Введение (стр. 5 )

Схема содержит один контур, следовательно векторная диаграмма токов будет состоять из одного тока .

Потенциал точки е должен быть равен э. д.с. (второй закон Кирхгофа в комплексной форме), что и получено в результате расчёта. На рис.3.8 приведена топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов, построенная по рассчитанным выше комплексам потенциалов точек схемы и комплексу тока. Из диаграммы видно, что напряжение Uab = UC перпендикулярно вектору тока I (вектор I построен в другом масштабе) и направлено в сторону отставания (по часовой стрелке), напряжения Ubc = UR2 и Ude = UR1 совпадают по направлению с током I , а напряжение Uсd = UL перпендикулярно вектору тока I и направлено в сторону опережения (против часовой стрелки). Вектор э. д.с. Е =Uae равен сумме векторов Uab + Ubc + Uсd + Ude .

Рассмотрим цепь, состоящую из параллельного соединения индуктивности L и активного сопротивления R (рис.3.9,а). Допустим амперметры А1 и А2 имеют одинаковые показания 10 [А]. Требуется определить показание амперметра А3. Считаем, что сопротивления амперметров равны нулю. Решение проведём с помощью векторной диаграммы токов. Зададим произвольно (предполо-жим по действительной оси) направление вектора напряжения Uab. Вектор тока I1 направлен перпендикулярно вектору напряжения Uab в сторону отставания. Вектор тока I2 совпадает с направлением вектора напряжения Uab. Вектор тока I3 является векторной суммой I1 и I2 , а его длина определяется по теореме Пифагора

.

Для более сложных схем, состоящих из двух и более контуров можно применять метод узловых потенциалов, контурных токов, двух узлов и т. п. Однако, при ручном счёте на микрокалькуляторе требуется много времени. При использовании MathCAD время затрачивается только на расчёт комплексов сопротивлений ветвей и составление соответствующих матриц (см. п.2.5).

Пример 8. Рассчитать токи в ветвях схемы (рис.3.10) матричным методом, если e1(t)=141,4Sin(314t+450); e2(t)=169,7Sin314t ; Z1=6–j6,5; Z2=6+j5,08; Z3=3,5+j4,96.

Комплексы э. д.с. в действующих значениях:

;

.

Составляем матрицы контуров В, источников э. д.с. Ев, источников тока Jв и сопротивлений Zв:

Вычисляем матрицы контурных сопротивлений Zk, контурных э. д.с. Ek и токов ветвей:

Комплексы токов:

;

;

или в мгновенных значениях:

;

;

.

3.12.  Активная, реактивная и полная мощности

Под активной мощностью Р понимают среднее за период значение мгновенной мощности р. Если ток , апряжение на участке цепи , то активная мощность:

. (3.13)

Активная мощность физически представляет собой энергию, кото­рая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R.. Действительно, , с другой стороны или , следовательно, произведение U cos j = IR , а активная мощность

[Вт]. (3.14)

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения U на участке цепи на ток I по этому участку и на синус угла j между напряжением U и током I:

[ВАр] . (3.15)

Реактивную мощность принято измерять в вольтамперах реактив­ных [ВАр]. Если sin j > 0, то и Q > 0, если sin j < 0, то Q < 0. Под реактивной мощностью понимают скорость энергообмена между источником и реактивным элементом.

Полная (кажущаяся) мощность

[ВА] (3.16)

Между P, Q и S cуществует соотношение

. (3.17)

Рассмотрим простой приём определения активной и реактивной мощностей через комплекс напряжения и сопряженный комплекс тока. Напряжение на некотором участке цепи обозначим через , ток по этому участку . Угол между напряжением и током . Умножим комплекс напряжения на сопряжённый комплекс тока и обозначим полученный комплекс через :

.

(3.18)

3.13.  Двухполюсник в цепи синусоидального тока,

резонансные режимы его работы

Входное сопротивление двухполюсника (рис.1.1,б) при синусоидальном токе

. (3.19)

Если ХВХ > 0, то входное сопротивление имеет индуктивный характер, если ХВХ < 0 – ёмкостный, а если ХВХ = 0 – чисто активный.

Входная проводимость YBX представляет собой величину, обратную входному сопротивлению:

, (3.20)

где GBX и BBX – соответственно активная и реактивная входная проводимость.

Если ХВХ > 0, то ВВХ>0, а если ХВХ < 0, то ВВХ <0.

Пусть двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и одну или несколько ёмкостей. Режим (или режимы), при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным, называется резонансным.

По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме имеет активное сопротивление, поэтому ток и напряжение на входе двухполюсника совпадают по фазе.

Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Явление резонанса в схеме рис.3.11,а, образованной двумя парал­лельными ветвями с разнохарактерными реактивными сопротивле­ниями, называют резонансом токов.

Пусть первая ветвь имеет активное сопротивление R1 и индуктивное XL , а вторая ветвь — активное R2 и ёмкостное XC.

Ток I1 первой ветви (ветви с индуктивностью) отстает от напряжения U = Uab (рис.3.11, б) и может быть записан так:

.

Ток I2 второй ветви (ветви с ёмкостью) опережает напряжение U :

.

По первому закону Кирхгофа ток I в неразветвлённой части цепи

По определению резонансного режима, ток I должен совпадать по фазе с напряжением U . Это будет при условии, что сумма реактив­ных проводимостей ветвей равна нулю:

.

В соответствии с (3.20)

и

.

Следовательно, условие наступления режима резонанса токов в схеме рис.3.11, а можно записать так:

. (3.21)

На рис.3.11,б изображена векторная диаграмма токов для резонансного режима. Из (3.21) следует, что, если R2 = 0, резонанс наступит при условии

.

В еще более частном случае, когда R2 = 0 и R1<<w L, резонанс наступит при

.

Резонанса можно достичь путем изменения w , L, С или путем изме­нения R1 и R2. Ток в неразветвленной части схемы по величине может быть меньше, чем токи в ветвях схемы. При R2 = 0 и R10 ток I может оказаться ничтожно малым по сравнению с токами I1 и I2 .

В идеализированном, практически не выполнимом режиме работы, когда R1 = R2 = 0, ток в неразветвленной части схемы рис.3.11,а равен нулю и входное сопротивление схемы равно бесконечности. При этом частота, на которой наступает резонанс равна:

. (3.22)

Из (3.21) следует, что частота на которой наступает резонанс в реальной параллельной цепи рис.3.11,а:

. (3.23)

Резонанс в схеме последовательного соединения R, L, С (рис.3.2) называют резонансом напряжений.

При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с э. д.с. Е. Это возможно, если входное сопротивление схемы (cм. формулу 3.12):

будет чисто активным, т. е. когда выражение в скобках будет равно нулю. Таким образом, условие резонанса в последовательной R, L, С цепи

. (3.24)

Из (3.24) следует, что частота на которой наступает резонанс в последовательной цепи рис.3.2:

. (3.25) Топографическая диаграмма напряжений для режима резонанса показана на рис.3.12.

Ток в цепи при резонансе напряжений равен

.

Действующее значение напряжения на индуктивности равно действующему значению напряжения на ёмкости

.

Отношение

(3.26)

называют добротностью резонансного контура. Добротность Q показывает во сколько раз напряжение на реактивном элементе (L или C) больше, чем на входе схемы и используется для решения важных практических задач.

3.14.  Трёхфазные цепи, основные соотношения,

схемы соединения и методы расчёта

Под трёхфазной симметричной системой э. д.с. понимают совокуп­ность трёх синусоидальных э. д.с. одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. График их мгновенных значений и векторная диаграмма изображены на рис.3.13.

Источником энергии в трёхфазной системе служит трехфазный гене­ратор (рис.3.14). Он состоит из статора (неподвижной части) и ротора (подвижной части), представля - ющего собой электромагнит. В пазах статора размещены три электрически изолированные друг от друга обмотки — фазные обмотки генератора (А, В, С на рис.3.14). Если ротор генератора двухполюсный, то оси фазных обмоток генератора повернуты в пространстве относительно друг друга на угол 120°. При вращении ротора в фазных обмот­ках статора индуктируются синусоидальные фазные э. д.с. Вследствие симметрии конструкции генератора максимальные Ет и действую­щие Е значения э. д.с. во всех фазах одинаковые. Однако линии магнитного поля вращающегося ротора пересекают провода фазных обмоток не одновременно. Поэтому синусоидальные э. д.с. обмоток сдви­нуты по фазе относительно друг друга на одну треть периода, чему соответствует пространственный угол 2p/3 между осями обмоток(рис.3.13, 3.14).

Совокупность трёхфазной системы э. д.с., трёхфазной нагруз­ки или нагрузок и соединительных проводов называют трёхфазной цепью.

Токи, протекающие по отдельным участкам трёхфазных цепей, сдвинуты относительно друг друга во времени, т. е. по фазе. Участок трёхфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток также называют фазой. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса, фаза это либо участок трёхфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.

На схемах замещения фазы трёхфазного генератора или вторич­ной обмотки трёхфазного трансформатора изображают двумя спо - собами (рис.3.15, а, б).

Если э. д.с. одной фазы (например, фазы А) принять за исходную и считать её начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных значений э. д.с. можно записать в виде

;

;

.

Комплексные действующие э. д.с. будут иметь соответственно выражения:

;

; (3.27)

,

где .

Из векторной диаграммы трёхфазной симметричной системы э. д.с., показанной на рис.3.13 следует, что в любой момент времени

.

На распределительных устройствах шины, относящиеся к разным фазам, имеют различную раскраску. В нашей стране приняты цвета: желтый — для фазы А, зеленый — для фазы В, красный — для фазы С.

Фазы трёхфазного генератора или вторич­ные обмотки трёхфазного трансформатора могут быть соединены звездой (рис.3.16,а), в которой концы фаз X, Y, Z соединяются в один общий узел N (или 0), называемый нейт­ралью или нейтральной (нулевой) точкой генератора (либо трансформатора). Провода, соединяющие начала фаз обмоток генератора (трансформатора) и приёмника, называют линейными, а провод, соединяющий нейтральные точ­ки генератора и приёмника, — нейтральным (или нулевым).

При соединении фаз обмотки трёхфазного генератора треугольником объединяются в одну точку начала и концы соответст­вующих фаз: X и В, Y и С, Z и А (рис.3.16,б).

Важной особенностью трёхфазных цепей является наличие двух напряжений — фазного и междуфазного. Фазным называют напряжение между началом и концом каждой фазы, а междуфазным — между началами двух фаз. За положительное направ­ление фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз обмоток (рис.3.16,а). Соотношения между междуфазными и фазными напряжениями трёхфазного источника электрической энергии при соединении обмоток звездой определяют из соотношения

, (3.28)

которое определяет предусмотренные ГОСТом междуфазные и фазные напряжения для цепей низкого напряжения:

;

Приёмники, включаемые в трёхфазную цепь, могут быть либо одно­фазными, либо трёхфазными. К однофазным приёмникам относятся электрические лампы накаливания и другие осветительные приборы, различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т. д. К трёх­фазным приёмникам относятся трёхфазные асинхронные двигатели и индукционные печи. Обычно комплексные сопротивления фаз трёх­фазных приёмников равны между coбoй: . Такие при­ёмники называют симметричными. Если это условие не вы­полняется, то приёмники называют несимметричными.

Подобно фазам генераторов и трансформаторов фазы трёхфазных приёмников, а также однофазные приёмники могут соединяться звездой либо треугольни­ком. Способ соединения фаз обмоток источника электрической энергии не предопределяет спо­соб соединения приём­ников.

На рис.3.17 показа­ны схема включения од­нофазных и трёхфазных приёмников (а) и схема замещения (б) этой це­пи. Как правило, элек­трические осветитель­ные приборы, являясь в трёхфазных цепях ти­пичными несимметрич­ными приёмниками, включаются либо звез­дой в четырехпроводную цепь, либо треугольником в трёхпроводную цепь. В качестве примера симметричных приёмников на рис.3.17 изображен асинхронный двигатель, обмотки кото­рого соединены звездой (на схеме замещения каждая обмотка представлена резистивным и

индуктивным элементами), и батарея конденсаторов,
соединенная треугольником.

Существуют пять простейших комбинаций включения трёхфазного источника и трёхфазного приёмника:

1). Соединение звезда – звезда с нулевым проводом (рис.3.18).

При таком соеди - нении ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе и определяется фазной э. д.с. и сопротивлением фазы приёмника

;

; (3.29)

.

2). Соединение звезда – звезда без нулевого провода (рис.3.19).

При таком соеди- нении также ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе, но определяется фазной э. д.с., сопротивлением фазы приёмника и напряжением смещения нейтрали U00 :

, (3.30)

,

, (3.31)

.

Если при таком соединении нагрузка симметрична, то напряжение смещения нейтрали U00 = 0 и формулы (3.31) превращаются в (3.29).

3). Соединение звезда – треугольник (рис.3.20).

При таком соеди - нении ток в линейном проводе равен разности токов фаз. Ток фазы определяется междуфазным напряжением и сопро - тивлением фазы:

; ; ,

; ; .

4). Соединение треугольник– треугольник (рис.3.21).

При таком соеди - нении ток в линейном проводе равен разности токов фаз. Ток фазы определяется фазной э. д.с. и сопротивлением фазы приёмника

;

;

.

5). Соединение треугольник– звезда (рис.3.22).

При таком соеди - нении ток в фазе приёмника равен току в линейном проводе. Треугольник источника легко преобразовать в звезду и, таким образом, привести схему к виду звезда – звезда без нулевого провода. Далее необходимо составить систему уравнений относительно токов в фазах источника и токов в линейных проводах. Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.

Отметим, что обмотки фаз ге­нератора предпочитают соеди­нять звездой, так как в случае нарушения симметрии э. д.с. в обмотке, соединенной треугольником, уже при холостом ходе возникнут токи, которые вызовут нагревание обмоток и соответствующее увеличение потерь энергии. Что касается вторичных обмоток трансформаторов, то их можно соеди­нять и звездой, и треугольником.

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и потому расчёт и исследование процессов в них производятся теми же методами и приёмами, которые рассматривались в гл. 2 и 3.

Для цепей трёхфазного тока применим также символический метод расчёта, могут строиться векторные и топографические диаграммы.

Аналитический расчёт трёхфазных цепей рекомендуется сопрово­ждать построением векторных или топографических диаграмм. Век­торные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, делают все соотношения более наглядными и помогают находить ошибки при аналитическом расчёте, если последние возни­кают.

5.МНОГОПОЛЮСНЫЕ ЦЕПИ

5.1. Определение многополюсников

Достаточно часто анализ режимов в электрической цепи ограничивается расчётом токов (напряжений) в отдельных ветвях (на отдельных участках) цепи и определением уравнений связи между этими токами (напряжениями). При этом токи (напряжения) в остальных ветвях цепи остаются неизвестными, и эта часть цепи характеризуется обобщёнными параметрами по отношению к некоторым выделенным зажимам.

Часть цепи, характеризуемую обобщёнными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и напряжениями на её зажимах, называют многополюсником.

Реальная схема этой части цепи может быть неизвестна. Число полюсов мно­гополюсника равно числу зажимов на границе данной части схемы. Многополюсники условно обозначают, например, в виде прямоугольников с соответствующим числом полюсов, с помощью которых они присоединяются к остальной части цепи.

При исследовании режимов в электрических цепях чаще всего используют двухполюсники, трёхполюсники и четырёхполюс­ники.

Многополюсники, не содержащие в своих ветвях источников энергии, называют пассивными (линии передачи электриче­ской энергии, трансформаторы, мостовые измерительные схемы и т. п.).

Многополюсники, содержащие в своих ветвях источники энер­гии, называют активными (усилители, электронные измерительные приборы и т. п.).

5.2. Основные уравнения четырёхполюсников

Черырёхполюсником принято называть электрическую схему, имеющую два входных зажима и два выходных. Изображается он в виде прямоугольника с выходящими из него полюсами mn и pq (рис. 5.1).

Если электрическая схема, которую изображает собой четырёхполюсник, содержит э. д.с., то в прямоугольнике ставится буква А (“активный”), если не содержит э. д.с., то – буква П (“пассивный”). В дальнейшем рассматривается теория пассивного четырёхполюсника.

Входной ток обозначают I1, входное напряжение U1; ток и напряжение на выходе – через I2 и U2. Зажимы mn являются входными, pq – выходными (рис.5.2).

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе связаны с напряжением и током на выходе двумя уравнениями, которые принято называть основными уравнениями четырёхполюсника:

(5.1)

В этих уравнениях комплексные коэффициенты А11, А12, А21, А22 зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от параметров элементов, входящих в схему и от частоты. Для каждого четырёхполюсника эти коэффициенты могут быть определены расчётным или опытным путём. Они называются – коэффициентами формы А и связаны между собой соотношением:

(5.2)

Из (5.1) видно, что коэффициенты А11 и А22 безразмерны, коэффициент А12 имеет размерность Ом, а коэффициент А21 – Сим.

Коэффициенты формы А могут быть определены с помощью входных сопротивлений в трёх различных режимах работы четырёхполюсника.

1. В режиме холостого хода (при разомкнутой ветви pq) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn:

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I2=0 и U2=U20

Входное сопротивление равно

или

(5.3)

2. В режиме прямого короткого замыкания (при замкнутой ветви pq) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn:

.

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I2=I2k и U2=0

Входное сопротивление равно

или

(5.4)

3. В режиме обратного короткого замыкания (при замкнутой ветви mn) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов pq:

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I2 = - I2k, U2=U2k и U1=0

или .

Входное сопротивление равно

или (5.5)

Таким образом, для определения коэффициентов формы А располагаем четырьмя уравнениями (5.2), (5.3), (5.4), (5.5):