляющая собой последовательное соединение индуктивности L1, активного сопротивления R2 и конденсатора С2, подключается к источнику постоянной э. д.с. Е1 в момент t=0.

Составим операторную схему для цепи после первой коммутации (рис.6.8). Она состоит из одного контура, содержащего три операторные э. д.с.: источника (Е1/р), начального значения тока индуктивности (L1i1(0)) и начального значения напряжения на ёмкости (uC2(0)/p), а также операторные сопротивления индуктивности (pL1), активного сопротивления (R2) и ёмкости (1/рС2). Все перечисленные элементы контура соединены последовательно, поэтому уравнение по второму закону Кирхгофа выглядит так:

, (6.25)

где I1(p)=I2(p)=I(p). Из равенства (6.25) находим изображение неизвестного тока

;

Подставляем численные значения параметров схемы и учитываем начальные условия задачи i(0)=0 и UC2(0)=0:

. (6.26)

Теперь рассмотрим порядок перехода от операторного изображения к оригиналу.

Как правило, результирующее операторное выражение можно представить в виде отношения двух полиномов по степеням р (см. выражения 6.25 и 6.26):

, (6.27)

причём, степень числителя не больше степени знаменателя.

Переход от изображения F(p) к функции времени производится при помощи формулы разложения:

, (6.28)

где рk – корни уравнения М(р)=0. Левая часть этой формулы является функцией р, а правая часть – соответствующая ей функция времени t.

В некоторых случаях результирующее операторное выражение представляется в виде:

, (6.29)

т. е. присутствует нулевой корень. В этом случае формулу разложения можно записать так:

. (6.30)

Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения, воздействующего на схему.

Воспользуемся формулой разложения для определения оригинала выражения (6.26). Здесь N(p) = 2x10-2, M(p) = 4x10-6p2+8x10-3p+1, М /(р)=8х10-6р+8х10-3. Корни М(р) =0: р1= – 133,97; р2= – 1866,03. Следовательно, используя (6.28) получим:

Далее определим операторное выражение напряжения на конденсаторе

или, подставляя численные значения

.

В данном случае изображение соответствует виду (6.29), поэтому оригинал ищем по формуле (6.30):

.

Оригинал можно определить и с помощью MathCAD, используя специальный оператор “invlaplace” панели инструментов Symbolic (Символьная). Так, определим оригинал для тока:

Результат в MathCAD получаем в виде произведения экспоненты и гиперболического синуса, однако, если записать выражение последнего через экспоненты, то получим тот же результат, что и по формуле разложения.

Независимые начальные условия для второй коммутации:

[A]; [B]; [A].

Составим операторную схему для цепи после второй коммутации (рис.6.9). Здесь L1i1(0)=0,015; L3i3(0)=0; UC2(0)/p=71,78/p. Как отмечалось выше, операторное выражение любой электрической величины можно определять, используя методы, описанные в главе 2.

Применим метод двух узлов в матричной форме и используем для расчёта MathCAD.

Записываем узловую матрицу, матрицу операторных сопротивлений ветвей и столбцовые матрицы операторных выражений для источников тока и э. д.с. ветвей.

;

; ;

. Далее вводим формулу для определения токов ветвей (см. гл. 2)

и получаем столбцовую матрицу операторных выражений для токов ветвей. Затем к операторному выражению для каждого тока применим обратное преобразование Лапласа.

Приведём результаты вычислений:

I1(p) invlaplace, p i1(t):

I2(p) invlaplace, p i2(t):

I3(p) invlaplace, p i3(t):

7.  Передаточная функция и её связь с дифференциальным уравнением, с импульсной и частотной характеристиками.

7.1. Характеристики звеньев и систем

В ряде отраслей техники и в особенности в теории

автоматического управления об устойчивости и о характере работы системы судят по виду различных характеристик. Принято расчленять систему на отдельные элементы и звенья. Каждое звено можно схематически представить либо в виде некоторого четырёхполюсника (рис.7.1), либо в однолинейном начертании (рис.7.2).

Входными ХВХ и выходными YВЫХ величинами могут быть как электрические величины (ток, напряжение, заряд), так и неэлектрические (координата, скорость перемещения).

Поскольку процесс работы системы состоит из двух режимов — пе­реходного (динамического) и статического (установившегося), то и ха­рактеристики её звеньев подразделяются соответственно на переходные и статические.

Статической характеристикой звена называет­ся зависимость выходной величины от входной в установившемся режиме.

Для линейных звеньев и систем статическая характеристика имеет вид прямой линии (рис.7.3) и выражается линейным уравнением (уравнением статики):

где х — входная величина;

y — выходная величина;

а — постоянная величина;

k—передаточный коэффи - циент.

П е р е д а т о ч н ы й коэффициент k определяет крутизну статической ха­рактеристики, так как tga = k, поэтому его также называют коэффи­циентом усиления.

Статические характеристики реальных элементов и систем являются нелинейными, т. е. имеют вид некоторых кривых (рис.7.4).

Линеа­ризация нели - нейной характеристики заключается в замене кривой касательной в некоторой точке М, соответствующей номи - нальному режиму работы звена. Такая замена обычно возможна вследствие малого отклонения вход - ной и выходной величин, т. е. малости отрезков и , поэтому рабочий участок нелинейной характеристики с достаточной степенью точности совпадает с касательной. При этом уравнение статики записывают в отклонениях (в вариациях)

Передаточный коэффициент k равен тангенсу угла наклона касательной в точке М.

Переходной характеристикой звена или системы называется график изменения во времени выходной величины при переходном про­цессе, вызванном изменением величины на входе в виде единичного мгновенного скачка.

Входное воздействие в виде единичного мгновенного скачка является одним из наиболее распространённых типов воздействия на звено и аналитически записывается в следующем виде:

Эту функцию называют единичной функцией или функцией Хевисайда, а также импульсной функцией нулевого порядка. Функция h(t), графиком которой является переходная характерис­тика, называется переходной функцией. Реакция системы на скачкооб­разное изменение входной величины определяется её переходной функ­цией и высотой скачка х (0), т. е.

Импульсной переходной или весовой характеристикой звена или системы называется график изменения во времени выходной величины при переходном про­цессе, вызванном изменением величины на входе в виде мгновенного импульса единичной площади.

Бесконечно короткий, но бесконечно высокий импульс единичной площади обозначается символом d(t) и называется дельта-функцией, функцией Дирака или импульсной функцией первого порядка и аналитически записывается в следующем виде:

.

Если на систему непрерывно действует входная

величина, которая изменяется по синусоидальному закону, то в ней возникают вынужденные колебания. Поведение систем и звеньев в режиме вынужденных колебаний описывают частотные характеристики. Пусть входная величина изменяется по закону:

,

где Х – амплитуда; w - угловая частота.

Тогда на выходе линейной системы будут существовать также гармонические колебания с той же частотой, отличающиеся от входных по амплитуде и по фазе:

,

где Y – амплитуда; j - угол сдвига фаз между входными и выходными колебаниями.

Усиление амплитуды А=Y/X и величина j являются функциями от частоты w. График А(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а график j(w) - фазово-частотной характеристикой.

7.2. Понятие о передаточных функциях и частотных

характеристиках звеньев систем

В общем случае динамика линейных систем описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:

(7.1)

где - постоянные вещественные коэффициенты;

- производные 1-го, …, n-го порядка от

выходной величины;

- производные 1-го, …, m-го порядка от

входной величины.

Применяя операторный метод, основанный на преобразовании Карсона – Хевисайда, можно записать операторное выражение соответствующее дифференциальному уравнению (7.1):

(7.2)

где Y(p) и X(p) – соответственно изображения функций y(t) и x(t).

Если B(p) – характеристический полином степени m правой части уравнения (7.2), а А(р) – характеристический полином степени n левой части уравнения (7.2), то

После того как найдено изображение Y(p), находится сама функция-оригинал y(t) с помощью обратного преобразования.

Величина

(7.3)

называется передаточной функцией системы. Она равна отношению изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных значениях.

Передаточная функция является важнейшей характеристикой звеньев и систем автоматического управления, так как она полно­стью описывает их динамические свойства и естественным образом свя­зана с переходной и частотными функциями.

Чтобы найти связь между переходной h(t) и передаточной К(р) функциями, рассмотрим соотношение

и предположим, что x(t) – единичная ступенчатая функция. Тогда y(t) = h(t) или в изображениях

,

и

. (7.4)

Комплексный коэффициент уси­ления системы получается из передаточной функции путём замены p=jw, т. е.

(7.5)

K(jw) представляет собой комплексное число и может быть записано в алгебраической и показательной формах:

Зависимость U=f(w) называют действительной (вещественной) ча­стотной характеристикой звена или соответственно системы. Зависимость V=f(w) — мнимая частотная характери­стика. Зависимость А=f(w) — амплитуд­ная частотная характеристика и j=f(w) — фазовая частотная характеристика. За­висимость Л=f(lgw) называют лога­рифмической частотной характеристикой. Характеристика , построенная в полярных координатах, называется амплитудно-фазовой частотной харак­теристикой.

Пусть сис­тема образована несколькими последовательно включенными звеньями, на­пример тремя (рис. 7.3).

Обозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:

Подставив первое во второе, а второе в третье получим:

или

где

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких последовательно включённых звеньев следует перемножить передаточные функции этих звеньев.

Пусть сис­тема образована несколькими параллельно включенными звеньями, на­пример тремя (рис.7.4).

Обозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через опера- торные изображения входных величин звень - ев следующим образом:

Выходная величина всей системы определится как сумма выходных величин отдельных звеньев:

или

где

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких параллельно включённых звеньев следует просуммировать передаточные функции этих звеньев.

-

8.  ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ

СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ

8.1.  Гармонический анализ и разложение функций

В электротехнике, радиотехнике, технике связи очень

часто приходится иметь дело с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями.

Они возникают в четырёх принципиально различных режимах работы электрических цепей:

1. Источник электроэнергии (источник э. д.с. или тока) несинусоидален, а все нагрузки (элементы цепи) линейны.

2. Источник электроэнергии синусоидален, а один или несколько элементов цепи нелинейны.

3. Источник электроэнергии несинусоидален и нелинейны один или несколько элементов цепи.

4. Источник электроэнергии даёт постоянную или синусоидальную э. д.с., а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.

Из курса математики известно, что любая

периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов),

может быть представлена в виде бесконечного тригонометрического (гармонического) ряда Фурье:

, (8.1)

где А0 – постоянная составляющая; k – номер (порядок) гармоники; Аkm – амплитуда k-й гармоники; fk – начальная фаза k-й гармоники.

Таким образом, несинусоидальная периодическая функция представляет собой сумму синусоид кратных частот kw = k2pf ( f=1/T – основная частота) со своими начальными фазами. Тот же ряд можно представить в виде сумм синусоид и косинусоид, каждая из которых имеет нулевую начальную фазу:

, (8.2)

где

; .

Гармоники, для которых k – число нечётное, называют нечётными, а для которых k – чётное, – чётными гармониками.

8.2.  Некоторые свойства периодических кривых

Кривая на рис.8.1, удовлетворяющая условию

,

называется симметричной относительно оси абсцисс. В разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и чётные гармоники, т. е. равны нулю коэффициенты .

Кривая, подобная кривой рис.8.2, обладает симметрией относительно оси ординат. Для неё выполняется условие

.

В разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные составляющие (А1/=А2/=А3/=…=0) и присутствуют лишь косинусные составляющие и постоянная составляющая.

Кривые по типу кривой рис.8.3 обладает свойством

.

Они называются кривыми, симметричными относительно начала координат. В разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют косинусные и постоянная составляющие, т. е. .

8.3.  О разложении в ряд Фурье кривых

геометрически правиль­ной и неправильной формы.

Встреча­ющиеся в электротехнике периодические кривые могут быть раз­биты на две группы. Первая группа включает в себя периодические кривые геометрически правильной формы, например трапецеидаль­ной, треугольной, прямоугольной и т. п. Разложение их в ряд Фурье дается в таблице (см. стр.137). В ней вместо х написано w t.

Вторая группа кривых включает в себя кривые произвольной (геометрически неправильной) формы (см. рис.8.1 или 8.3). Чаще всего периодические кривые второй группы задаются в виде графика. Разложение их в ряд Фурье производится графически (графоаналитически).

Графический метод определения гармоник ря­да Фурье основан на замене определенного интеграла суммой ко­нечного

числа слагаемых. С этой целью период функции f(x), рав­ный 2p, разбивают на п равных частей Dх

.

Тогда амплитуды гармонических составляющих будут определяться следующим образом:

постоянная составляющая

, (8.3)

где р – текущий индекс, который пробегает значения от 1 до n; fp(x) – значение функции f(x) при значении x=pDx;

амплитуда синусной составляющей k-й гармоники

, (8.4)

амплитуда косинусной составляющей k-й гармоники

. (8.5)

В формулах (8.4) и (8.5) Sinpkx и Cospkx – соответственно значения функций Sin kx и Cos kx при x=pDx.

8.4.  Преобразование Фурье и спектральные

характеристики апериодических сигналов

Во многих отраслях техники для выявления частотных и энергетических свойств непериодических импульсов и результатов их воздействия на избирательные (резонансные) системы применяют преобразование (интеграл) Фурье.

В предыдущих параграфах было рассмотрено разложение периодических функ­ций f(t) в ряд Фурье. Такое разложение позволяет определить спектральный состав функции — амплитуды и начальные фазы её гармонических составляющих. Интеграл Фурье представляет собой предельный случай ряда Фурье для непериодической функции.

Для абсолютно интегрируемой функции в формулах прямого и обратного преобразования Лапласа можно принять р=jw:

; (8.6)

. (8.7)

Формула (8.6) характеризует прямое преобразование Фурье, а формула (8.7) — обратное преобразование (интеграл) Фурье.

В формуле (8.6) предполагается, что функция f(t) задана при t>0, а при t<0 f(t)=0. Если же при t<0 f(t) отлична от нуля, то прямое преобразование Фурье имеет вид

(8.8)