Конспект лекций по курсу «Космическая геодезия и геодинамика» для студентов специальности 120103 (стр. 13 )

1) широкозонный дифференциальный метод.

2) фазовая статика без разрешения целочисленной неоднозначности фазы.

Точность дифференциального и относительного метода значительно выше, чем в соответствующих вариантах абсолютного метода и может достигать сантиметрового и даже более высокого уровня. Однако следует обратить внимание на два момента. Во-первых, поскольку в этих методах координаты неизвестных пунктов находятся относительно опорного пункта, то погрешности его координат полностью войдут в координаты определяемых пунктов. Кроме того, поскольку в относительном методе координаты опорного пункта используются для вычисления приращений координат, то его ошибки также будут влиять на точность определения компонент базовых линий.

В каждом из методов наблюдения возможны в режимах статики и кинематики. При статических наблюдениях приемник находится в стационарном положении относительно Земли, в то время как кинематика предполагает движение. Поэтому потеря захвата сигнала спутника для статического позиционирования не является настолько важной, как при кинематическом позиционировании. Статическое позиционирование позволяет накапливать данные, добиваясь повышения точности. Статическое относительное позиционирование по фазовым измерениям является наиболее точным методом определения и наиболее часто используется геодезистами. Преимуществом кинематического позиционирования является его возможность получать траекторию движения транспортного средства, на котором установлена спутниковая аппаратура. При относительном кинематическом позиционировании один из приемников является стационарным, а другой - движущимся. Оба приемника наблюдают одни и те же спутники, а при обработке может достигаться точность сантиметрового уровня.

Техника фазовых наблюдений значительно сложнее техники кодовых измерений. Влияет, в первую очередь, необходимость обеспечения непрерывности измерений фазы несущей. При наблюдениях кодовым приемником каждое измерение производится независимо от остальных. Потеря захвата какого-либо спутника, как правило, не влияет на полноту остальных данных. Поэтому, в принципе, можно ограничиться однократным фиксированием координат, если удовлетворяет их точность. При фазовых измерениях наблюдений одной эпохи недостаточно для определения целочисленных неоднозначностей фазовых отсчетов. Поэтому, чтобы набрать необходимый объем данных, наблюдения проводят достаточно длительное время.

9.2 АБСОЛЮТНЫЙ МЕТОД СПУТНИКОВЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

9.2.1 Определение координат по кодовым псевдодальностям

В абсолютном методе спутниковый приемник определяет свои координаты, скорость и время по спутникам СРНС независимо от других приемников (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Абсолютный метод спутниковых определений.

Основным параметром, по которому находятся координаты, является псевдодальность, уравнение которой, полученное в разделе 8.1.2, приведем в виде:

, (9.1)

где индекс i относится к спутнику, i = 1, 2, …s, индекс А – к пункту наблюдений. В левой части уравнения приводится измеренная приемником псевдодальность. В правой части находятся: геометрическая дальность , - время прохождения сигнала, и - сдвиги шкал часов (поправки часов) соответственно для приемника и для спутника, и - ионосферная и тропосферная поправки, dA и di – задержки сигналов в аппаратуре приемника и спутника, - влияние многопутности на трассе распространения сигнала, - случайные ошибки измерений (шумы), с – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Практическое применение этого уравнения возможно, если в измеренную псевдодальность ввести все поддающиеся учету поправки. Поправки за влияние ионосферы и тропосферы вычисляются в соответствии с моделями, приведенными в главе 7. Модель поправки часов спутников GPS содержится в навигационном сообщении и выглядит следующим образом:

, (9.2)

где a0, a1, a2 – коэффициенты полинома, а toc – опорное время (время часов) для коэффициентов, а член Dtr учитывает релятивистские эффекты (см. раздел 7.4.6). В частности, a0 – сдвиг часов (поправка часов) для эпохи toc, a1 – скорость дрейфа часов (ход часов) в эпоху toc и a2 – половина ускорения часов в эпоху toc. Для спутников ГЛОНАСС в навигационном сообщении ход часов и скорость хода не приводятся.

Задержки сигнала в аппаратуре спутника и в приемнике определяются путем калибровок или вообще не учитываются, то есть входят в шумы измерений. То же самое происходит с многопутностью сигнала: ее влияние обычно неизвестно.

Геометрическая дальность выражается через радиусы-векторы спутника ri и станции RA в общеземной системе координат как модуль разности векторов:

. (9.3)

Координаты спутников вычисляются по навигационному сообщению на момент выхода сигнала , где . Для спутников GPS применяется аналитический метод вычислений, для спутников ГЛОНАСС – численное интегрирование (раздел 4.3). Из-за того, что векторы положений спутников задаются в одной из общеземных систем (ПЗ-90, WGS-84), не являющихся инерциальными, их необходимо исправлять поправкой за поворот Земли за время прохождения сигнала :

(9.4)

где wÅ - угловая скорость вращения Земли. Высота спутников СРНС около 20000 км, поэтому время прохождения сигнала не менее 66 мс. Земля поворачивается со скоростью 15²/с, поэтому угловое смещение Земли при вращении вокруг своей оси составит около 1². Если общеземные координаты применяются без поправки, то координаты определяемой станции будут смещены примерно на 1² по долготе [Teunissen et al. 1998].

Воспользуемся линеаризованным представлением геометрической дальности (раздел 8.1.7), считая, что координаты спутников известны, а в приближенное положение пункта требуется отыскать вектор поправок :

, (9.5)

где - приближенное значение геометрической дальности,

, (9.6)

а вектор является единичным вектором топоцентрического направления на спутник:

(9.7)

Если предположить, что поправка часов спутника dti в процессе измерений адекватно представляется моделью (9.2), то в уравнении (9.1) оказывается четыре неизвестных: три координаты станции XA, YA, ZA и поправка часов приемника dtA. Тогда переходим к уравнению поправок

(9.8)

или

, (9.9)

где - свободный член,

, (9.10)

а в невязку вошли шумы измерений, ошибки координат спутника и все остальные немоделируемые ошибки из-за атмосферной рефракции, многопутности и т. п.

Для определения четырех неизвестных уравнения (9.9) необходимо, чтобы число наблюдений равнялось или было больше, чем число неизвестных. Это условие достаточное, но оно не обязательно дает решение. Причина этого состоит в том, что матрица нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной, что приводит к известному положению, называемому дефицитом ранга.

Если число измерений в каждую эпоху одинаковое, то полное число наблюдений n = s×E, где через s обозначено число спутников, а через E – число эпох.

При статическом позиционировании неизвестными являются три координаты пункта наблюдений и поправка часов приемника для каждой эпохи наблюдений. Таким образом, число неизвестных равно 3+E. Основная конфигурация определяется как

s×E > 3 + E, (9.11)

откуда получаем явное соотношение

. (9.12)

Минимальное число спутников для получения решения равно s = 2, что приводит к числу эпох наблюдений E > 3. Для s = 4 решение получается при E > 1. Это решение отражает возможность мгновенного позиционирования GPS, где четыре неизвестных в любую эпоху находятся, если можно наблюдать, по крайней мере, четыре спутника.

Для кинематического точечного позиционирования основная конфигурация может быть непосредственно выведена из следующего рассмотрения. Из-за движения приемника число неизвестных координат станций равно 3E. Добавляя E неизвестных поправок часов приемника, получаем, что полное число неизвестных равно 4E. Следовательно, основное требование также определяется уравнением (9.11)

s×E > 4E, (9.13)

что дает s > 4. Иными словами, положение (и скорость) движущегося приемника можно определить в любой момент, когда наблюдаются, по крайней мере, четыре спутника. Геометрически решение представляется как пересечение четырех псевдодальностей (раздел 2.5.5).

Решение при s= 2 и E > 3 для статического позиционирования, к примеру, означает, что теоретически достаточно наблюдений двух спутников в течение трех эпох. Однако на практике эта ситуация не дает приемлемый результат, или вычисления будут неудачными из-за плохо обусловленной системы уравнений наблюдений, если эпохи не будут отстоять на большие промежутки (например, десятки минут). Решение также будет возможно, если сделаны наблюдения в три эпохи для двух спутников, а за ними сделаны три дополнительные эпохи, но для другой пары спутников. Такое применение будет редким, но его можно представить при некоторых обстоятельствах (например, в районе города) [Hofmann-Wellenhof et al. 2001].

9.2.2 Решение системы уравнений при абсолютном определении по псевдодальностям

Запишем систему уравнений поправок для псевдодальностей как

, i=1, 2, …, s, (9.14)

где через s обозначено число наблюдавшихся спутников. Обозначим

, (9.15)

тогда систему (9.14) можно записать в матричном виде:

. (9.16)

При s=4 вектор поправок в псевдодальности , а решение системы уравнений (9.16) производится по формуле:

. (9.17)

Вектор координат пункта и поправка часов приемника определяются из выражений:

. (9.18)

Так реализуется режим трехмерных определений (3D) или навигационное решение. Для тех ситуаций, когда число спутников s=3, используется дополнительная информация, например, предполагается известной высота приемника над эллипсоидом HA. Для корабля в океане геодезическую высоту приемника можно точно вывести из высоты приемника над водной поверхностью и высот геоида над эллипсоидом, которые вычисляются по гармоническим разложениям вида (3.45). Уравнение (9.5) можно выразить через эллипсоидальные координаты (широту, долготу и высоты над эллипсоидом), используя преобразования (3.20). В этих преобразованных уравнениях эллипсоидальные высоты рассматриваются как известные величины. Тогда остается три неизвестных: поправки в широту и долготу (плановые координаты) и поправка часов приемника. Таким образом, в принципе, для определений на море достаточно определить псевдодальности до трех спутников (режим 2D позиционирования). Возможны другие варианты основного решения. Следует иметь в виду, что замена геодезической высоты нормальной высотой, взятой, к примеру, с карты, будет приводить к дополнительным ошибкам из-за неучета высоты квазигеоида над эллипсоидом.

При доступности всего полного спутникового созвездия нужно, естественно, наблюдать все спутники в зоне видимости и выполнять решение по методу наименьших квадратов. Тогда, при достигается режим трехмерных переопределенных измерений (overdetermined 3D). Это требует введения весовой матрицы измеренных псевдодальностей

, (9.19)

где KР - ковариационная матрица ошибок псевдодальностей, а - априорная дисперсия единицы веса. Практически обычно корреляционные зависимости между измерениями не учитываются, а назначение весов выполняется либо в зависимости от синуса угла высоты спутника, либо в зависимости от отношения уровней сигнала и шума, либо в соответствии с пользовательской эквивалентной ошибкой дальности UERE [Tiberius et al. 1999; Misra and Enge 2001]. Оценка вектора неизвестных при неравноточном уравнивании выполняется под условием , а решение получается как

. (9.20)

Чаще всего решение производится с предположением о том, измерения равноточные. В соответствии с условием по методу наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

, (9.21)

откуда получается оценка вектора неизвестных

. (9.22)

Решение часто системы (9.16) производится методом приближений, или с использованием алгоритма Калмановской фильтрации, так как для линеаризации геометрических дальностей (9.5) необходимо иметь априорные координаты приемника, близкие к их истинным значениям в пределах нескольких десятков километров. Для этого, как правило, используют хранящиеся в памяти приемника результаты последнего решения. В работе [Шебшаевич и др. 1993] сообщается, что при ошибке положения в 8000 км достаточно четырех итераций. Тем не менее, многие модели приемников после перемещения на большие расстояния требуют ввода приближенных координат.

9.2.3 Коэффициенты потери точности DOP

Оценка точности результатов уравнивания обычно выполняется с помощью ковариационной матрицы KX или корреляционной матрицы QX, которые связаны между собой через дисперсию единицы веса s2 соотношением:

. (9.23)

В ковариационной матрице диагональными элементами являются дисперсии неизвестных , недиагональные элементы (ковариации) равны произведениям стандартных ошибок и коэффициентов корреляции r, характеризующих линейную зависимость между уравненными величинами. Ковариационная матрица для навигационного решения имеет вид:

. (9.24)

Корреляционная матрица имеет вид:

. (9.25)

где pi – веса уравненных величин.

Рассмотрим случай, когда измерения псевдодальностей принимаются некоррелированными и равноточными, то есть матрица весов измерений P определяется как

, (9.26)

где s0 – априорная средняя квадратическая ошибка единицы веса, а I – единичная матрица размера (s – число спутников). Поэтому корреляционная матрица вычисляется через коэффициенты матрицы уравнений поправок А:

. (9.27)

Отсюда следует, что оценка точности неизвестных распадается на две части: определение средней квадратической ошибки единицы веса, которая зависит от точности измерения псевдодальностей, и нахождение обратной матрицы нормальных уравнений, которая зависит от взаимного расположения определяемого пункта и созвездия спутников, то есть от геометрии засечки.

Дисперсия единицы веса s2 может быть найдена по результатам уравнивания, если число спутников в созвездии больше, чем четыре:

. (9.28)

Априорная дисперсия единицы веса может быть оценена, исходя из анализа точности измерений псевдодальностей, типа аппаратуры, режима работы СРНС (см. раздел 10.5).

Для оценки влияния геометрии расположения спутников на точность навигационного решения используются коэффициенты потери точности DOP (Dilution of Precision – понижение или потеря точности). Коэффициенты DOP являются функциями диагональных элементов ковариационной матрицы уравненных параметров. В общем случае,

, (9.29)

где si – стандартная ошибка, например, для положения в плане или по высоте.

Если вектор определяемых параметров X и матрица коэффициентов А задаются уравнениями (9.15), то оценка точности неизвестных выполняется в соответствии с известными формулами:

, (9.30)

полная ошибка положения пункта находится по формуле:

. (9.31)

а полная ошибка положения с учетом ошибок времени – по формуле:

. (9.32)

Обозначим:

, (9.33)

, (9.34)

. (9.35)

Здесь коэффициенты потери точности DOP, называемые также геометрическими факторами, характеризуют:

- PDOP (Position DOP) – понижение точности в положении пункта,

- TDOP (Time DOP) – понижение точности определения времени,

- GDOP (Geometrical DOP)–понижение точности положения и времени из-за геометрии. В данном контексте под геометрией понимается взаимное расположение созвездия спутников и пункта наблюдений (рис. 9.2.).

а б

Рис. 9.2. (а) При расположении спутников вблизи горизонта увеличивается ошибка определения высоты s×VDOP; (б) при расположении спутников вблизи зенита увеличивается ошибка определения планового положения s×HDOP.

Более удобно оценивать точность в топоцентрической координатной системе ENU, поскольку ошибка в координате N равна ошибке в широте, ошибка в координате E равна ошибке в долготе, и ошибка в U равна ошибке в геодезической высоте H. Корреляционную матрицу QX можно преобразовать в корреляционную матрицу этой координатной системы с использованием соотношения:

, (9.36)

в котором матрица R определяется формулой (3.107). Теперь, используя матрицу , можно сделать априорную оценку точности определения положения в плане и по высоте:

, (9.37)

. (9.38)

где

- VDOP (Vertical DOP) характеризует понижение точности в геодезической высоте,

- HDOP (Horizontal DOP)- понижение точности в плановом положении пункта,

Коэффициент потери точности GDOP является наиболее общей характеристикой, отражающей геометрию положения и оценку времени.

Геометрическая интерпретация величины PDOP при наблюдении четырех спутников связана с объемом тетраэдра, стороны которого соединяют концы единичных векторов топоцентрических направлений на спутники (рис. 9.3). Чем больше объем тетраэдра, тем меньше PDOP. Тетраэдр самого большого объема возможен в случае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника расположены с равными по азимуту расстояниями ниже горизонта с углом возвышения –19,47 градусов: GDOP при этом будет составлять 1,581. Естественно, GPS приемник не способен принимать сигналы от спутников, расположенных ниже горизонта, поэтому наименьший GDOP (1,732) достижим в случае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника расположены вблизи горизонта через 120° по азимуту. Некоторые ранние модели GPS приемников могли отслеживать одновременно только четыре спутника. Эти приемники использовали такой алгоритм выбора видимых спутников, при котором отслеживались только те четыре, которые обеспечивали наибольший объем тетраэдра, и, следовательно, наименьшее значение DOP [Langley 1999, русский перевод в Интернете http://www.navgeocom.ru; Phillips 1984].

9.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ

9.3.1 Дифференциальный метод СРНС

В дифференциальном методе работы СРНС (DGPS, DGLONASS) используется не менее двух приемников, измеряющих псевдодальности (или псевдодальности и фазы). Один из приемников постоянно установлен в пункте с известным положением в общеземной системе координат WGS-84 или ПЗ-90. Его называют опорной станцией, коллективной базовой станцией (БС) или контрольно-корректирующей станцией. Второй приемник находится в точке, координаты которой необходимо определить. Для этого приемника используются термины: мобильная станция (МС), перемещаемый приемник, ровер, удаленная станция, потребитель, транспортируемая аппаратура потребителя.

Суть дифференциального метода сводится к тому, что приемник БС, используя точные координаты фазового центра своей антенны, определяет из наблюдений спутников поправки для координат или псевдодальностей (или для фаз), которыми мобильный приемник исправляет свои соответствующие параметры и в результате получает точные координаты. В основе этого приема лежит положение о том, что влияние различных источников ошибок на результаты измерений одинаково, как для базового, так и для мобильного приемника. Более строго нужно говорить не об одинаковом влиянии ошибок, а об его медленном изменении со временем и с удалением между приемниками или об их пространственно-временной корреляции. Например, ошибка в эфемеридах спутника в 100 м при удалении между приемниками в 500 км приводит к расхождению между поправками в псевдодальности в 1 м [Болдин и др. 1999].

В локальном дифференциальном методе (LDGPS) работает одна базовая станция, обслуживающая все ближайшие мобильные приемники. Падение точности из-за уменьшения корреляции между ошибками по мере удаления мобильных приемников от базовой станции привело к идее использования нескольких базовых станций. На этом основана работа широкозонных (WADGPS) и даже глобальных (GDGPS) подсистем DGPS, в которых по данным сети базовых станций строится пространственно-временная модель поправок.

Дифференциальные поправки от базовой станции к полевому приемнику могут передаваться при постобработке или в реальном масштабе времени. В первом случае после выполнения наблюдений файлы с результатами измерений доставляются на один компьютер, где и происходит их последовательная обработка специальным программным обеспечением. Во втором случае поправки от базовой станции передаются полевому приемнику через радио модем или через другие средства беспроводной связи. Это дает возможность получать координаты МС на объекте работ через несколько секунд после очередного измерения. Для оперативной передачи данных применяется специальный стандарт RTCM SC 104, разработанный Специальным комитетом 104 Радиотехнической комиссии по мореплаванию США. Версия стандарта 2.2 позволяет передавать данные как по спутникам GPS, так и ГЛОНАСС. В тех случаях, когда точное положение полевого приемника необходимо знать на базовой станции, используется инверсный, то есть обратный дифференциальный метод (IDGPS), когда поток данных измерений идет от полевого приемника к базовой станции. Он также может осуществляться и в реальном времени, и с постобработкой. Такой вариант дифференциального метода находит широкое применение, например, при диспетчеризации парков транспортных средств.

Передача поправок в дифференциальном методе вместо исходных наблюдений позволяет значительно уменьшить объем передаваемой информации и повысить оперативность результатов, хотя и без достижения самой высокой точности.

9.3.2 Ослабление ошибок в дифференциальном методе

Основные виды GPS/ГЛОНАСС измерений состоят из смещенных и шумных оценок расстояний до спутников по кодам или фазе несущей. Главный источник смещений – это неизвестная поправка часов приемника по отношению к системному времени. Другими ошибками являются:

- ошибки моделирования часов спутников и их эфемерид,

- ошибки моделирования ионосферной и тропосферной задержек,

- ошибки в измерениях кода и фазы несущей из-за многопутности и шума приемника.

Измерения фазы несущей создают дополнительные сложности из-за целых неоднозначностей. Однако многопутность и шум приемника для фазовых измерений на два порядка величин ниже, чем для кодовых измерений.

Поскольку основная идея дифференциального метода заключается в использовании свойств ошибок, связанных с часами спутника, эфемеридами и распространением сигнала в атмосфере, то целесообразно рассмотреть особенности их пространственно-временных изменений.

Ошибки часов спутника. Ошибка моделирования часов сравнительно небольшая (s » 2 м и даже менее) и изменяется медленно за часы, зависимость от расстояния между базовым и мобильным приемниками почти отсутствует. До 2 мая 2000 г. ошибка от зашумления часов в соответствии с режимом SA была наибольшей и самой важной в методе DGPS, причем быстро изменяющейся ошибкой, от 1 минуты до 5 секунд.

Ошибки эфемерид спутника – это другая малая ошибка (s » 2 м и менее), которая медленно изменяется в течение минут. При этом опасны только компоненты вектора ошибки, не лежащие по топоцентрическому радиусу-вектору. Поэтому остаточная ошибка после дифференциальной коррекции должна зависеть от расстояния между линиями визирования от пользователя и опорной станции. Спутники находятся на расстоянии более 20000 км, и угловое расстояние при спутнике между линиями визирования на две точки на Земле, отстоящих, например, на 100 км, будет всего 0.3°. Предельная остаточная ошибка в расстоянии в расстоянии до спутника дается как [Misra and Enge 2001]

, (9.45)

где r – расстояние до спутника, sЕ – величина ошибки в передаваемой спутником эфемериде, а D – расстояние между приемниками. При D = 100 км, и sЕ = 10 м нескомпенсированная ошибка в расстоянии будет меньше 5 см.