Геометрия-10 (стр. 3 )

База индукции. При p + q = 2 имеем p = 1 и q = 1. Тогда треугольник АВС равнобедренный и нужные неравенства очевидны: они следуют из неравенства треугольника.

Шаг индукции. Предположим теперь, что нужные неравенства установлены для p + q = 2, 3, …, k-1, k > 2. Докажем, что неравенства справедливы и для p + q = k.

Пусть АВС данный треугольник АВС, у которого p + q = k > 2. Тогда сторона АС и BС не могут быть равными: пусть АС > ВС. Построим теперь как на рис. 1 равнобедренный треугольник АDС; имеем:

АС = DС и 2АС > АD = АВ + ВD. (1)

Рис.1

Рассмотрим теперь треугольник ВDС, углы которого также соизмеримы:

Ð DСB = (q-p)d, Ð ВDС = рd.

Для этого треугольника выполнено индуктивное предположение и поэтому

или

. (2)

Складывая (1) и (2), имеем:

,

и поэтому

.

Из того же треугольника BDC по предположению индукции заключаем, что

.

Учитывая предыдущее неравенство, отсюда заключаем, что

.

Таким образом, индуктивный переход (при соизмеримых углах α и b) установлен и утверждение задачи следует из принципа математической индукции.

2) Утверждение задачи остается в силе и в том случае, когда углы a и b не являются соизмеримыми. В основе рассмотрения в общем случае уже приходится применять другой важный математический принцип – принцип непрерывности.

Разделим a на р равных частей (так, что a = рd) и определим q из условия

qd < b < (q+1)d.

Рассмотрим теперь треугольник АВC’, углы которого при стороне АВ равны pd и qd. Так как углы при стороне АВ этого треугольника соизмеримы, то по доказанному в п.1) имеем:

и .

Легко видеть, что

и .

Следовательно, при р ® µ (то есть при d®0) отношения p/(p+q) и q/(p+q) имеют пределы и из предыдущих неравенств заключаем, что

и . (3)

Это следует из того, что при р ®µ стороны AC’ и BC’ стремятся к АС и ВС соответственно, что вытекает из неравенств 0 < b - qd < d.

Доказательство того, что (3) знак равенства невозможен, основано на использовании еще раз той же конструкции (рис.3).

Из треугольника BDC имеем:

и

Следовательно,

или

.

Комбинируя с неравенством

,

( которое следует по доказанному выше из треугольника BDC), окончательно получаем

.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть АВ и АС две дуги окружности, не превышающие по длине половину длины окружности. Тогда

.

Следствие 2. Функция

убывает на полуинтервале (0;p/2].

Следствие 3. Периметр вписанного в окружность правильного многоугольника возрастает с увеличением числа его сторон.

Литература:

1. , , Индукция в геометрии. – М.: Физматлит, 1961.

2. Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Наука, 1975.

3. J. V. Uspensky, A case of the use of mathematical induction in geometry. – Amer. Math. Monthly, 34(1934), pp.247-250.

4. , , Принцип математической индукции. – Журнал «Потенциал», 2(2008).

Лекции 13,14. Формулы Архимеда и Гюйгенса

Длина окружности радиуса 1/2 может быть определена как предел последовательности длин периметров pn правильных многоугольников, вписанных в данную окружность при неограниченном увеличении числа его сторон. Определяемое таким образом число обозначается символом p. Аналогично можно определить число p и как предел периметров qn правильных описанных около этой окружности многоугольников. Имеем:

pn < p < qn , n ³ 3.

Когда n возрастает последовательности pn и qn монотонно приближаются к числу p.

В своем знаменитом сочинении «Измерение круга» Архимед (287-212 гг. до н. э.) дал следующее приближение для числа p:

3 < p < 3,

то есть

3, < p < 3,.

Этот результат Архимед получил при помощи вычисления периметров правильных вписанного и описанного многоугольников. Один из последователей Архимеда в этом вопросе Христиан Гюйгенс () в 25-летнем возрасте получил совершенно неожиданный результат: приближение, указанное Архимедом для числа p, можно получить из рассмотрения периметров правильных 12-угольников. Этот результат Гюйгенс опубликовал в своей работе «О квадратуре круга». В основе его идеи лежали новые идеи, получившие в наше время дальнейшее развитие.

Теорема Гюйгенса. При любом n ³3 имеет место неравенство

.

Основу доказательства составляют четыре простых геометрических леммы. Главной из них является следующая: Если в некоторый сегмент круга АСВ вписан равнобедренный треугольник АВС и в точках А и В проведены касательные, пересекающиеся в точке К, то

[Sсегмента] ≤ [ABC];

[F] – площадь фигуры F.

Для доказательства этой леммы приходится апеллировать к интуитивному понятию площади и использовать операцию предельного перехода в геометрически ясной ситуации; подробности см. в [3].

Х. Гюйгенс в своей работе, в частности, использовал следующую приближенную формулу

p » pn + qn,

то есть в качестве приближения для числа p он взял выражение в правой части доказанного им неравенства.

Соответствующие числовые результаты (которые школьники находят при помощи калькуляторов на семинарских занятиях) позволяют экспериментально сравнить эффективности приближенных формул Архимеда и Гюйгенса.

Тематику, связанную с приближенным вычислением числа p, ввел в наши учебные курсы и по его же инициативе был организовано специальное задание математического практикума; активно пропагандировал экспериментальную проверку теоремы Гюйгенса в школе преподаватель математики .

Замечание. В курсе математического анализа мы возвращаемся к неравенствам Гюйгенса еще раз, где основной методической особенностью занятий является возможность с применением производной довольно просто не только доказать теорему Гюйгенса еще раз, но и сравнить «эффективности» приближенных формул Архимеда и Гюйгенса. Более точно, доказываются следующие равенства:

,

,

где

,

C1 , C2 - положительные постоянные.

Литература:

1. , О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт). –М.: Матезис, 1911.(Имеется современное издание).

2. , Христиан Гюйгенс. – М.: Учпедгиз, 1959.

3. , Об одной формуле Христиана Гюйгенса, - Журнал «Квант», 11(1985).

Лекция 15. Задача Дидоны.

Вергилий (полное его имя - Публий Вергилий Марон), один из знаменитых поэтов Древнего Рима воспроизвел в своей "Энеиде" легенду, по-видимому относящуюся к событиям IX века до н. э., и получившую большое распространение. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований, после многих приключений прибыла на берег Африки (ныне - Тунисский залив), где она впоследствии стала основательницей города Карфагена и ее первой легендарной царицей. Дидона начала с того, что купила у туземцев участок земли "не больше, чем можно окружить бычьей шкурой". Затем она разрезала бычью шкуру на узкие полоски, из которых связала длинную веревку и столкнулась с математической задачей: участок земли какой формы нужно окружить веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь? В память об этой истории карфагенская крепость была названа "Бирса", что на языке жителей Карфагена означает "бычья шкура".

Точная математическая постановка этой задачи такова: Среди замкнутых плоских кривых, имеющих данную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Эту задачу называют задачей Дидоны или изопериметрической задачей (Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр). Многие историки считают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной литературе. Вергилий, описывая эту легенду, использовал глагол "circumdare"(окружать), содержащий корень "circus" (круг), что позволяет предположить, что Дидона правильно решила задачу, т. е. что участок нужно было окружить в форме круга.

Часто задачей Дидоны называют также задачу о том, когда нужно "отгородить наибольший участок на берегу моря": Какую кривую данной длины нужно взять, чтобы между этой кривой и данной прямой площадь была максимальной? Однако эта вторая задача является следствием задачи Дидоны для "внутренней части континента". Действительно, отразим симметрично относительно данной прямой исследуемую кривую. Кривая и ее образ вместе ограничивают площадь ровно в два раза большую, чем ограничивает прямая и исходная кривая, максимум которой нам нужно найти. Эта площадь максимальна, когда замкнутая кривая окружность (здесь мы предположили, что это уже доказано), для которой данная прямая является осью симметрии. Следовательно, решение второй задачи Дидоны является полукруг с центром на берегу моря.

Наша основная цель состоит в решении классической изопериметрической задачи, что не является столь простым делом, как это может показаться на первый взгляд.

Теорема (изопериметрическое неравенство). Из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Другими словами, если L – периметр плоской фигуры F, то

L2 - 4p[F] ³ 0,

где [F] – площадь фигуры F; при этом, равенство достигается только в случае круга.

Можно примерно оценить размеры территории, которую по легенде Дидона могла получить у туземцев. Представим себе бычью шкуру в форме прямоугольника размером 1´ 2 м. и разрежем ее на полоски шириной 1мм. вдоль длинной стороны. Тогда легко подсчитать, что получается "веревка" длиной примерно 2км., так что Дидона могла бы в этом случае отгородить, например, прямоугольный участок площади 0,5 км.2 = 500м.´ 1000м.

На упражнениях рассматриваются и другие классические задачи на нахождение экстремумов в планиметрических задачах.

Литература:

1. , Рассказы о максимумах и минимумах. –М.: Наука, 1986.

2. Г. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975.

3. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.

Лекция 16. Инверсия.

Определение преобразования инверсии и установление простейших ее свойств проходит на лекции традиционно (см., например, [1]).

Особое внимание здесь уделено построению при помощи только одного циркуля точки, инверсной данной.

Рассматривается задача о делении пополам отрезка при помощи одного циркуля и общая задача деления отрезка в данном отношении.

Вводится понятие стереографической проекции и рассматриваются образы окружностей на сфере при такой проекции.

Литература:

1. , Инверсия. –М.: Наука, 1966. (Популярные лекции по математике. Вып.44).

2. , Геометрические построения одним циркулем. –М.: Наука, 1989. (Популярные лекции по математике. Вып.29).

3. Г. , , Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.

4. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.

Лекция 17. Круговое свойство инверсии

Устанавливается (чисто геометрическими средствами) ряд основных теорем.

Теорема 1. Инверсия переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя, т. е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.

Теорема 2. Инверсия переводит прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О.

Теорема 3. Инверсия преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О.

Теорема 4. Инверсия преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через точку О.

Математический практикум «Геометрия круга»: Самостоятельно нарисовать фигуру (рисунок), составленную из m отрезков и n дуг окружностей и при помощи одного циркуля построить ее образ при инверсии относительно заданной окружности.

Литература:

1. , Инверсия. –М.: Наука, 1966. (Популярные лекции по математике. Вып.44).

2. , Геометрические построения одним циркулем. –М.: Наука, 1989. (Популярные лекции по математике. Вып.29).

3. Г. , , Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.

4. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.

Лекция 18. Инверсоры Поселье и Гарта

Интерес к шарнирным механизмам, превращающим вращательное движение в прямолинейное не иссякал в течение всей его творческой жизни и возник у него в детстве, когда он занимался конструированием различных механических приборов (Одна нога у него была сведенной, он немного хромал и ходил с палкой и поэтому избегал детских игр и много времени проводил дома). Чебышев за всю свою жизнь сконструировал 40 собственных шарнирных механизмов и более 80 усовершенствовал, написал на эту тему 15 научных статей и здесь стоит подчеркнуть, что на изготовление своих механизмов и их испытания не жалел никаких личных средств. Его главный интерес был сосредоточен на механизмах, преобразующих круговое движение в прямолинейное. Из них особенно замечательно так называемое прямило Чебышева; всего же он изготовил 7 различных систем коленчатых рычагов, которые преобразовывали вращательное движение в приближенно прямолинейное и обратно. Эти простейшие механизмы нашли свое применение в самых разнообразных его конструкциях: параллелограмм Чебышева (одноцилиндровая паровая машина Чебышева), центробежный регулятор, самокатное кресло (дамский велосипед), сортировалка зерна, лодка с гребным механизмом, стопоход или «лошадь Чебышева» и многие другие. Некоторые из этих механизмов участвовали в качестве экспонатов на международных выставках в Лондоне, Чикаго, Филадельфии, Париже, демонстрировались в Петербурге, Москве, Киеве и др. городах России. Нельзя не упомянуть хотя бы, об удививших всех и знаменитом арифмомерте Чебышева для сложения и вычитания, оригинальная конструкция которого содержала особенное устройство для перенесения десятков, где остроумно применялись одни и те же приемы для выполнения различных действий. Арифмомерт демонстрировался на пятой сессии французской ассоциации содействия преуспеванию наук в 1876 году.

Сортировалка Лодка Чебышёва

При разработке одной из конструкций лунохода 30 лет тому назад появилась необходимость использовать некоторые идеи и конструкции Чебышева. Вот что писалось в те дни в газете «Правда»: «Академик толкает настольную модель многозвенного механизма, отдаленно напоминающую лошадиный скелет. И скелет шагает по столу. Это старый классический «стопоход», или «лошадь Чебышева» - предшественник шагающих механизмов. Сегодня создание шагающих механизмов – «педипуляторов» - освещается романтикой покорения неизведанных земель и планет.

- Колесо, - улыбается академик Артоболевский, - слишком долго развивалось в симбиозе с дорогой, чтобы существовать без нее в условиях относительного земного бездорожья, не говоря уже о поверхности чужих планет, где дороги нам вообще не строили. Необходимы стопоходы!»

Удивительно, что сделав собственными руками так много шарнирных механизмов и посвятив их конструкциям много теоретических исследований, сам не заметил инверсоров, которые преобразуют вращательное движение теоретически в точное прямолинейное (инверсор – прибор для преобразования инверсии). На одной из своих лекций в1869 году Чебышев показал, что с помощью четырехзвенного механизма (простейшего параллелограмма, как тогда говорили) этого добиться нельзя и поставил задачу о поиске какого-либо другого механизма. Вскоре один из его слушателей принес схему семизвенного механизма (рис.1; точки О и R закреплены и движению точки P по окружности, проходящей через точку О, соответствует движение точки Q в точности по некоторой прямой) полностью решавшую поставленную задачу. Чебышев был крайне доволен успехом своего ученика и на очередной лекции подчеркнул, что у лектора не может быть большего удовлетворения, чем испытываемое им в подобном случае. Отвлекаясь, заметим, что любая аудитория слушателей его лекций, выступлений на съездах и конференциях для Чебышева всегда имела удивительно притягательную силу и служила источником вдохновения, а само преподавание он очень любил и получал от него удовольствие; по свидетельству профессора , часы, проведенные в аудитории среди слушателей, были лучшими в жизни Чебышева. Итак, Липкин, решил поставленную задачу. Впоследствии, правда выяснилось, что за шесть лет до этого какие-то намеки на этот механизм сделал французский полковник (впоследствии генерал) Поселье, которые остались незамеченными широкой научной общественности. Вся история с обсуждением приоритета открытия инверсора была причиной многодневных дискуссий на сессии французской ассоциации содействия преуспеванию наук в Лионе в 1873 году изложена в [3]. И, на мой взгляд, приоритет принадлежит , хотя сейчас этот инверсор и называют инверсором Поселье. Позднее были придуманы и другие подобные механизмы – на рис. 5 показан инверсор английского математика Г. Гарта (известен еще и инверсор, который называется «клетка А. Кемпе»), в котором закреплены точки A и S и движению точки P по окружности, отвечает движение точки Q по прямой (рис.2).