Геометрия-10 (стр. 5 )

5. Множество точек плоскости, из которых парабола (F,d) видна под прямым углом является директрисой параболы d.

Литература

1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. . –М.: Физматгиз, 1962.

2. , Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.

3. Г. , Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.

4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.

5. , , Прямые и кривые. –М.: МЦНМО, 2002.

Лекция 26. Треугольник Архимеда

Пусть А и В две точки параболы и касательные в этих точках пересекаются в точке S. Треугольник ABS называется треугольником Архимеда.

Теорема Архимеда 1. Пусть Т - точка параболы, в которой касательная параллельна прямой АВ и R – середина хорды АВ. Тогда (в обозначениях предыдущей лекции)

а) Точки R, S, T ,T’ принадлежат медиатрисе (серединному перпендикуляру) отрезка A’B’.

б) Парабола делит медиану треугольника Архимеда на две равные части. (Другими словами, точка Т – середина отрезка SR).

Литература

1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. . –М.: Физматгиз, 1962.

2. , Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.

3. Г. , Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.

4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.

Лекция 27. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента

На лекции доказывается (методом Архимеда) одна из первых теорем математического анализа, намного опередившая его основных создателей Ньютона и Лейбница.

Теорема Архимеда 2. Площадь параболического сегмента, стянутого хордой AB, составляет 2/3 от площади треугольника ABS, где – S точка пересечения касательных к параболе, содержащих точки A и B (рис.1).

Рис.1 Рис.2

Рассматривается любопытная ситуация, когда произвольный треугольник АВС является треугольником Архимеда для трех различных парабол. Для этого через каждые две вершины треугольника проведены параболы, касающиеся двух сторон треугольника (рис.2). Построение точек таких парабол можно произвести циркулем и линейкой, используя основное утверждение теоремы Архимеда из предыдущей лекции. Основная работа по вычислению площадей всех частей на рис.2 проходит на упражнениях; приведем здесь итоги таких рассмотрений.

Теорема (три параболы с общим треугольником Архимеда). В конструкции и обозначениях рисунка 2 имеют место следующие утверждения:

а) Любая пара парабол пересекается в точке, которая принадлежит медиане треугольника АВС и эта точка делит эту медиану в отношении 8:1, считая от вершины треугольника.

б) Три параболы и три медианы треугольника делят треугольник АВС на 18 криволинейных треугольников двух типов: первые имеют две прямолинейные стороны и одну параболическую, а вторые – две параболические стороны и одну прямолинейную.

Все 12 криволинейных треугольников первого типа равновелики и их площадь равна (5/162)[ABC], а 6 треугольников второго типа также равновелики и их площадь равна (17/162)[ABC].

Литература

1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. . –М.: Физматгиз, 1962.

2. , Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.

3. Г. , Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.

4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.

Лекция 28. Геометрия масс

Архимед в своем послании к Эратосфену «О механических теоремах», который очень умело использовал механические соображения писал: «Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет не ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем» –См. [1].

Определение. Центром масс (или барицентром) системы материальных точек

m1A1, m2A2, ... , mnAn (1)

называется точка Z, для которой

(2)

где обозначает вектор с началом Х и концом Y.

Теорема 1. а) Если Z служит центром масс системы материальных точек (1), то для любой точки О пространства

(3)

б) Если хотя бы при одном выборе точки О имеет место равенство (3), то Z – центр масс системы материальных точек (1).

Следствие. Всякая система материальных точек (1) имеет однозначно определенный центр масс Z, определяемый формулой (3).

Теорема 2 (Правило рычага Архимеда). Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющим эти точки: его положение определяется архимедовым правило рычага m1d1 = m2d2.

Теорема 3. Пусть система материальных точек

m1A1, m2A2, ... , mkAk

имеет центр масс в точке С. Тогда система материальных точек

(m1+ m2 + ... + mk)С, mk+1Ak+1, ... , mnAn

и система материальных точек (1) имеют один и тот же центр масс.

На лекции (и как продолжение на семинарских занятиях) рассматриваются следующие примеры применения центра масс:

1) Теоремы о пересечении медиан и биссектрис в треугольнике.

2) Нахождение масс, которые нужно поместить в вершины треугольника, чтобы их центр масс находился в ортоцентре этого треугольника.

Литература:

1. Архимед, Сочинения. –М.: Физматгиз, 1962.

2. , , Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант». Вып.61).

Лекция 29. Момент инерции и формула Лагранжа

Г. Дарбу: «… Две замечательные теоремы, которые со времен Лагранжа были установлены различными геометрами»

Определение (Эйлер). Для системы материальных точек

m1A1, m2A2, ... , mnAn

моментом инерции относительно точки S называется величина

Теорема Лагранжа. Пусть Z – центр тяжести системы материальных точек, S – заданная точка. Тогда

Теорема Якоби. Имеет место равенство

Литература:

1. , , Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант». Вып.61).

Лекция 30. Теорема Эйлера о вписанной и описанной окружностях

Одно из доказательств этой теоремы было получено ранее (на упражнениях) как пример использования преобразования инверсии. Здесь приводится доказательство, основанное на использовании формул Лагранжа и Якоби для системы материальных точек.

Теорема Эйлера. Пусть R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника, а d- расстояние между центрами этих окружностей. Тогда

d2 = R(R-2r) = R2 – 2Rr.

Доказательство. Пусть Z – центр вписанной окружности, который, как известно, совпадает с центром масс системы материальных точек аА, bB,cC треугольника АВС; a,b,c – длины сторон.

Тогда, если О – центр описанной окружности, то

.

По формуле Лагранжа

,

а по формуле Якоби

Таким образом,

Из известных формул легко следует, что

и теорема доказана.

Литература:

1. , , Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант». Вып.61).

Лекция 31. Аффинная плоскость

Определение. Аффинной плоскостью называется произвольное множество П, элементы которого называются «точками», вместе с выделенной системой L подмножеств множества П, называемых «прямыми», если для этой пары (П,L) выполнены следующие три аксиомы (точки обозначаются большими латинскими буквами, а прямые малыми; если, А l то говорят, что «точка А лежит на прямой l» или «прямая l проходит через точку А»):

А1. Любые две различные точки А и В принадлежат одной и только одной прямой.

А2. Для любой прямой l и любой точки P найдется одна и только одна прямая p, параллельная l и проходящая через P. При этом, прямые l и p параллельны, если они либо совпадают, либо не имеют общих точек.

А3. На плоскости имеются три различные точки, не принадлежащие одной прямой.

Прежде, чем получить следствия из аксиом А1, А2, А3, стоит удостовериться, что наши труды не будут напрасными: что эти аксиомы выполняются хотя бы для одной плоскости, или как говорят, что система аксиом А1, А2, А3 совместна. Совместность системы аксиом доказывается построением модели, которая удовлетворяет этой системе. Положим П = {A,D,C.D}; в качестве множества прямых L выберем систему из следующих шести подмножеств П: {A,B}, {B,C},{C,D},{D,A}, {A,C}, {B,D}. Эта плоскость схематично изображена на рис.1. Итак, система аксиом А1, А2, А3 совместна.

Рис.1

Другое важное наших аксиом – независимость, то есть невозможность вывести ни одну аксиому из двух других. Независимость аксиомы доказывается построением модели, в которой эта аксиома не выполнена, а остальные – выполнены. Приведем такие модели для каждой из трех аксиом (см. рис.2).

Рис.2

Отметим, что независимость вовсе не является обязательным условием на систему аксиом – стремление к ней вызвано, скорее, соображениями эстетики. Например, аксиомы школьной геометрии образуют зависимую систему.

Систему аксиом обычно рассматривают еще с точки зрения ее полноты: полной называется такая система, к которой нельзя присоединить утверждение, не противоречащее ей и независимое от нее. В нашем случае такие утверждения существуют (например, что аффинная плоскость «состоит из четырех точек»; другой пример – теорема Паппа, о которой речь пойдет позже). Таким образом, система А1, А2, А3 не полна.

Тематику, связанную с аффинными плоскостями впервые ввел в нашу школу , который в своих лекциях доходил до довольно тонких и трудных вопросов в аксиоматических построениях геометрии.

На лекциях рассматриваются некоторые модели различных аффинных плоскостей.

Более подробно рассматривается пример Гильберта аффинной плоскости. В этой плоскости точками являются точки обычной плоскости. Множество же прямых (которое мы постулируем) состоит из прямых четырех типов. В него входят все вертикальные прямые х = а, все горизонтальные прямые у = b и все прямые с уравнением у = kx + b, k < 0. Кроме этих семейств, имеется семейство ломаных (рис.3) с изломом на оси Ох, причем tgb / tg a = 2 и 0 < a < p/2; в верхней половине плоскости прямая имеет уравнение у = kх + b, но при k > 0.

Рис.5

Легко проверить, что для такая пара множеств <П,L> является аффинной плоскостью.

На лекции доказывается, что в аффинной плоскости Гильберта теорема Паппа доказана быть не может. (Желающим было предложено самостоятельно убедиться, что плоскость Гильберта является и недезарговой плоскостью).

Литература:

1. Д. Гильберт, основания геометрии. –М.-Л., Гостехиздат, 1948.

2. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

3. Р. Курант, Г. Роббинс, Что Такое математика?. – М.: МЦНМО, 2001.

4. , , Уроки в цветущем саду. – Журнал «Потенциал», 5(2007), 12-18.

Программа экзамена по геометрии

(2008 год; 10 А, Г классы)

1. Теоремы Пифагора и Евклида.

2. Теорема Паппа.

3. Теоремы синусов и косинусов для треугольника.

4. Теорема Евклида о трех параллелограммах.

5. Две теоремы «о бабочках» для четырехугольника.

6. Косоугольная шахматная доска и основные свойства площадей ее клеток.

7. Лемма Архимеда о ломаной в окружности.

8. Формула Архимеда-Герона для площади треугольника.

9. Теорема Рота о сравнении площадей треугольников.

10. Теорема Бойяи – Гервина о равносоставленности многоугольников.

11. Формула Пика.

12. Правильные паркеты на плоскости.

13. Задача Дидоны и основное изопериметрическое неравенство.

14. Принцип математической индукции и задача Успенского.

15. Принцип включения-исключения и его применения.

16. Принцип Дирихле в геометрии и его применения.

17. Инверсия. Деление отрезка в данном отношении при помощи одного циркуля.

18. Круговое свойство инверсии.

19. Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике.

20. Задача Апполония о касающихся окружностях.

21. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

22. Теорема о пересечении высот треугольника и его ортоцентрический треугольник.

23. Прямая Эйлера и теорема о расположении на ней трех замечательных точек треугольника.

24. Теорема Паппа.

25. Пример Гильберта недезарговой плоскости.

26. Построения при помощи линейки и основные задачи Штейнера.

27. Парабола и касательной к ней, проходящая через заданную точку плоскости.

28. Треугольник Архимеда и теорема о делении параболой его медианы.

29. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента.

30. Центр масс материальной системы точек и его основные свойства.

31. Момент инерции и формула Лагранжа.

Билеты для экзамена по геометрии

(10 АГ классы, 2007/08 уч. год)

Билет 1

1. Теорема Евклида о площади квадрата, построенного на стороне треугольника.

2. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной 2√2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Билет 2

1. Теорема Евклида о трех параллелограммах.

2. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Доказать, что радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей равен 1.

Билет 3

1. Теорема Вариньона и две теоремы «о бабочках» для четырехугольника.

2. Докажите, что в любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше удвоенного радиуса вписанной окружности, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Билет 4

1. Теорема о «косоугольной шахматной доске».

2. В четырехугольнике АВСД точки M и N – середины сторон АВ и СД соответственно, причем АВ = a, BC = b, CД = с, AN = CM. Найти АД.

Билет 5

1. Лемма Архимеда о ломаной в окружности.

2. Вершины треугольника являются узлами клетчатой бумаги и на его сторонах нет других ее узлов. Докажите, что если такой треугольник внутри себя содержит ровно один узел клетчатой бумаги, то он является центром тяжести (точкой пересечения медиан) этого треугольника.

Билет 6

1. Формула Архимеда-Герона для площади треугольника.

2. Окружность, проходящая через вершины В, С и Д параллелограмма АВСД, касается прямой АД и пересекает прямую АВ в точках В и Е. Найти длину отрезка АЕ, если АД = 4 и СЕ = 5.

Билет 7

1. Теорема Рота о сравнении площадей треугольников.

2. На каждой стороне выпуклого четырехугольника, как на диаметре, построен круг. Докажите, что эти четыре круга полностью покрывают четырехугольник.

Билет 8

1. Теорема Бойяи – Гервина о равносоставленности многоугольников.

2. В треугольнике АВС проведена медиана АД, при этом АД:ВС=7:15. Остроугольный или тупоугольный этот треугольник?

Билет 9

1. Формула Пика.

2. Докажите, что в любом треугольнике ABC

.

Билет 10

1. Правильные паркеты на плоскости.

2. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты AD и CE. Периметры треугольников АВС и BDE равны 15 и 9 соответственно. Длина стороны АВ равна 24/5. Найти радиус окружности, описанной около треугольника BDE.

Билет 11

1. Задача Дидоны и основное изопериметрическое неравенство.

2. Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого последовательно равны 1 -7а, 7 – 6а, 5 – 3а, 14а +5?

Билет 12

1. Принцип математической индукции и задача Успенского.

2. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D такая, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найти АD, если АС = 9, ВС = 12 и СD = 6.

Билет 13

1. Инверсия. Деление отрезка в данном отношении при помощи одного циркуля.

2. Пусть a, b, c, d длины последовательных сторон четырехугольника АВСD; e и f длины его диагоналей, а m, n - длины средних линий. Докажите, что

а) [ABCD] £ (1/4)(e2 + f2);

b) [ABCD] £ (1/2)(m2 + n2):

c) [ABCD] £ (1/4)(a + c)(b + d).

Билет 14

1. Круговое свойство инверсии.

2. Найти длины медианы, биссектрисы и высоты треугольника с длинами сторон a, b и c.

Билет 15

1. Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике.

2. Докажите, что высоты AP, BQ и CR остроугольного треугольника ABC являются биссектрисами углов треугольника PQR.

Билет 16

1. Задача Апполония о касающихся окружностях.

2. Точка Р расположена внутри квадрата АВСД, причем углы РАВ и РВА равны 150. Доказать, что треугольник ДРС –равносторонний.

Билет 17

1. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

2. Восстановите квадрат по четырем точкам, лежащих на его сторонах.

Билет 18

1. Прямая Эйлера и теорема о расположении на ней трех замечательных точек треугольника.

2. В комнате площадью 6м2 постелили 3 ковра произвольной формы площадью 3м2 каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1м2.

Билет 19.

1. Проективная теорема Паппа.

2. Каждая из вершин правильного треугольника со стороной а является центром круга радиуса а. Найдите площадь общей части трех кругов.

Билет 20

1. Построения при помощи линейки и основные задачи Штейнера.

2. В треугольнике АВС длины всех сторон – целые числа, причем длины сторон АВ и ВС – простые; величина угла В равна 1200. Найдите длину стороны АС.

Билет 21

1. Парабола и касательной к ней, проходящая через заданную точку плоскости.

2. Как разрезать правильный треугольник на части, из которых можно сложить квадрат?

Билет 22

1. Треугольник Архимеда и теорема о делении параболой его медианы.

2. Постройте образ квадрата, описанного вокруг окружности инверсии.

Билет 23

1. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента.

2. При помощи одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

Билет24

1. Момент инерции и формула Лагранжа.

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины

диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC. Найдите величину угла, образованного продолжением сторон AB и CD.

Валерий Васильевич ВАВИЛОВ

Геометрия-10 (тезисы лекций)

Школа имени академика

Специализированный учебно-научный центр

Московского государственного университета имени

Кафедра математики

127357 Москва,

тел./факс: (0, тел.[phone]

электронный адрес:

*****@***ru