Комп’ютерна алгебра (стр. 8 )

3.11 Подальші операції із списками

Існує зручніший спосіб множення елементів списку з чисел або підстановок.

gap> Product([1..15]);

gap> Product(pp);
(1,8,4,2,3,6,5)

Аналогічним чином працює функція Sum.

Приклад 1:

Аргументами функції List є список і ім'я функції. В результаті будуть створений список значень заданої функції на елементах заданого списку. Наприклад, для знаходження куба числа раніше була визначена функція cubed. Складемо з її допомогою список кубів чисел від 2 до 10.

gap> List([2..10], cubed);
[ 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 ]

Щоб скласти всі ці величини, ми можемо застосувати функцію Sum до останнього списку. Це ж можна зробити, використовуючи функцію cubed як додатковий аргумент функції Sum:

gap> Sum(last)= Sum([2..10], cubed);
true

Приклад 2: отримання списку простих чисел, менших 30, із списку primes за допомогою функції Filtered:

gap> Filtered(primes, x-> x < 30);
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ]

Приклад 3: оператор { } витягує частину списку, визначувану номерами початкового і кінцевого елементів
списку:

gap> primes{ [1 .. 10] };
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ]

3.12 Функції

Раніше було показано, як звернутися до бібліотечних, тобто стандартним функціям GAP. Даний розділ присвячений розробці нових функцій.

Приклад 1: задати просту функцію, яка друкує на екрані текст "hello, world.".

gap> sayhello:= function()
> Print("hello, world.\n");
> end;
function end

При цьому додавання до рядка виведення символів "\n" приведе до того, що наступне запрошення GAP з'явиться на новому рядку, а не безпосередньо після надрукованого тексту.

Визначення функції починається з ключового слова function, після якого в дужках указуються формальні параметри. Дужки необхідні і в тому випадку, якщо параметри відсутні. Слід звернути увагу на відсутність крапки з комою після першої команди. Визначення функції завершується ключовим словом end.

Функція після її визначення є такій же змінній, як і цілі числа, суми і списки, і може бути привласнена іншій змінній. Завершуючий знак ";" у приведеному прикладі не належить до визначення функції, а завершує її привласнення імені sayhello. Після цього, на відміну від інших привласнень, значення функції sayhello відображається в скороченій формі function end, що відображає тільки її формальні параметри, як найцікавішу частину.

Повного значення sayhello може бути набуте за допомогою функції Print:

gap> Print(sayhello, "\n");
function ( )
Print( "hello, world.\n" );
return;
end

Звернення до даної функції відбудеться по команді sayhello():

gap> sayhello();
hello, world

Проте даний приклад не є типовим, оскільки введена нами функція не повертає жодне значення, а тільки друкує текст.

Приклад 2: завдання функції, що визначає знак числа.

gap> sign:= function(n)
> if n < 0 then
> return -1;
> elif n = 0 then
> return 0;
> else
> return 1;
> fi;
> end;
function ( n ) ... end
gap> sign(0); sign(-99); sign(11);
0
-1
1

Приклад 3:

Числа Фібоначчі визначаються рекурсивно: f (1) = f (2) = 1, f (n) = f (n-1) + f (n-2).

Оскільки функція в GAP може звертатися сама до себе, то функція для обчислення n-го числа Фібоначчі може бути задана таким чином:

gap> fib:= function(n)
> if n in [1, 2] then
> return 1;
> else
> return fib(n-1)+ fib(n-2);
> fi;
> end;
function ( n ) ... end
gap> fib(15);
610

Вправа: Додати до даної функції перевірку того, що n є натуральним числом.

Приклад 4:

Функція gcd, що обчислює найбільшого загального дільника двох цілих чисел по алгоритму Евкліда, вимагає створення локальних змінних на додаток до формальних параметрів. Опис локальних змінних, якщо вони є, повинен передувати всім операторам, що входять у визначення функції.

gap> gcd:= function(а, b)
> local з;
> while b <> 0 do
> c:= b;
> b:= а mod b;
> a:= з;
> od;
> return з;
> end;
function ( а, b ) ... end
gap> gcd(30, 63);
3

Приклад 5:

складемо функцію, яка визначає кількість розкладань натурального числа (розкладанням даного числа називається незростаюча послідовність натуральних чисел, сума яких дорівнює даному числу). Вся безліч розкладань для даного числа n може бути розділене на підмножини залежно від максимального елементу розкладання. Тоді кількість розкладань для n дорівнює сумі по всіх можливих i кількостей розкладань для n-i, елементи яких менші, ніж i. Узагальнюючи це,
отримуємо, що кількість розкладань числа n, елементи яких менші, ніж m, є сумою (по i < m, n) кількості розкладань для n-i з елементами, меншими, ніж i. Звідси отримуємо наступну функцію:

gap> nrparts:= function(n)
> local np;
> np:= function(n, m)
> local i, res;
> if n = 0 then
> return 1;
> fi;
> res:= 0;
> for i in [1..Minimum(n, m)] do
> res:= res + np(n-i, i);
> od;
> return res;
> end;
> return np(n, n);
> end;
function ( n ) ... end

Бажаючи скласти функцію, яка має один аргумент, ми вирішили поставлену задачу за допомогою рекурсивної процедури з двома аргументами. Тому знадобилося фактично ввести дві функції. Єдиним завданням одним з них є виклик інший з двома рівними аргументами.

При цьому функція np є локальною по відношенню до nrparts . Вона могла б бути визначена і незалежно, але тоді ідентифікатор np вже не міг би бути використаний для інших цілей, а якби це все-таки відбулося, функція nrparts не могла б звернутися до функції np.

Тепер розглянемо функцію np, що має дві локальні змінні res і i. Змінна res використовується для підсумовування, i - параметр циклу. Усередині циклу знову відбувається звернення до функції np, але вже з іншими аргументами. Проте для швидкодії програми переважно уникати рекурсивних процедур, якщо тільки можна без них обійтися.

Вправа: Запропонувати рішення останньої задачі, не використовуючи рекурсивні процедури.

[Попередній розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\2-lang. htm> ][Зміст <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\metgap43.htm> ][Наступний розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\4-groups. htm> ]

[Попередній розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\3-data. htm> ][Зміст <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\metgap43.htm> ][Наступний розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\refs. htm> ]

4 ОПЕРАЦІЇ НАД ГРУПАМИ І ЇХ ЕЛЕМЕНТАМИ

4.1 Завдання групи підстановок

Даний розділ присвячений операціям над групами і їх елементами. Визначення і необхідні теоретичні відомості можуть бути знайдені в [2, 3, 5, 6, 8]. Приведені нижче приклади використовують групи підстановок, але більшість використовуваних в них функцій (в т. ч. Group, Size, Sylowsubgroup ) застосовуються і до інших використовуваних в GAP видам груп, для кожного з яких обчислення проводяться по спеціальному алгоритму.

Задамо групу підстановок, яка породжується (записаними у вигляді твору незалежних циклів) підстановкамиі8). Ця група є не що інше, як симетрична група S8:

gap> s8:= Group( (1,2), (1,2,3,4,5,6,7,8) );
Group( (1,2), (1,2,3,4,5,6,7,8) )

4.2 Завдання підгрупи групи підстановок

Група S8 містить знакозмінну групу A8, яка може бути задана як підгрупа, що складається з парних підстановок, або як її коммутант:

gap> a8 := Derivedsubgroup( s8 );
Group([ (1,2,3), (2,3,4), (2,4)(3,5), (2,6,4), (2,4)(5,7), (2,8,6,4)(3,5) ])

Якщо звернення до об'єкту відбувається часто, зручно привласнити йому ім'я. В цьому випадку при наступних зверненнях до об'єкту замість його уявлення виводитиметься на друк його ім'я:

gap> Setname(a8,"a8");
gap> a8;
A8