Конспект лекций по курсу «Космическая геодезия и геодинамика» для студентов специальности 120103 (стр. 4 )

. (72)

При поворотах вокруг второй и третьей оси соответственно на углы b и g имеем:

, (73)

. (74)

Очень часто поворот разбивают на три вращения либо с использованием углов Эйлера (рис. 3.11), либо углов Кардано (рис. 3.12). На рис. 3.11 основные плоскости систем СК1 и СК2 пересекаются по линии . Угол W между осью XCK1 и линией называется углом прецессии, угол i между основными плоскостями - углом нутации и угол w между линией и осью XCK2 называется углом чистого вращения. Преобразование с применением углов Эйлера записывается в виде:

Рис. 11. Углы Эйлера. Рис. 12. Углы Кардано.

. (75)

Преобразование с углами Кардано wX, wY, wZ, при котором производится три последовательных вращения. На рис. 3.12 показано, что первое вращение производится вокруг оси ZCK1 на угол wZ против часовой стрелки. В результате этого вращения ось XCK1 оказывается в положении X¢, а ось YCK1 – в положении Y¢. Второе вращение производится вокруг оси X¢ на угол wX, в результате чего ось Y¢ оказывается в положении YCK2, а ось ZCK1 – в положении Z². Наконец, третье вращение производится вокруг оси YCK2 на угол wY, после которого ось Z² оказывается в положении ZCK2, а ось X¢ – в положении XCK2. Все три вращения записываются в виде произведения

. (76)

При малых углах вращения wX, wY, wZ после разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора с удержанием членов первого порядка и перемножения матриц получаем:

. (77)

Операция масштабирования при трансформировании координат заключается изменении длины одинаково во всех направлениях с помощью малого скаляра m, характеризующего отличие от единицы отношения одного и того же элемента длины в разных системах (преобразование подобия):

, (78)

Обычно m <10-6 и дается в единицах 6-го или 9-го знака.

Часто встречающееся в космической геодезии преобразование прямоугольных координат с использованием операций переноса, поворота на углы Кардано и масштабирования записывается следующим образом:

, (79)

или

. (80)

Этот вид преобразований нередко называют преобразованием по Гельмерту, или 7-параметрическим преобразованием, или Евклидовым преобразованием подобия, а входящие в него параметры трансформирования - параметрами Гельмерта.

В таблице 3.4 приводятся параметры связи для некоторых систем, в некоторых случаях знаки параметров, взятых из публикаций, приведены в соответствие с формулой (3.80).

Таблица 4. Параметры преобразования земных систем координат

Направление пере- хода, источник	Параметры связи
TX (м)	TY (м)	TZ (м)	m(б/р)
СК-42®ПЗ-90, [46]	+25	-141	-80	0	0	-0.35	-0.66
СК-42®СК-95, [47]	+1.8	-9.0	+6.8	-1.5×10-7	+0.02	-0.38	-0.85
ПЗ-90®СК-95, [47]	-25.90	+130.94	+81.76	0	0	0	0
ПЗ90® WGS-84, [46]	0	0	+1.5	0	0	0	-0.076
ПЗ90® WGS-84, [110]	0	0	+2.5	0	0	0	-0.4
ПЗ90® WGS-84, [89]	-1.1	-0.3	-0.9	-0.12×10-6	0	0	-0.169

2.8.2 Преобразование эллипсоидальных координат

Очень часто используется преобразование в геодезических координатах B, L, H, при котором координаты в системе СК2 сразу получаются через координаты в системе СК1, минуя переход к прямоугольным координатам:

. (81)

Поправки DB, DL, DH являются не только функциями параметров связи координатных систем, но также зависят от изменения размеров и формы референц-эллипсоидов, и, следовательно, должны содержать девять параметров. Вероятно, первое появление в печати данных формул было сделано в Трудах ЦНИИГАиК, вып. 131, , и [Молоденский 1961]. Однако в них не учитывалось изменение масштаба, то есть они аналогичны шести-параметрическому преобразованию по Гельмерту. В зарубежной литературе это преобразование называется как «метод Молоденского», например [Botton et al. 1997; Harvey 1986], или «стандартные формулы Молоденского» [DMA Technical Report 1991]. Полные формулы преобразования имеют вид [Герасимов 1996]:

(82)

(83)

(84)

Здесь

, (85)

, (86)

, (87)

. (88)

Глобальные методы преобразования координат обеспечивают высокую точность при работе с точными координатными системами, например ITRF. При трансформировании локальных референцных координат ошибки могут значительно возрастать из-за того, что параметры связи координатных систем во многих случаях определяются по ограниченной выборке точек и не могут учитывать локальных нелинейных искажений в сетях. Например, точность перехода из системы ПЗ-90 в СК-42 оценивается в 2 - 4 м [Основные положения о ГГС России 1997], а из WGS-84 в СК-42 - в 5 - 7 м [Бойков 1993]. Следует также иметь в виду, что с появлением новых реализаций координатных систем повышается точность глобальных методов трансформирования.

Для преобразования координат в локальных областях пользуются методами, в которых переход от одной системы в другую осуществляется по тем же алгоритмам, какие используются в глобальных методах, но параметры перехода или часть из них определяются по измерениям на опорных точках в рассматриваемой области.

2.9 СИСТЕМЫ ВЫСОТ

2.9.1 Определение систем высот

Для передачи высот от начала нивелирной сети - точки A на поверхности геоида (рис. 3.13) к точке В методом геометрического нивелирования суммируют все превышения, измеренные на всех станциях:

. (96)

Рис. 3.13. Поверхности относимости в системах высот

Получаемая подобным образом высота зависит от пути нивелирования. Это вызвано непараллельностью уровенных поверхностей, обусловленной наличием аномальных масс.

Проведем в точках A и M уровенные (эквипотенциальные) поверхности и . Уровенная поверхность, проходящая через точку А и совпадающая с уровнем моря, является геоидом. Следует иметь в виду, что топографическая поверхность моря в спокойном состоянии не является эквипотенциальной поверхностью. Несовпадение между ними может достигать 2.5 м. Проведем также силовые линии АА0 и ММ0 до их пересечения с эллипсоидом. Ортометрической высотой называется расстояние между геоидом и данной точкой, отсчитываемое по силовой линии, проходящей через точку. Ортометрическая высота для точки М может быть получена по формуле:

, (97)

где - среднее значение реальной силы тяжести на отрезке ММ1, а - измеренное значение силы тяжести вдоль линии нивелирования АМ. Без ущерба для точности ортометрическую высоту можно отсчитывать по нормали к эллипсоиду. Недостатком ортометрических высот является то, что для их точного вычисления требуется знание строения земной коры, иными словами, точность вычисления ортометрических высот зависит от принятой гипотезы о строении земной коры.

От этого недостатка свободна предложенная система нормальных высот, в которых высота точки может быть вычислена по формуле:

, (98)

где - значение нормальной силы тяжести на высоте над эллипсоидом. На поверхности эллипсоида нормальная сила тяжести g0 вычисляется по формуле Гельмерта

, (99)

где

, (100)

. (101)

Нормальная сила тяжести во внешнем пространстве находится по формуле:

, (102)

где H - высота над эллипсоидом. Значения коэффициентов приводятся для эллипсоида со сжатием a =1/298.257 ±0.001 и силе тяжести на экваторе ge = 978033 мгал.

Нормальные высоты определяются теоретически строго, поскольку gm может быть вычислено практически безошибочно. Нормальные высоты, вычисленные по формуле (3.98), отсчитываются от поверхности квазигеоида. Разность между ортометрической и нормальной высотой можно оценить по формуле [Машимов 1982]:

. (103)

Эта разность характеризует отступление квазигеоида от геоида. В горных районах возможно отступление до 2 - 3 м, но в большинстве случаев оно имеет величину порядка нескольких см. На морях и океанах квазигеоид совпадает с геоидом.

При измерениях базовых линий с применением GPS-технологий относительными методами измеряется разность эллипсоидальных высот:

. (104)

Чтобы передать нормальную (или ортометрическую) высоту на точку М, необходимо знать высоты квазигеоида (или геоида) над эллипсоидом для начала и конца базовой линии, т. е. нужно привлекать информацию о квазигеоиде (геоиде):

. (105)

Способы определения геоида при GPS измерениях будут рассмотрены в 12-й главе.

2.9.2 Балтийская система высот

Современная нивелирная сеть России (СНГ) подразделяется на сети I, II, III и IV классов. Главной высотной основой являются сети I и II классов, прокладываемые вдоль железных дорог, шоссе, улучшенных грунтовых дорог, по берегам больших рек, а в отдельных случаях и по грунтовым дорогам и тропам.

Нивелирная сеть строится в виде замкнутых полигонов и отдельных линий большой протяженности. Нивелирная сеть II класса опирается на реперы I класса и создается в виде полигонов с периметром от 400 до 800 км в обжитых районах и 1км - в необжитых районах. На востоке страны нивелирные линии I и II классов иногда достигают 6км. Сети III и IV классов прокладываются внутри полигонов высшего класса, причем для III класса предельное значение периметра полигона не более 150 км (в восточных районах - до 300 км), а длины линий IV класса - не более 50 км. Нивелирные сети всех классов закрепляются на местности реперами или стенными марками не реже, чем через 5 км. Невязки в нивелировании I, II, III и IV классов не должны превышать в миллиметрах соответственно , , и , где L - длина хода в км.

К середине 70-х годов в СССР в соответствии с программой, разработанной в ЦНИИГАиК, была построена высокоточная нивелирная сеть I и II классов. Общая протяженность линий I класса составила 70000 км, а линий II класса - 360000 км. При уравнивании нивелирная сеть I и II классов была разбита на блоки «Запад» и «Восток», граница между которыми проходила по линии I класса Архангельск - Казань - Аральское море - Арысь. Вычисления выполнялись в системе нормальных высот от нуля Кронштадтского футштока. Средние квадратические ошибки на один километр нивелирного хода составили:

I класс II класс

Блок «Запад» 1.6 мм 2.7 мм

Блок «Восток» 2.1 мм 3.6 мм

Это говорит о том, что сеть, закрепляющая Балтийскую систему высот 1977 г. (БСВ-77), протянувшаяся более, чем накм по долготе и на 3000 км по широте, построена с очень высокой точностью. Наиболее удаленные от Кронштадтского футштока пункты определены со средней квадратической ошибкой не более 15 см [Яковлев 1981]. По данным ЦНИИГАиК точность нивелирных сетей по результатам уравнивания характеризуется следующими средними квадратическими ошибками на километр хода [Национальный отчет 1993]:

I класс 0.5 мм,

II 0.8 мм,

III 1.6 мм,

IV класс 6 мм.

2.10 ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Оси таких систем параллельны осям геоцентрических координатных систем. Если начало системы находится в некоторой точке наблюдений А, то их называют топоцентрическими. Следовательно, можно образовать истинную небесную топоцентрическую систему , среднюю небесную топоцентрическую систему на эпоху t - , общеземную топоцентрическую систему и другие. С помощью таких координат задается взаимное положение пунктов. Связь между этими системами выражается теми же формулами, что и между геоцентрическими системами.

Рис. 3.14. Система локальных координат NEU.

Очень часто при построении геодезических сетей спутниковыми методами применяются локальные геодезические координаты, основной плоскостью которых является плоскость геодезического горизонта, ось U направлена в геодезический зенит пункта, ось N - на север, а ось E - на восток (рис. 3.14). Связь координат с топоцентрическими определяется формулой: