Геометрия-10 (стр. 2 )

Один из самых важных комбинаторных результатов для правильных карт (связанных графов) был обнаружен Л. Эйлером в 1750 году. Правильная карта – это такое разбиение многоугольника на другие многоугольники, которые удовлетворяют тем же требованиям, что и при правильной триангуляции. Тогда формула Эйлера утверждает, что для любой правильной карты

V + F – E = 1,

где V обозначает число вершин всех многоугольников, F – число всех многоугольников разбиения, Е – общее число всех сторон многоугольников разбиения.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Для триангуляции простого многоугольника N = 2Ni + Ne – 2;

2. Для триангуляции простого многоугольника E = 3Ni + 2Ne – 3;

3. Для правильной плоской карты имеет место формула Эйлера

V + F – E = 1.

Теорема 2. Формулы Эйлера и Пика эквивалентны.

Под эквивалентностью здесь понимается то, что каждое из утверждений теоремы может быть получено в качестве следствия из любого другого указанного утверждения.

Связи между формулами Пика и Эйлера подсказывают, что существует аналог формулы Пика и в более общем случае. Простейшим таком обобщением является распространение теоремы Пика на простые многоугольники с «лакунами» (отверстиями), которые сами являются простыми многоугольниками.

Теорема 3. Для любого простого многоугольника М с n простыми лакунами на решетке L имеет место равенство

[M] = (Ni + Ne/2 – 1+ n)D(L),

где [M] и D(L)– площади М и фундаментального параллелограмма решетки L, соответственно; Ni – число узлов решетки, расположенных внутри М, но не на границе лакун и не внутри лакун, а Ne – число узлов решетки, расположенных на границе М и на границах всех лакун.

Литература:

1. Г. , Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

2. , , Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.

3., , Две знаменитые формулы.- Журнал «Квант», 2(2008).

Лекции 7,8. Плоские мозаики

Широко известны покрытия плоскости правильными многоугольниками (без самопересечений), которые состоят только из квадратов, или только из правильных треугольников (шестиугольников).

Доказывается, что других покрытий плоскости такого типа не существует

Специфика отмеченных покрытий состоит в том, что в каждом из них участвуют правильные многоугольники одного вида и «звезды» в каждом узле такой мозаики одинаковы (звезда – это какой-либо узел и стороны всех многоугольников, его содержащих).

Попробуем снять ограничение о том, что в покрытии правильными многоугольниками участвуют только одинаковые правильные многоугольники. Но, что важно, сохраним условие, что в каждом таком возможном покрытии правильными многоугольниками без наложений, все «звезды устроены одинаково». Именно такие покрытия плоскости и называются мозаиками (или правильным паркетами).

Теорема. Существует только одиннадцать различных, т. е. не накладывающихся друг на друга, мозаик.

Наметим здесь доказательство. Рассмотрим какой-либо узел мозаики и обозначим через pk – число примыкающих к нему правильных k – угольников, а через ak = (1 – 2/k)p - величину внутреннего угла правильного k – угольника. Тогда в каждом узле мозаики имеет место соотношение

где в сумму включаются все слагаемые с номерами k, для которых к узлу примыкает хотя бы один k – угольник (для остальных k, по определению, полагаем pk = 0.

Таким образом,

(*)

Ясно, что в узле мозаики сходится не менее трех и не более шести правильных многоугольников

Рассмотрим, по отдельности, мозаики с тремя, четырьмя, пятью и шестью многоугольниками в узле.

А) В случае трех многоугольников в узле, они могут быть все одинаковыми; тогда из (*) получаем 3(1-2/k) = 2, т. е.k = 6.

Возможна ситуация, когда в узле сходятся два одинаковых k – угольников и один, отличный от них, правильный n – угольник. Здесь уравнение (*) влечет, что (1-2/n) + 2(1–2/k)= 2, т. е.

k = 4n/(n-2) = 4 + 8/(n-2).

Целые k получаются только при n = 3,4,6,10; соответствующие им k = 12,8,6, 5. Таким образом, для построения мозаик здесь возникают три различных возможных устройств узлов.

Итак, для случая трех многоугольников осталось изучить уравнение

1/n + 1/m + 1/k = 1/2 , (**)

т. е. когда в к узлу примыкают три различных многоугольника (с n, k и m сторонами). Заметим, что среди троек натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению (**) и отвечающих некоторой мозаике нет таких, среди которых имеется хотя бы одно нечетное число. Действительно, предположив, например, что k – нечетное число, легко убеждаемся, что попеременно к его сторонам нельзя приставить правильные n- угольники и m – угольники так, чтобы получить мозаику.

Таким образом, можно считать, что n = 2n1, m = 2m1 , k = 2k1 и из (**) заключаем, что

1/n1 + 1/m1 + 1/k1 = 1.

Без ограничения общности можно считать, что k1 < m1 < n1. Тогда

1 = 1/n1 + 1/m1 + 1/k1 < 3/k1

и, следовательно, k1 = 2 и

1/n1 + 1/m1 = 1/2.

Единственным нужным решением этого уравнения служит пара натуральных чисел m1 = 3, n1 = 6.

Б) Изучим теперь те возможности, когда в узле мозаики сходятся четыре правильных многоугольника; здесь мы имеем уравнение

1/n + 1/m/ + 1/k/ + 1/l =1,

причем можно считать, что l £ k £ m £ n.

Заметим, что если l > 4, то 1/l < 1/ 4 , 1/n < 1/ 4 , 1/m < 1/ 4 , 1/k < 1/ 4 и поэтому

1/n + 1/m + 1/k + 1/l < 1.

Таким образом, l £ 4.

С) Рассмотрим еще одну возможность – в каждом узле встречаются 5 правильных многоугольников. Здесь мы получаем уравнение вида

1/n + 1/m + 1/k + 1/l +1/j = 3/2 ,

где также считаем, что j £ l £ k £ m £ n . Легко показать (также, как и выше), что j = l = k = 3 и поэтому

1/n + 1/m = 1/ 2.

Д) Ясно, что если в узле сходится шесть правильных многоугольников, то они все являются правильными треугольниками.

Для подведения итогов исследования (для завершения доказательства теоремы) нужно не только найти все возможные здесь целочисленные решения уравнений, но и затем убедиться, что им отвечают соответствующие мозаики (что происходит не всегда!).

При изучении этой темы крайне полезным является компьютерный продукт [4], разработанный с участием преподавателей школы им. , и который мы используем.

Математический практикум: 1) Построить при помощи циркуля и линейки одну из мозаик 2) Познакомиться с темой «Мозаики» при демонстрациях в классе (см.[4]).

Литература:

1. Г. , Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

2. , Паркеты из правильных многоугольников. – Журнал «Квант», 8(1986).

3. О. Михайлов, Одиннадцать правильных паркетов. –Журнал «Квант», 2(1979).

4. , , ., , , Образовательный комплекс «Математика 5-11» // Москва: 1С», АНО «Учебно-издательский центр «Интерактивная линия», Учреждение «Институт новых технологий», 2004.

Лекции 9,10,11. Основные математические принципы

Рассматриваются три основных математических принципа и их применения в геометрии: принцип математической индукции, принцип Дирихле, принцип включения-исключения.

Основной акцент в изучении этих принципов делается на классные занятия, предусматривающие и проведение соответствующего коллоквиума.

1. Принцип математической индукции.

Принцип математической индукции в привычной форме двух шагов впервые появился в 1654 году в работе Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», в которой индукцией доказывается простой способ вычисления числа сочетаний (биномиальных коэффициентов). Д. Пойа в книге [1] цитирует Б. Паскаля с небольшими изменениями, данными в квадратных скобках:

«Несмотря на то, что рассматриваемое предложение [явная формула для биномиальных коэффициентов] содержит бесчисленное множество частных случаев, я дам для нее совсем короткое доказательство, основанное на двух леммах.

Первая лемма утверждает, что предположение верно для основания – это очевидно. [При n = 1 явная формула справедлива…].

Вторая лемма утверждает следующее: если наше предположение верно для произвольного основания [для произвольного n], то оно будет верным и для следующего за ним основания [для n+1].

Из этих двух лемм необходимо вытекает справедливость предложения для всех значений n. Действительно, в силу первой леммы оно справедливо для n = 1; следовательно, в силу второй леммы оно справедливо для n = 2; следовательно, опять-таки в силу второй леммы оно справедливо для n = 3, и так до бесконечности».

Итак, логическая схема, состоящая из двух шагов:

· Первый шаг – базис индукции (проверка предположения для основания),

· Второй шаг – индуктивный переход или шаг индукции, включающий в себя предположение (утверждение верно при n = k) и заключение (утверждение верно при n = k + 1),

и позволяющая заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел (или для всех, начиная с некоторого), так как справедливы и базис и переход, называется принципом математической индукции, на котором и основан метод математической индукции. Параметр n называется параметром индукции.

Ранее уже использовался принцип математической индукции в геометрии при вычислении суммы углов простого многоугольника, теоремы Бойяи-Гервина о равносоставленности, формул Пика и Эйлера. Еще один пример применения принципа математической индукции дается на следующей лекции.

2. Принцип исключенного третьего

Этот впервые был сформулирован Аристотелем и представляет собой принцип классической формальной логики, утверждающий, что всякое суждение или истинно, или ложно, третьего не дано. На этом принципе основываются:

а) один из наиболее используемых приемов установления истины в математике – метод доказательства от противного. А именно, чтобы убедиться в справедливости некоторого утверждения А, мы берем противоположное ему не-А и путем строгих логических рассуждений приходим к некоторому абсурдному следствию из него, “reductio ad absurdum”. Отсюда, согласно принципу исключенного третьего заключаем, что если не-А ложно, значит А – истинно, третьего не дано, “tertium non datur”.

Наиболее яркий пример использования этого метода представляет собой известная в планиметрии теорема Сильвестра: Никакое конечно число точек нельзя расположить на плоскости так, чтобы прямая, проходящая через любые две из них, проходила бы также через третью, если только эти точки не лежат все на одной прямой. Эта теорема имеет богатую историю, но простое и изящное ее доказательство было получено только тогда, когда сильвестровское “отрицательное” утверждение было переформулировано в “положительной форме”.

Теорема. Если n точек плоскости не лежат на одной прямой, то существует прямая, проходящая в точности через две из этих точек.

б) метод доказательства основанный на построении контрпримера, то есть примера, который опровергает истинность какого либо утверждения, доказывая тем самым, согласно принципу исключенного третьего, его ложность. Построение контрпримера является классическим способом опровержения гипотез.

в) метод доказательства, опирающийся на эквивалентность доказываемой теоремы и теоремы противоположной для обратной к данной.

Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

3. Принцип Дирихле

При решении самых различных задача часто бывает полезен так называемый “принцип Дирихле”, названный в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле; по-другому этот принцип еще называют “принципом ящиков” или “принципом голубятни”. Этот принцип часто является хорошим средством при доказательстве важнейших теорем в теории чисел, алгебре, геометрии.

Наиболее часто принцип Дирихле формулируется в одной из следующих форм:

Если пять кроликов помещены в четыре клетки, то в одной из клеток находятся не менее двух кроликов; или, другими словами, нельзя посадить пять кроликов в четыре клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не более одного кролика.

В более общей форме этот принцип выглядит так: если (n+1) кролик помещен в n клетках, то имеется клетка, в которой находятся не менее двух кроликов.

Это просто утверждение можно обобщить: если (2n+1) кроликов помещены в n клетках, то по крайней мере, в одной клетке находятся не менее трех кроликов.

Более общая форма принципа Дирихле, включающая все предыдущие, такова:

Если (kn+1) кролик помещен в n клетках, то в одной из клеток находятся не менее (k+1) кролика; или в эквивалентной форме – нельзя посадить (kn+1) кролика в n клеток так, чтобы в каждой клетке находилось не более k кроликов.

Задача 1. Равносторонний треугольник АВС и квадрат MNPQ вписаны в окружность длины L. Ни одна из вершин треугольника не совпадает с вершинами квадрата. Их вершины делят окружность на семь частей. Докажите, что, по крайней мере, одна из них имеет длину не больше L/24.

Задача 2. В квадрате со стороной 1 расположено несколько окружностей с суммой их длин, равной 10. Докажите, что существует прямая, параллельная сторонам квадрата, которая пересекает не менее четырех окружностей.

4. Принцип включения-исключения.

Наряду с рассмотренными выше принципами принцип (формула) включения - исключения является важнейшим математическим инструментом. Особенно, в комбинаторике, когда, зная число элементов в каждом из конечных данных множеств, нужно найти число элементов другого множества, которое составлено из данных при помощи некоторых операций (объединений, пересечений и т. д.).

Если множества А1 и А2 состоят из конечного числа элементов, то

n(A1ÈA2) = n(A1) + n(A2) – n (А12), (1)

где n(X) обозначает число элементов множества Х, А12 = A1ÇA2 .

Эта одна из важных формул в комбинаторике; ее называют правилом сложения. С ее помощью можно получить формулу для числа элементов объединения любого числа конечных множеств. Например, для трех множеств имеем (обозначения вида Аij и A123 носят описанный выше характер)

n(A1 È А2 È А3) = n(A1 È (А2 È А3)) =

= n(A1) + n(A2 È A3) – n( (A1 Ç (A2 È A3)) =

= n(A1) + n(A2) + n(A3) – n(A23) – n(A12 È A13) =

= n(A1) + n(A2) + n(A3) – n(A23) - n(A12) - n(A13) + n(A12 Ç A13).

Таким образом,

n(A1 È А2 È А3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) – n (A12) – n (A13) – n(A23) + n(A123).

Здесь мы применили два раза правило сложения для двух множеств и использовали то, что A1 Ç (A2 È A3) = А12 È А13.

Полученная формула, как и формула (1), являются частными случаями общего принципа (формулы) включений – исключений.

Задача (Л. Кэрролл). В ожесточенной драке более 70% участников повредили глаз, 75% - ухо, 80% - руку, 85% - ногу.

Каково наименьшее количество повредивших глаз, ухо, руку и ногу?

Ответ: Полных неудачников драки - не менее 10%.

Эта задача придумана известным детским писателем и математиком Льюисом Кэрроллом, автором книг «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье», давно уже ставших достоянием мировой культуры.

Задача На столе, площади 1, лежат три журнала, площади которых K1, K2, K3 не меньше 1/2. Какую наибольшую площадь пересечения могут иметь два журнала? Ответ:

Решенные задачи позволяют сформулировать принцип включения – исключения в общем виде. Пусть имеется n объектов и n(a) из них обладают некоторым свойством a; подобным же образом через n(b) , n(g) обозначим, соответственно, число тех объектов, которые обладают свойствами b, g,... Если через n(a,b), n(a,g), n(b,g), n(a,b,g) обозначить число объектов, которые обладают теми свойствами, которые указаны в скобках, то число объектов, которые не обладают ни одним из свойств a, b, g, … равно

n – n(a) – n(b) – n(g) + n(a,b) + n(a,g) + n(b,g) – n(a,b,g) + …

Этот общий прием (формула) имеет место, конечно, для любого конечного числа свойств объектов. При этом, если свойств у объектов много, то число членов в написанном выражении, естественно, возрастает.

Во втором семестре рассматриваются и изучаются еще два математических принципа: принцип непрерывности и принцип двойственности.

Коллоквиум: Основные математические принципы

Литература

1. Д. Пойа, Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.

2. Г. , Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

3. , Принцип Дирихле. – Газета «Математика. 1 сентября», 15(2006).

4. , , Принцип математической индукции. – Журнал «Потенциал», 2(2008).

5. , , Принцип включения-исключения, Журнал «Потенциал», 3(2008).

6. , , Математические коллоквиумы. Части I, II. – М.: Школа им. , 2006.

Лекция 12. Задача Успенского

Рассматривается один замечательный пример применения принципа математической индукции, в котором сначала нужно ввести два натуральных параметра и затем провести индукцию по их сумме.

Отметим, что к разбираемой задаче мы возвращаемся еще раз на уроках по математическому анализу, где рассматриваемая ниже задача решается при помощи средств дифференциального исчисления.

Задача (Д. Успенский). Для любого треугольника АВС, a = ÐСАВ, b = ÐСВА, имеют место неравенства

, .

Решение. Рассмотрим два случая: углы α, bсоизмеримы и несоизмеримы.

1) Если углы a и b соизмеримы, то это по определению означает, что эти углы имеют общую меру d, для которой a = рd, b = qd (p,q – натуральные взаимно простые числа).

Воспользуемся методом математической индукции и проведем ее по сумме n = p+q натуральных взаимно простых чисел.