Введение (стр. 6 )

Из (5.4) и (5.5) получим:

или . (5.6)

Из (5.3) и (5.4) получим:

или

.

Подставляя последнее в (5.2), получим:

или

. (5.7)

Перемножив левые и правые части (5.6) и (5.7), получим

.

Окончательно имеем:

.

Остальные коэффициенты формы А просто определяются из уравнений (5.3), (5.4), (5.5).

Существуют ещё несколько форм записи уравнений четырёхполюсников, например, с помощью коэффициентов формы Z:

(5.8)

Коэффициенты формы Z легко определяются через коэффициенты формы А. Для этого сначала перегруппируем второе уравнение системы (5.1):

,

а потом подставим его в первое и получим:

.

Таким образом, коэффициенты формы Z будут равны:

Очевидно, что размерность коэффициентов формы Z имеют размерность Ом.

Существуют ещё коэффициенты формы Y (5.9):

(5.9)

и формы H (5.10):

(5.10)

Читателю предлагается самостоятельно определить размерность коэффициентов формы Y и формы H, а также выразить их через коэффициенты формы А.

5.3.Простейшие схемы соединения

четырёхполюсников

Различные формы записи уравнений четырёхполюсников необходимы при вычислении уравнений сложного четырёхполюсника, составленного из двух или нескольких простых.

При последовательном соединении четырёх- полюсников необходимо иметь уравнения формы Z каждого из простых четырёхполюсников, так как напряжение на входе и выходе сложного четырёхполюсника равны сумме соответствующих напряжений простых (рис.5.3).

При каскадном (цепном) соединении четырёхполюсников необходимо использовать коэффициенты формы А каждого из простых (рис.5.4).

При параллельном соединении четырёхполюсников необходимо иметь коэффициенты формы Y каждого из простых, так как входные и выходные токи сложного четырёхполюсника равны сумме соответствующих токов простых (рис.5.5).

При смешанном соединении, когда входы четырёхполюсников соединены последовательно, а выходы параллельно необходимо знать коэффициенты формы Н, так как при этом входное напряжение сложного четырёхполюсника равно сумме входных напряжений, а выходной ток сумме выходных токов простых четырёхполюсников. Аналогичная ситуация возникает при параллельном соединении входов и последовательном соединении выходов простых четырёхполюсников.

5.4. Схемы замещения четырёхполюсников

Функции пассивного четырёхполюсника как передаточного звена между некоторым источником и нагрузкой могут выполнять простейшие электрические схемы – схемы замещения: трёхлучевая звезда (Т-схема) (рис.5.6) или эквивалентный ей треугольник (П-схема).

Выразим напряжение U1 и ток I1 на входе через напряжение U2 и ток I2 на выходе или, иными словами, определим коэффициенты формы А для Т-схемы.

По второму закону Кирхгофа составим уравнения для левого и правого контуров схемы на рис. 5.6:

.

Дальнейшие преобразования дают:

. (5.11)

Система (5.11) представляет собой уравнения четырёхполюсника, составленные с помощью коэффициентов формы Z. Далее выражаем ток I1 из второго уравнения системы (5.11) и подставляем его в первое уравнение:

Таким образом получаем:

После простых преобразований окончательно получаем:

Читателю предлагается самостоятельно получить выражения для параметров П-схемы, используя первый и второй законы Кирхгофа.

-

6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

6.1. Общие положения

До сих пор мы ограничивались расчётом и изучением свойств электрических цепей постоянного и синусоидального токов в установившемся режиме. Как происходит установление режима в цепи при включении и отключении источников э. д.с., по каким законам происходит переход от одного режима к другому при изменении параметров цепи, при отключении и подключении ветвей, при коротких замыканиях (к. з.) и подобных им процес­сах, — все эти вопросы будут изучаться в данной главе.

Под пе­реходными процессами будем понимать процессы перехода от одного режима работы электрической цепи к дру­гому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, например: величиной амплитуды, фазы, формой или частотой действующей в схеме э. д.с., значениями параметров схе­мы, а также конфигурацией цепи.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Комму­тацией называют процесс замыкания или размыкания рубильни­ков или выключателей.

Операцию, которую производят над рубильником, на рисунках поясняют стрелкой. Так, операция включения рубильника на схе­мах показывается, как правило, в соответствии с рис.6.1, а, а опе­рация размыкания рубильника — в соответствии с рис.6.1,б.

Переходные процессы обычно являются быстропротекающими, т. к. их длительность составляет часто десятые, сотые, а иногда даже миллионные доли секунды. Сравнительно редко про­исходят переходные процессы, длительность которых составляет секунды и десятки секунд. Тем не менее изучение переходных процессов весьма важно, так как оно позволяет выявить возможные превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, позволяет выяснить возможные увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося процесса и привести к недопустимому нагреву или динамическому разрушению электроустановки.

6.2. Законы коммутации, зависимые и

независимые начальные условия

Первый закон коммутации. Ток через индуктивность непосредственно до коммутации — назовем его iL(0–) — равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации — назовем его iL (0+) , т. е.

, (6.1)

Время t=0– есть время непосредственно до коммутации, t=0+ есть время непосредственно после коммутации (рис.6.2). Равен­ство (6.1) и выражает собой первый закон коммутации.

Второй закон коммутации. Обозначим напряжение на ём­кости непосредственно до коммутации через uC(0–) и через uC(0+) — напряжение на ней непосредственно после коммутации. Напряжение на ёмкости до коммутации равно напряжению после коммутации

. (6.2)

Под начальными условиями (значениями) понимают значения токов и напряжений в схеме при t = 0.

Согласно законам коммутации токи через индуктивности и напряжения на ёмкостях непосредственно после коммутации всегда равны их значениям непосредственно до коммутации. Что касается осталь­ных величин: напряжений на индуктивностях, напряжений на активных сопротивлениях, токов через емкости, токов через актив­ные сопротивления, то все эти величины могут изменяться скач­ком, и потому их значения непосредственно после коммутации ча­ще всего оказываются не равными их значениям до коммутации.

Поэтому следует различать докоммутационные и послекоммутационные начальные значения.

Докоммутационными начальными значениями условимся на­зывать значения токов и напряжений непосредственно до коммута­ции (при t=0–) i(0–), u(0–).

Послекоммутационные начальные значения — значения токов и напряжений непосредственно после коммутации (при t=0+) i(0+), u(0+).

Независимые и зависимые (послекоммутационные) начальные значения. Для любой схемы после происшедшей в ней ком­мутации можно записать уравнения по законам Кирхгофа. Из этих уравнений можно определить значения токов во всех ветвях и на­пряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режи­ме (при t = 0+).

С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивно­сти и значения напряжений на конденсаторах, берутся равными тем значениям, которые они имели в режиме до коммутации при t = 0– , а остальные токи и напряжения после коммутации находятся из уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в них известна. Значения токов через индуктивности и напряжения на ёмкостях, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями. Значения остальных токов и напря­жений при t=0+ в послекоммутационной схеме, определяемые по независи­мым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.

Различают нулевые и ненулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели не­посредственно до коммутации.

6.3. Классический метод расчёта

переходных процессов

Задача о переходном процессе в любой линейной электри­ческой цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи­циентами.

Классическим методом расчёта переходных процессов называют метод расчёта, в котором решение дифференциального уравнения берут в виде суммы свободного и принуждённого решений:

.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принуждённой составляющей: .

Принуждённая составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая э. д.с. Так, если в схеме действует принуждающая синусоидальная э. д.с. частоты w, то принуждённая составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током или синусоидаль­ным напряжением частоты w.

Определяются принуждённые составляющие в цепи синусоидаль­ного тока с помощью символического метода (см. гл.3). Если в схеме действует источник постоянной э. д.с. (как, например, в схеме рис.6.3), то принуждённый ток есть ток постоянный и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл.2.

Постоянный ток через ёмкость не проходит (1.5), поэтому принуждённая составляющая тока через ёмкость в цепях с источниками постоян­ной э. д.с. равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напря­жения на индуктивности от неизменного во времени тока равно нулю (1.4).

Общее решение однородного уравнения называют свободной составляющей: .

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нём взять правую часть равной нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону еpt , где р = – 1/t , а t – называется постоянной времени.

С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Свободная составляющая переходного процесса при характеристическом уравнении первого, второго и третьего порядка. Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Так, если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени, — два корня, третьей — три и т. д.

Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень (р), а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.3)

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня (р1, р2), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.4)

б) два действительных равных отрицательных корня (р1 = р2 = р), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.5)

в) два комплексно сопряжённых корня с отрицательной действительной частью , а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.6)

Уравнение третьей степени может иметь:

а) три действительных неравных отрицательных корня (р1, р2, р3), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.7)

б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу (р1 = р2 = р, р3 ), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.8)

в) три действительных равных отрицательных корня (р1 = р2 = р3 = р), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.9)

г) один действительный отрицательный корень и два сопряжённых с отрицательной действительной частью , а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.10)

Определение постоянных интегрирования Аi, входящих в выражение для сво­бодного тока (или напряжения), производят путём совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения и известным значениям свободной составляющей и её производных, взятых при t = 0+. Для этого достаточно помнить, что при любых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивность и напряжение на ёмкости не могут изменяться скачком (см. законы коммутации).

Из трёх токов (полного, принуждённого и свободного) и трёх напряжений (полного, принуждённого и свободного) основное значе­ние имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном про­цессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принуждённые и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчётными компонентами, сумма которых даёт действительные величины полных токов и напряжений.

Кроме индексов «пр» (принуждённый) и «св» (свободный), токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответству­ющие номерам ветвей на схеме.

Последовательность расчёта при применении классического метода.

Переходный процесс в цепи с одним накопителем энергии.

Пример 8. Последовательная RC-цепь подключается к источнику постоянной э. д.с. E (рис.6.3). Требуется определить uC(t) и i(t).

1). Задаём направление тока и определяем независимые и зависимые (если это необходимо) начальные условия:

а). Независимое н. у.: [B];

б). Зависимое н. у.: для t = 0+ составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа , следовательно

.

2). Определяем принуждённые составляющие искомых токов и напряжений:

а). Как указывалось выше, постоянный ток через конденсатор не протекает, т. е. .

б). По 2-му закону Кирхгофа для принуждённого режима , следовательно .

3). Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни:

а). Составим входное сопротивление на переменном токе .

б). Заменим и приравняем нулю

,

откуда [c-1].

4). Определяем вид свободной составляющей:

и .

5). Записываем решение как сумму свободной и принуждённой составляющих:

(6.11)

. (6.12)

6). Используя начальные условия определяем постоянные интегрирования А и В:

при t = 0+ (6.11) имеет вид , откуда А = -Е ;

при t = 0+ (6.12) имеет вид .

Таким образом, решение выглядит так:

и .

Ток можно было бы найти, используя формулу (1.5):

.

Пример 9. Последовательная RL-цепь подключается к источнику постоянной э. д.с. E (рис.6.4). Требуется определить uL(t), i(t), uR(t).

1). Задаём направление тока и определяем начальные условия:

а). Независимое н. у.:

[А];

б). Зависимое н. у.: для t = 0+ составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа или , т. к. следовательно

и

2). Определяем принуждённые составляющие искомых токов и напряжений:

а). Как указывалось выше, падение напряжения на индуктивности от неизменного во времени тока равно нулю (1.4), т. е. .

б). По 2-му закону Кирхгофа для принуждённого режима, следовательно

и .

3). Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни:

а). Составим входное сопротивление на переменном токе .

б). Заменим и приравняем нулю

,

откуда [c-1].

4). Определяем вид свободной составляющей:

, и

5). Записываем решение как сумму свободной и принуждённой составляющих:

, (6.13)

, (6.14)

. (6.15)

6). Используя начальные условия определяем постоянные интегрирования А, В и D :

при t = 0+ (6.13) имеет вид ,

при t = 0+ (6.14) имеет вид , откуда ,

при t = 0+ (6.15) имеет вид , откуда .

7). Таким образом, записываем окончательное решение:

Напряжение и можно было бы найти, используя формулы (1.3) и (1.4):

,

.

Переходный процесс в цепи с двумя накопителями энергии (последовательная RLC - цепь). На рис.6.5. приведена последовательная RLC – цепь с двумя ключами К1 и К2, которые включаются последовательно во времени через интервал Dt. Ключ К1 подключает цепь к источнику постоянной э. д.с. Е, а ключ К2 закорачивает часть активного сопротивления контура.

Пример 10. [B]; [Ом]; [Ом]; [Гн]; [Ф]; Dt = 10–2 [с].

После первой коммутации:

1). Независимые начальные условия:

[A]; [B].

2). Принуждённый режим:

[A]; [B].

3). Корни характеристического уравнения:

,

приравняем Z(p) нулю и получим характеристическое уравнение

.

Подставив численные значения

,

получим корни p1 = – 190,98; p2 = – 1309,02.

4). Так как корни действительные и разные, то согласно (6.4)

.

Записываем решение для uC (t):

.(6.16)

6). Определяем постоянные интегрирования А1 и А2.

Продифференцируем (6.16)

. (6.17)

Возьмём (6.16) и (6.17) при t = 0+:

, (6.18)

. (6.19)

С другой стороны (см. пункт 1):

,

.

Таким образом, имеем систему двух уравнений

,

решение которой А1 = – 117,08; А2 =17,08.

Окончательно, напряжение на ёмкости после первой коммутации определится по формуле:

.

Выражение для тока можно получить, используя формулу (1.5):

.

Вторая коммутация (замыкание ключа К2) происходит через время Dt = 10–2 с.

Определим независимые начальные условия для неё:

[B]

[A]

Для второй коммутации время опять отсчитывают от нуля, поэтому для неё

[A] , а [B].

Принуждённый режим такой же, как и после первой коммутации:

[A]; [B].

Структура характеристического уравнения будет такой же, с той лишь разницей, что в выражении отсутствует :

или

.

Корни на этот раз получаются комплексно-сопряжённые , а напряжение на ёмкости с учётом (6.6) будет иметь вид:

. (6.20)

Для определения постоянных интегрирования А и продифференцируем (6.20)

(6.21)

и возьмём (6.20) и (6.21) при t = 0+ (для второй коммутации время опять отсчитывают от нуля) :

(6.22)

(6.23)

С другой стороны (см. начальные условия для второй коммутации):

[В],

.

Таким образом, имеем систему двух уравнений

,

решение которой и .

Окончательно, напряжение на ёмкости после второй коммутации определится по формуле: