Геометрия-10 (стр. 1 )

В. Геометрия-10 (тезисы лекций) Школа имени 2008

45-летию школы им.

Геометрия -10 (Тезисы лекций). -М.: Школа им , 2008, -38с.

Одной из отличительных и существенных особенностей учебного плана школы им. при МГУ им. является то, что наши десятиклассники практически весь учебный год продолжают изучать (и повторять) планиметрию. Конечно, в более широком плане, чем это обычно принято. В книге изложены тезисы одночасовых лекций для десятиклассников двухгодичного потока обучения физико-математического профиля и она адресована, главным образом, учителям.

Тематика семинарских занятий по курсу геометрии в этом в первом семестре такова: Геометрия треугольника, Площадь многоугольника, Задачи на клетчатой бумаге, Основные математические принципы, Площадь круга и его частей. Второй семестр посвящен преобразованию инверсии, классической геометрии треугольника, геометрии масс, основам проективной геометрии.

© ,2008

©СУНЦ МГУ

Введение

Общие цели изучения курса геометрии мало чем отличаются от тех целей, которые пытаются достигнуть в массовой средней (да и высшей) школе. Если говорить о них коротко, то это – изучение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, формирование пространственных представлений в широком понимании этого слова, развитие логического мышления, подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин.

На курс геометрии отводится 102 часа в учебный год (3 часа в неделю) как при двухгодичном, так и при одногодичном обучении в физико-математическом потоке. Так же и в массовой школе. Однако, мы в процессе обучения придерживаемся лекционно-семинарской системы; при этом, как правило, еженедельно читается одночасовая лекция. Одним из существенных отличий нашего курса является то, что при каждой возможности (тема, наличие времени, соответствующая подготовка) мы не упускаем из виду принцип « элементарная математика с точки зрения высшей», т. е. включаем (по крайней мере, в лекционный материал) те темы, которые выходят за рамки обычной школьной программы, но нацелены на расширение кругозора и более точного понимания изучаемой темы; при этом выбираем те темы и фрагменты из них, которые в высшей школе, как правило, даже не обсуждаются. В конце каждого семестра проходит зачет или экзамен (это зависит от потока и класса).

Учебный процесс по курсу геометрии и контроль за ним в школе организован следующим образом. Один час в неделю отводится лекции (3-4 лекции в год используются на контрольные работы); тематика этих лекций приведена ниже. Два часа в неделю отводится на практические занятия и, частично, на текущие коллоквиумы. Лектор, совместно с другими преподавателями, разрабатывает тематические списки задач по изучаемой теме, часть из которых изучается на уроках, часть – в ходе самостоятельной работы. Однако, потом все учащиеся без исключений должны сдать этот список задач преподавателю на соответствующем тематическом коллоквиуме или отчитаться перед преподавателем в другой выбранной им форме, предъявив тетрадь с соответствующими записями. При этом неукоснительным требованием является система оформления задач, выносимых на такой коллоквиум: четкие чертежи, выполненные линейкой, циркулем и обязательно с применением цвета, полнота аргументации в решениях, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если у школьника к первой попытке отчитаться за список задач эти требования не выполнены, то он не допускается к коллоквиуму и в дальнейшем уже не может получить отличную оценку (до двойки ни один учащийся не опускается, однако 3-4 тройки все-таки, как правило, имеются). Сдачу очередного коллоквиума мы организуем как за счет внеклассных часов, так и в течение основного времени, используя наличие двух преподавателей в каждом классе и на каждом уроке. Кроме того, контролю за качеством обучения служат контрольные работы, зачеты и экзамены.

Учебный план курса геометрии и его реализация в нашей школе сильно отличаются от учебных планов средних школ (как массовой, так и специализированной). Главное отличие состоит в том, что в десятом классе проходит повторительный курс планиметрии и только в одиннадцатом классе изучается систематический курс стереометрии (иногда этот курс начинается во втором полугодии десятого класса, что зависит только от руководителя курса; сказанное относится к двухгодичному обучению). Такой учебный план нам позволяет не только повторить и систематизировать знания, умения и навыки, полученные ранее, но и расширить объем знаний, уделить особое внимание конкурсным экзаменам в вузы, использовать ПК в обучении, привить интерес к изучению математики, а также реализовать на практике принципы обучения, связанные с развитием математической культуры школьников (напомним здесь снова, что наши учащиеся уже проявили интерес к изучению математики и физики). Кроме того, такая возможность преподавания позволяет уделить более серьезное внимание по-настоящему прикладным вопросам и использованию ПК, установить межпредметные связи, а также не забыть «деятельность руками» (склеить, построить, сосчитать, нарисовать и т. д.); последнему обстоятельству служат задания математического практикума (см. ниже).

Остановимся кратко на некоторых моментах исторического характера, связанные с деятельностью по постановке, в частности, геометрических курсов, как в школе, которая сейчас носит его имя, так и во всей массовой средней школе.

Специализированная школа-интернат при МГУ (наряду с аналогичными школами при университетах в Новосибирске, Ленинграде и Киеве) были открыты в 1963 году. В тот период, и вплоть до реформы математического образования в 70-х годах, программы по математике были едиными для всех школ СССР (специализированных школ, классов, факультативных курсов - как системы – тогда не было) и единственным действующим учебником по геометрии был учебник . Напомним, что широкому распространению этого учебника способствовал задачник , ориентированный на этот учебник . Менее известными в учительской среде были учебники более давнего времени – , , Ж. Адамара, Э. Бореля и некоторые другие.

Реформа математического образования к шестидесятым годам прошлого века назрела. Школьный курс математики пришел в явное противоречие с потребностями общества в математических знаниях и умениях. Отчетливо понимая это, преподавательский коллектив школы, при непосредственном руководстве , и разрабатывал первоначальные программы математических курсов в школе при МГУ, ныне – школе им. при МГУ.

Формулируя цели, задачи и основные дидактические принципы преподавания математических курсов в специализированной школе при университете, не только опирался на историю постановки математического образования в нашей стране и за рубежом, с которой он хорошо был знаком, но и постоянно экспериментировал.

“При современном состоянии нашей общеобразовательной школы занятия в первом семестре специализированной математической школы неизбежно в значительной мере состоит в переучивании учащихся, которые должны понять логический стиль современной математики и разобраться в том, что из сложившихся обычаев удовлетворяться более расплывчатыми знаниями должно быть отброшено.

Вместе с тем, этот переход на более современный логический уровень мышления не должен быть слишком резким и не должен привести к отрыву постепенно накапливающихся более отчетливых и формально строго изложенных знаний от уже имеющегося запаса наглядных представлений и навыков решения задач с реальным содержанием”.

Именно так мы и пытаемся работать.

Лекция 1. Теоремы Пифагора и Евклида.

Содержание этой лекции составляет непопулярное сейчас доказательство одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Хотя не так уж и давно, именно такое доказательство содержалось в обязательной части школьных учебников. Конструкция, при помощи которой она доказывается, богата задачным материалом и имеет интересные обобщения. Довольно емкий материал может быть положен в основу исследовательского проекта школьников (см. [4]).

«Пифагоровы штаны на все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать» - так поется в одной шутливой песенке. Эти «штаны» появляются, когда на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам этот рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала», написанного в III веке до н. э., и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора. В англоязычных странах так полученную фигуру часто называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты (существует мнение, что слово “ невеста” появилось из-за того, что переводчик с греческого неправильно истолковал слово “нимфа“). А французы называли ее ослиным мостом.

Эта, пожалуй, самая известная теорема математики имеет множество доказательств. В некоторых странах в средние века, чтобы получить ученое звание магистра, нужно было изобрести свое собственное доказательство этой теоремы. В книге английского педагога Е. Лумиса, например, обсуждаются и классифицируются 370 доказательств теоремы Пифагора.

Доказательство Евклида теоремы Пифагора основано на утверждении о том, что если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной его основанию, то его площадь при этом не изменяется (то есть два треугольника с равными основаниями и равными соответствующими им высотами, являются равновеликими). Здесь уместно сделать одно замечание: в своей первой книге "Начал" все теоремы о площадях (в частности, и теорема Пифагора) формулируются как предложения о равновеликости и для их доказательств формулы для вычисления площадей не используются. Так, например, вместо привычного нам предложения, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равное основание и высоту.

Евклид во второй книге своих "Начал" (предложения 12 и 13; см. [1]) рассмотрел, более общую, чем в теореме Пифагора, ситуацию.

Теорема Евклида. Имеют место следующие два утверждения:

а) квадрат стороны, лежащий против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны;

б) квадрат стороны, лежащий против тупого угла тупоугольного
треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с
удвоенным произведением одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны.

Теорема Пифагора является, конечно, частным случаем теоремы Евклида. В качестве еще одного следствия теоремы Евклида отметим следующее утверждение:

Квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов двух других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.

А отсюда немедленно получается и следующее обобщение обратной теоремы Пифагора:

Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря потому, будет ли квадрат противолежащей этому углу стороны равен, меньше или больше суммы квадратов двух других его сторон.

Литература:

1. Евклид. Начала. (тт. 1-3) // М.-Л.: Гостехиздат, .

2. Теорема Пифагора. // М.: Просвещение, 1960.

3. По следам теоремы Пифагора. - М: Школа имени , 2000.

4. , Пифагоровы штаны. – Журнал «Потенциал», 9(2007).

Лекция 2. Теоремы Пифагора и Паппа

Первая часть лекции посвящена двум различным доказательствам теоремы Пифагора (отличных от доказательства Евклида), которые используют идею равносоставленности многоугольников. С одной стороны, это два других доказательства, а с другой – это методическая заготовка для следующей лекции.

Во второй части лекции рассматривается одно любопытное обобщение теоремы Пифагора, которое получил еще один знаменитый древнегреческий математик Папп Александрийский (2-я пол. III в.).

Теорема Паппа. Пусть ABC- произвольный треугольник и на сторонах АВ и АС во внешнюю сторону построены произвольные параллелограммы АА'B'В и АСС''А" таким образом, чтобы они не накладывались друг на друга. На стороне ВС построим параллелограмм ВВ'"С'"С также во внешнюю сторону, у которого ВВ'" || АР и ВВ'" = АР, где Р - точка пересечения прямых A'B' и А"С". Тогда площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух.

Теорема Пифагора является, конечно, простым частным случаем этой теоремы.

Отметим, что лекции сопровождаются историческими рассказами, а на них приносится основополагающий труд Евклида «Начала», с которым все желающие могут ознакомиться на уроках по геометрии; обычно, мы просто «пускаем ее по рядам».

Литература:

1. Теорема Пифагора. // М.: Просвещение, 1960.

2. По следам теоремы Пифагора. - М: Школа имени , 2000.

3. , . Пифагоровы штаны. - Учебно-методическая газета «Математика», 17(2005).

Лекция 3. Теорема Бойяи – Гервина

(о равносоставленности многоугольников)

Считается, что теорема, о которой идет речь ниже, доказали независимо друг от друга венгерский математик и поэт Фаркаш Бойяи (1832), друг и (годом позже) простой любитель математики Пауль Гервин, который был лейтенантом пехотного полка прусской армии. Доказательство Фаркаша Бойяи (он отец Яноша Бойяи, одного из создателей неевклидовой геометрии) было довольно громоздким, а доказательство П. Гервина довольно элегантным и простым, которое и по сей день излагается в математической литературе.

Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить другой многоугольник.

Теорема Бойяи - Гервина. Два любых многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Если не удается на лекции, то мы знакомим учащихся с одним малоизвестным доказательством теоремы косинусов с использованием метода дополнения, суть которого ( в одном из случаев) ясна из рисунка

Математический практикум: 1.Разрезать два равносторонних треугольника на части, из которых можно сложить один квадрат. Изготовить картонную модель.

2. Возьмите плотный лист бумаги и нарисуйте любые три квадрата. Дважды проделайте описанные на лекции разбиения квадратов на многоугольники. Используя ножницы, вырежьте полученные части и сложите из них квадрат. Интересно, сколько времени вам на это потребуется? Можно предложить сложить из этих готовых частей квадрат школьнику, который не проделывал сам этих разбиений – эффект гарантирован.

Литература:

1. “Равновеликие и равносоставленные фигуры”. Популярные лекции

по математике. Выпуск 22. - М.: Государственное издательство Технико-теоретической литературы.1956.

2. Кордемский Н. В. “Удивительный квадрат”. - М.: Государственное издательство Технико-теоретической литекратуры,1952.

3. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986.

4. , , Разрезание и складывание многоугольников. – Учебно –методическая газета «Математика. 1 сентября», 3(2006).

Лекция 4. Правильные многоугольники на решетках

Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с достаточно интенсивным двусторонним движением), который позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык и наоборот – задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму.

Сначала даются необходимые здесь определения и обсуждается правило параллелограмма: Если три вершины параллелограмма являются узлами некоторой решетки точек, то четвертая его вершина также является узлом этой же решетки.

Теорема. Плоский правильный n-угольник при n = 5 и n > 6 нельзя расположить ни на одной решетки на плоскости ( или в пространстве).

Отдельно выделяется целочисленная решетка точек Z2, на которой никакой правильный многоугольник расположить нельзя, кроме квадрата, а также рассматривается решетка, на которой можно расположить правильные треугольник и шестиугольник, но нельзя расположить никакой другой правильный многоугольник.

Следствие: При любом n >3 число cos(p/n) – иррационально.

Данное следствие ярко демонстрирует геометрические возможности для решения задач теории чисел.

На решетке Z2 рассматриваются также полуправильные многоугольники двух типов: с равными сторонами (равносторонние) и с равными углами (равноугольные).

Теорема. 1. Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z2 можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.

2. Среди всех равносторонних многоугольников на решетке Z2 можно расположить многоугольник с любым четным числом сторон и нельзя расположить ни одного многоугольника с нечетным числом сторон.

Литература:

1. , Решетки и правильные многоугольники. – Журнал «Квант», 12(1974).

2. , , Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.

3. , , Полуправильные многоугольники на решетках.- Журнал «Квант», 6(2007).

Лекция 5. Формула Пика

Формула чешского математика была доказана в 1899 году, но стала широко известной только после публикации прекрасной книги Г. Штейнгауза [1].

Мы доказываем несколько более общую теорему, чтобы подчеркнуть также ее комбинаторный характер и подготовить аудиторию к восприятию следующей лекции.

Напомним, что многоугольник называется простым, если его границей является простая замкнутая непересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две стороны.

Теорема Пика. Следующие три утверждения эквивалентны:

1. Для любого простого многоугольника М на решетке L имеет место формула Пика:

[M] = (Ni + Ne/2 – 1)D(L),

где [M] и D(L)– площади М и фундаментального параллелограмма решетки L, соответственно; Ni – число узлов решетки, расположенных внутри М, а Ne – число узлов решетки, расположенных на границе М.

2. Площадь примитивного треугольника на решетке L равна D(L)/2.

3. В любом разбиении простого многоугольника (расположенного на решетке) на примитивные треугольники для их числа N выполняется равенство:

N = 2Ni + Ne – 2.

Здесь примитивным называется треугольник, все вершины которого являются узлами решетки L и который ни на своей границе, ни внутри не имеет узлов решетки.

Под эквивалентностью здесь понимается то, что каждое из утверждений теоремы может быть получено в качестве следствия из любого другого указанного утверждения.

Из многих имеющихся доказательств (см [4]) мы выбираем то (в пропедевтических целях), в котором широко используется принцип математической индукции.

Вопрос об аналогах этой теоремы в пространстве не затрагивается – см. работу [5].

Лабораторная работа: Найти площадь восьмиугольника, который получается после соединения каждой вершины параллелограмма с серединами «противоположных» ей сторон. Рассматриваются и другие варианты этой задачи, в которых удается построить решетку (которая в задаче не фигурирует), на которых расположены интересующие нас многоугольники.

Литература:

1. Г. Штейнгауз, Математический калейдоскоп, - М.: Наука, 1981.

2. Г. , Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

3. , Избранные лекции по геометрии. – Алматы: Дарын, 2000.

4. , , Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.

5. , Целые точки в многоугольниках и многогранниках. – Журнал «Квант», 4(1977).

Лекция 6. Две знаменитые формулы

Правильная триангуляция простого многоугольника – это такое разбиение его на треугольники, когда любые два треугольника либо имеют общую сторону, либо имеют только одну общую вершину, либо вообще не имеют общих точек.

Пусть многоугольник М правильно триангулирован и число треугольников равно N; через Ni и Ne обозначено, соответственно, число вершин треугольников, находящихся строго внутри М, и число вершин треугольников, находящихся на границе М.

Тогда, если Е – общее число всех сторон треугольников, то для любой правильной триангуляции имеют место два комбинаторных равенства:

3N = 2E – Ne,

E = 3Ni + 2Ne – 3.