Комп’ютерна алгебра (стр. 16 )

Варіант 6.
Відомо, що при парному n>4 знакозмінна група An породжується двома підстановками:
(1 2)(n-1 n) іn-1). Перевірити це твердження для всіх n, що не перевершують 10.

Варіант 7.
Перевірити, чи виконується в групі підстановок S3 тотожність x6=1.

Варіант 8.
Перевірити, що знакозмінна група A5 породжується підстановкамиі

Варіант 9.
Перевірити, чи виконується в групі підстановок S3 тотожність (x2,y2)=1, де (а, b) = a-1b-1ab

Варіант 10.
Відомо, що при непарному n>5 знакозмінна група An породжується двома підстановками:
(1 n)(2 n-1) іn-2). Перевірити це твердження для всіх n, що не перевершують 10.

Варіант 11.
Перевірити що група підстановок Sn породжується транспозицієюі цикломn), для всіх n, що не перевершують 10.

Варіант 12.
Розробити функцію, яка повертає безліч порядків класів зв'язаних елементів заданої групи.
Вказівка: використовувати функцію Conjugacyclasses

Варіант 13.
Розробити функцію, яка для заданої кінцевої групи визначає безліч індексів циклічних підгруп, що породжуються її елементами.

Варіант 14.
Розробити функцію, що друкує для заданого натурального n таблицю Келі для симетричної групи Sn.

Варіант 15.
Розробити функцію, яка обчислює підгрупу заданої p-группы, породжену р-ми ступенями її елементів.

Варіант 16.
Розробити функцію, яка обчислює підгрупу заданої p-группы, породжену всіма її елементами порядку р.

Варіант 17.
Розробити функцію для обчислення показника (експоненти) кінцевої групи як найменшого загального кратного порядків представників класів зв'язаних елементів даної групи.
Вказівка: використовувати функцію Conjugacyclasses

Варіант 18.
Розробити функцію для обчислення кількості елементів кожного порядку в заданій групі.

Лабораторна робота № 9.
Вивчення властивостей підгруп групи.

Дана лабораторна робота призначена для вивчення роботи з підгрупами.

Докладні відомості по даних темах містяться:
- в розділі "Операції над групами і їх елементами" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\4-groups. htm> і Додатку B <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\b-funct. htm> (деякі функції GAP для роботи з групами) даної методичної допомоги;
- в розділі "Groups" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> і інших відповідних його розділах.

Приклад. У яких Силовських 2-подгруппах групи S4 містяться підстановки,і (12)(34) ?

Дану задачу можна вирішити в інтерактивному режимі таким чином. Спочатку задамо початкову групу:
gap> S := Symmetricgroup(4);
Sym( [ 1 .. 4 ] )

Обчислимо її Силовські 2-підгруппи. Оскільки по другій теоремі Силова всі Силовські р-подгрупы зв'язані, то функція Sylowsubgroup повертає тільки одну підгрупу, яка є представником деякого класу зв'язаних підгруп.

gap> P2 := Sylowsubgroup( S, 2 );
Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ])

Для того, щоб отримати решту підгруп з цього класу, спочатку потрібно створити клас зв'язаних підгруп даної групи із заданим представником, а потім отримати список підгруп, що містяться в нім:
gap> c2 := Conjugacyclasssubgroups( S, P2 );
Group( [ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ] )^G
gap> l2 := Aslist( c2 );
[ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ]), Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ]),
Group([ (1,4), (2,3), (1,2)(3,4) ])]

Тепер ми можемо отримати з нього списки підгруп, які містять вказані підстановки:
gap> Filtered( l2, g -> (1,3,2,4) in g );
[ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ])]
gap> Filtered( l2, g -> (1,3) in g );
[ Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ])]
gap> Filtered( l2, g -> (1,2)(3,4) in g );
[ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ]), Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ]),
Group([ (1,4), (2,3), (1,2)(3,4) ])]

Завдання для лабораторної роботи № 9.

Варіант 1.
Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків всіх її підгруп, отриману як безліч порядків представників її класів зв'язаних підгруп.
Вказівка: використовувати функції Conjugacyclassessubgroups, Representative.
Варіант 2. Розробити функцію, яка для заданої групи повертає список простих дільників порядку групи з вказівкою порядку і кількості відповідних р-подгрупп Силовських.
Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup, Conjugacyclasssubgroups.
Варіант 3.
Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків її максимальних підгруп.
Вказівка: використовувати функції Size, Maximalsubgroups
Варіант 4.
Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків її нормальних підгруп.
Вказівка: використовувати функції Size, Normalsubgroups
Варіант 5.
Розробити функцію, яка для заданої групи визначає список порядків чинників її нижнього центрального ряду.
Вказівка: використовувати функції Size, Lowercentralseries
Варіант 6.
На прикладі знакозмінної групи A4 показати, що нормальна підгрупа K нормальної підгрупи H групи G не обов'язково є нормальною у всій групі G.
Вказівка: використовувати функції Normalsubgroups, Isnormal.
Варіант 7.
Знайти всі підгрупи в циклічній групі близько 360. Перевірити, що вони утворюють ланцюг підгруп.
Вказівка: використовувати функції Normalsubgroups, Issubgroup
Варіант 8.
Перевірити, що групи S3, A4, S4 є вирішуваними.
Вказівка: використовувати функцію Derivedsubgroup.
Варіант 9.
Скласти функцію, яка для заданої групи обчислює підгрупу Фраттіні, тобто перетин всіх її максимальних підгруп.
Вказівка: використовувати функції Intersection, Maximalsubgroups
Варіант 10.
Скільки різних силовських р-подгрупп міститься в групі A5 для р = 2, 3, 5 ?
Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup.
Варіант 11.
Розробити функцію, яка для для заданої групи повертає список представників класів зв'язаності її Силовських р-подгрупп.
Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup.
Варіант 12.
Розробити функцію, яка для заданої групи визначає порядок її фактор-группи по коммутанту.
Вказівка: використовувати функції Size і Derivedsubgroup
Варіант 13.
Перевірити, що знакозмінна група A5 є простою, тобто не містить нетривіальних нормальних підгруп.
Вказівка: використовувати функцію Normalsubgroups
Варіант 14.
Перевірити, що підгрупа групи S7, породжена підстановкамиі, не є вирішуваною.
Вказівка: використовувати функцію Derivedsubgroup.
Варіант 15.
Розробити функцію, яка для заданої групи визначає список показників (експонент) елементів її нижнього центрального ряду.
Вказівка: використовувати функції Exponent, Lowercentralseries

Варіант 16.
Скласти функцію, яка для заданої групи обчислює список порядків елементів її нижнього центрального ряду.
Вказівка: використовувати функції Size, Lowercentralseries
Варіант 17.
Скласти функцію, яка для заданої групи визначає безліч індексів її максимальних підгруп.
Вказівка: використовувати функції Index, Maximalsubgroups
Варіант 18.
Знайти всі силовськие р-подгруппы в групах S3, A4.
Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup.

Лабораторна робота № 10.
Робота з бібліотекою кінцевих груп

Дана лабораторна робота призначена для вивчення роботи з бібліотекою кінцевих груп системи GAP. Необхідно спочатку вибрати групи з бібліотеки по вказаному критерію (порядок групи у поєднанні з деякою властивістю), а потім для кожної з цих груп визначити вказану властивість, і вивести результати на екран у вигляді таблиці з вказівкою номера відповідної групи в бібліотеці кінцевих груп системи GAP.

Докладні відомості по даних темах містяться:
- в розділі "Бібліотеки груп в системі GAP" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> учбових матеріалів до курсу алгебри і теорії чисел;
- в розділі "Group libraries" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm>.
Завдання для лабораторної роботи № 10.

Варіант 1.
Вибрати все нециклічні 2-группи близько 32. Визначити їх кількість. Кожну з них ідентифікувати за допомогою функції Groupid і обчислити її клас нільпотентності за допомогою функції Lowercentralseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 2.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 32. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її центру. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 3.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 32. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid, обчислити і ідентифікувати її чинник-групу по коммутанту. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 4.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 32. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її коммутанта. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 5.
Вибрати все 2-группи близько 32, порядок коммутанта яких рівний 8. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну за допомогою функції Groupid і обчислити довжину її ряду коммутантов за допомогою функції Derivedseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 6.
Вибрати все нециклічні 3-группи близько 27. Визначити їх кількість. Кожну з них ідентифікувати за допомогою функції Groupid і обчислити її клас нільпотентності за допомогою функції Lowercentralseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 7.
Вибрати все неабельови 3-группи близько 27. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її центру. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 8.
Вибрати все неабельови 3-группи близько 27. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid, обчислити і ідентифікувати її чинник-групу по коммутанту. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 9.
Вибрати все неабельови 3-группи близько 27. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її коммутанта. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 10.
Вибрати все 3-группи близько 81 з коммутантом близько 9. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити довжину її ряду коммутантов за допомогою функції Derivedseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 11.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 32. Визначити їх кількість. Кожну з них ідентифікувати за допомогою функції Groupid і обчислити її клас нільпотентності за допомогою функції Lowercentralseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 12.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 64. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її центру. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 13.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 64. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid, обчислити і ідентифікувати її чинник-групу по коммутанту. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 14.
Вибрати все неабельови 2-группи близько 64. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її коммутанта. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 15.
Вибрати все 2-группи близько 64, порядок коммутанта яких рівний 8. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну за допомогою функції Groupid і обчислити довжину її ряду коммутантов за допомогою функції Derivedseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 16.
Вибрати все нециклічні 3-группи близько 81. Визначити їх кількість. Кожну з них ідентифікувати за допомогою функції Groupid і обчислити її клас нільпотентності за допомогою функції Lowercentralseries. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 17.
Вибрати все неабельови 3-группи близько 81. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid і обчислити порядок її центру. Результат вивести у вигляді таблиці.

Варіант 18.
Вибрати все неабельови 3-группи близько 81. Визначити їх кількість. Ідентифікувати кожну з них за допомогою функції Groupid, обчислити і ідентифікувати її чинник-групу по коммутанту. Результат вивести у вигляді таблиці.

Додаткові завдання

1. Розробити функцію для обчислення n!! = n * (n-2) * (n-4) * . * 1.

2. Розробити функцію для обчислення n-го числа Фібоначчі, де f(1)= f(2)= 1, f(n)= f(n-1)+ f(n-2).

3. Розробити функцію для перевірки того, парно або непарне задане натуральне число.
4. Розробити функцію для перевірки того, чи ділиться задане натуральне число на три. 5. Розробити функцію для перевірки того, чи порівнянні два цілі числа по заданому модулю.

6. Розробити функцію для обчислення суми непарних натуральних чисел, що не перевершують задане натуральне число.

7. Розробити функцію для обчислення твору непарних натуральних чисел, що не перевершують задане натуральне число.

8. Розробити функцію для обчислення суми парних натуральних чисел, що не перевершують задане натуральне число.

9. Розробити функцію для обчислення твору парних натуральних чисел, що не перевершують задане натуральне число.

10. Розробити власну функцію для перевірки того, що задане натуральне число є простим за допомогою одного з відомих методів.

11. Розробити функцію для обчислення НОД двох натуральних чисел а і b по алгоритму Евкліда:

а = b * q1 + r1,
b = r1 * q2 + r2,
r1 = r2 * q3 + r3
.,
rn-2 = rn-1 * qn + rn,
rn-1 = rn * qn

12. Розробити функцію для визначення твору всіх простих дільників натурального числа.
Вказівка: використовувати функції Factors, Set, Product

13. Розробити функцію для визначення суми натуральних дільників натурального числа.
Вказівка: використовувати функції Factors і Collected

14. Розробити функцію для визначення кількості натуральних дільників натурального числа.
Вказівка: використовувати функції Factors і Collected

15. Розробити функцію для обчислення для натурального n = p1^k1 * . * ps^ks функції Ейлера phi(n) по формулі phi(n)= n * (1-1/p1) * . * (1-1/ps).
Вказівка: використовувати функції Factors і Collected 16. Відома гіпотеза про те, що будь-яке парне число n, більше чим 2, можна представити у вигляді суми двох простих чисел. Перевірте її для всіх парних чисел n, що не перевищують 10000.

17. Гіпотеза Гольдбаха питає, чи вірне те, що будь-яке непарне число n, n>5, можна представити у вигляді суми трьох простих чисел. Перевірте її для всіх непарних чисел n, що не перевищують 1000.

18. Хай t - довільне натуральне число. Розглянемо послідовність {ni}, в якій n1 = t, а решта елементів визначається рекурсивно:
nk+1 = nk / 2, якщо nk - парне
nk+1 = 3 * nk + 1, якщо nk непарне.
Відома так звана гіпотеза "3k+1", згідно якої така послідовність досягає одиниці для будь-якого початкового t. Перевірте її для всіх натуральних чисел t, що не перевищують 10000. У виведення результатів включите кількість кроків, які потрібні для досягнення одиниці.

19. Натуральне число n називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх власних дільників. Наприклад, 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Знайдіть всі досконалі числа, що не перевищують 10000.

20. Натуральні числа m і n називаються дружніми, якщо кожне з них дорівнює сумі всіх власних дільників іншого. Наприклад, такими є числа 220 і 284. З'ясуєте, чи існують інші пари дружніх чисел, що не перевищують 1000.

21. Хай t - довільне натуральне число. Розглянемо послідовність {ni}, в якій n1 = t, а решта елементів визначається рекурсивно: nk+1 дорівнює сумі всіх власних дільників числа nk. Досліджуйте поведінку цієї послідовності для всіх натуральних чисел t, що не перевищують 1000: коли вона досягає одиниці, стабілізується, зациклюється; коли можна висунути гіпотезу про те, що вона необмежено зростає

Руслан Миколайович Літнарович

кандидат технічних наук, доцент

Юрій Георгієвич Лотюк,

кандидат педагогічних наук, доцент

КОМП’ЮТЕРНА АЛГЕБРА

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МІЖНАРОДНИЙ ЕКОНОМІКО-ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  ІМЕНІ АКАДЕМІКА СТЕПАНА ДЕМ’ЯНЧУКА

ФАКУЛЬТЕТ КІБЕРНЕТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Комп’ютерний набір, верстка, редагування

і макетування та дизайн в редакторі

Microsoft ® Offise ® Word 2003

Р. М.Літнарович,

33027 Рівне, Україна

Вул..С. Дем’янчука, 4, корпус 1

Телефон : (+003– 73 – 09

Факс :(+003– 01 – 86  E-mail:[e-mail]