Комп’ютерна алгебра (стр. 9 )

Не дивлячись на відсутність зв'язку між ім'ям і ідентифікатором, їх бажано вибирати погоджено.

4.3 Прості властивості групи. Силовськие підгрупи.

Вивчимо групу a8. Вона є об'єктом, список відомих властивостей і атрибутів якого можна отримати таким чином:

gap> Knownpropertiesofobject(a8);
[ "Isfinite", "Caneasilycompareelements", "Caneasilysortelements",
"Isduplicatefree", "Isgeneratorsofmagmawithinverses", "Isassociative",
"Isfinitelygeneratedgroup", "Issubsetlocallyfinitegroup",
"Knowshowtodecompose", "Ischaintypegroup", "Isstabchainviachainsubgroup" ]
gap> Knownattributesofobject(a8);
[ "Name", "Oneimmutable", "Largestmovedpoint", "Parentattr",
"Generatorsofmagmawithinverses", "Multiplicativeneutralelement",
"Stabchainmutable", "Stabchainoptions" ]

Цей список може розширюватися в процесі роботи з об'єктом, оскільки багато функцій зберігають інформацію про нього в нових атрибутах і властивостях, що дозволяє ефективно уникати повторних обчислень.

Наприклад, знайдемо порядок групи. Видно, що швидкість його повторного визначення істотно нижча, оскільки замість його обчислення просто виводиться на друк його вже збережене значення.

gap> Size( a8 );
20160
gap> time;
63
gap> Size( a8 );
20160
gap> time;
4

Тепер перевіримо, чи є група абельовой і досконалою:

gap> Isabelian( a8 ); Isperfect( a8 );
false
true

Порівняємо тепер список відомих властивостей і атрибутів з первинним і побачимо, що додалися до них нові:

gap> Knownpropertiesofobject(a8);
[ "Isempty", "Istrivial", "Isnontrivial", "Isfinite",
"Caneasilycompareelements", "Caneasilysortelements", "Isduplicatefree",
"Isgeneratorsofmagmawithinverses", "Isassociative", "Iscommutative",
"Isfinitelygeneratedgroup", "Issubsetlocallyfinitegroup",
"Knowshowtodecompose", "Isperfectgroup", "Ischaintypegroup",
"Isstabchainviachainsubgroup" ]
gap> Knownattributesofobject(a8);
[ "Name", "Size", "Oneimmutable", "Largestmovedpoint", "Parentattr",
"Generatorsofmagmawithinverses", "Trivialsubmagmawithone",
"Multiplicativeneutralelement", "Derivedsubgroup", "Stabchainmutable",
"Stabchainoptions" ]

Тепер отримаємо список простих дільників порядку групи:

gap> Set( Factors( Size( a8 )));
[ 2, 3, 5, 7 ]

Для кожного з простих дільників p обчислимо силовськую p-подгруппу і надрукуємо її порядок:

gap> for p in last do
> Print(p " - ", Size(Sylowsubgroup(a8,p)),"\n");
> od;
2 - 64
3 - 9
5 - 5
7 - 7

Досліджуємо силовськую 2-подгруппу. Позначимо її syl2:

gap> syl2:=sylowsubgroup(a8,2);
Group([ (1,8)(5,7), (2,6)(5,7), (3,4)(5,7), (3,5)(4,7), (1,2)(6,8),
(1,3)(2,5)(4,8)(6,7) ])

Тепер обчислимо її нормалізатор в a8:

gap> Normalizer( a8, syl2 );
Group([ (1,8)(3,4), (2,6)(3,4), (3,4)(5,7), (3,7)(4,5), (1,6)(2,8),
(1,7)(2,4)(3,6)(5,8) ])

Перевіримо, що він збігається з нею самою:

gap> last = syl2;
true

Обчислимо центр підгрупи syl2:

gap> Centre(syl2);
Group([ (1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ])

Знайдемо централізатор cent останньої підгрупи в a8, тобто підгрупу елементів а8, перестановочних з кожним елементом центру групи syl2:

gap> cent:= Centralizer( a8, last );
Group([ (3,4)(5,7), (3,5)(4,7), (2,3)(4,6), (1,2)(6,8) ])

Знайдемо його порядок:

gap> Size( cent );
192

Обчислимо ряд коммутантов cent:

gap> Derivedseries(cent);
[ Group([ (3,5)(4,7), (2,5,3)(4,6,7), (1,3)(2,5)(4,8)(6,7),
(1,2)(3,5)(4,7)(6,8), (3,4)(5,7), (2,6)(3,4), (1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ]),
Group([ (2,5,3)(4,6,7), (1,3)(2,5)(4,8)(6,7), (1,2)(3,5)(4,7)(6,8),
(3,4)(5,7), (2,6)(3,4), (1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ]),
Group([ (1,3)(2,5)(4,8)(6,7), (1,2)(3,5)(4,7)(6,8), (3,4)(5,7), (2,6)(3,4),
(1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ]), Group([ (1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ]), Group(())]

Останній елемент отриманого списку - тривіальна підгрупа, тому cent - вирішувана група.

Порядки підгруп, що входять в ряд коммутантов (похідний ряд) зручно отримати таким чином:

gap> List( last, Size );
[ 192, 96, 32, 2, 1 ]

Обчислимо тепер нижній центральний ряд групи cent:

gap> Lowercentralseries(cent);
[ Group([ (3,4)(5,7), (3,5)(4,7), (2,3)(4,6), (1,2)(6,8) ]),
Group([ (2,5,3)(4,6,7), (1,3)(2,5)(4,8)(6,7), (1,2)(3,5)(4,7)(6,8),
(3,4)(5,7), (2,6)(3,4), (1,8)(2,6)(3,4)(5,7) ])]

4.4 Інші види підгруп

Тепер покажемо, як знайти стабілізатор деякого елементу множини, на якій діє група підстановок. Як видно з наступного прикладу, стабілізатором одиниці є підгрупа близько 2520 і індексу 8, породжена п'ятьма підстановками:

gap> stab:= Stabilizer( a8, 1 );
Group([ (2,4,3), (3,5,4), (3,4)(5,6), (2,7,5,4,3), (2,8,6,5,4) ])
gap> Size(stab);
2520
gap> Index(a8,stab);
8

За допомогою функції Random отримаємо випадковий елемент з a8:

gap> x:=random( a8 );
(1,5,8,2,4)(3,6,7)

Нові підгрупи можуть бути тепер отримані шляхом пошуку його централізатора, а потім комбінацій сполучення і перетину вже відомих підгруп.

gap> x:=random(a8);
(1,5,8,2,4)(3,6,7)
gap> cent:=centralizer(a8,x);
Group([ (3,6,7), (1,2,5,4,8) ])
gap> Size(cent);
15
gap> conj:= Conjugatesubgroup( cent (2,3,4) );
Group([ (4,6,7), (1,3,5,2,8) ])
gap> inter:= Intersection( cent, conj );
Group(())

У наступному прикладі ми обчислимо підгрупу групи a8, потім її нормалізатор і у результаті визначимо структуру факторгруппи. Спочатку створимо елементарну абельову підгрупу близько 8:

gap> elab := Group( (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8),
> (1,5)(2,6)(3,7)(4,8) );;
gap> Size( elab );
8
gap> Iselementaryabelian( elab );
true

Тепер привласнимо їй ім'я і обчислимо її нормалізатор:

gap> Setname( elab, "2^3" ); elab;
2^3
gap> norm := Normalizer( a8, elab );; Size( norm );
1344

4.5 Факторгруппи

Тепер ми маємо підгрупу norm близько 1344 і її підгрупу elab, і бажаний побудувати факторгруппу. Оскільки ми також жедаєм знайти прообрази елементів факторгруппи в norm, нам також знадобиться природний гомоморфізм з norm у факторгруппу з ядром elab.

gap> hom := Naturalhomomorphismbynormalsubgroup( norm, elab );
<action epimorphism>
gap> f := Image( hom );
Group([ (), (), (), (4,5)(6,7), (4,6)(5,7), (2,3)(6,7), (2,4)(3,5),
(1,2)(5,6) ])
gap> Size( f );
168

Отримана факторгруппа f також є групою підстановок. Проте множина, на якій вона діє, не має нічого спільного з множиною крапок, на якому діє norm (це просто збіг, що обидві множини є підмножинами безлічі натуральних чисел). Тепер ми можемо знайти образи і прообрази щодо природного гомоморфізму. Безліч прообразів елементу є суміжним класом по підгрупі elab. Ми використовуємо функцію Preimages, оскільки hom не є взаємно однозначним відображенням.