Конспект лекцій (стр. 3 )

-	-
		-			-
			-	-

в у з л и

= ; = ; М2=

гілки

Тут I – вектор струмів у гілках; I- вектор задаючих струмів в вузлах; M - матриця з'єднань гілок в вузлах.

Вираз (2) являє собою перший закон Кірхгофа в матричній формі.

Матрицю М, яку часто називають першою матрицею з'єднань (інциденцій) схеми мережі, може бути записана безпосередньо із графа схеми заміщення (мал.1,в). При цьому користуються наступним правилом:

На перетині i–го рядка, який відповідає i–му вузлу, та j–го стовпця, який відповідає j–й гілці, ставиться:

I, якщо j–а гілка спрямована від i–го вузла (j–й струм витікає з i–го вузла);

-I, якщо j–а гілка спрямована в i – й вузол (j–й струм втікає в i–й вузол);

0 , якщо j–а гілка не з'єднана з i – м вузлом.

Очевидно, що в кожному стовпці матриці М може бути тільки одна негативна і одна позитивна одиниця. Решта елементів є нулі.

Як відомо, для електричного ланцюга, який містить m вузлів, можна скласти (m-1) взаємно незалежних рівнянь виду (1), тобто один з вузлів можна не розглядати. Цей вузол називається балансуючим (БВ). При представлені системи рівнянь у виді (2) в матриці з'єднань М повинен бути викреслений рядок, який відповідає БВ.

Виберемо в схемі (мал.1) вузол 1 в якості балансуючого. Це відповідає виключенню першого рівняння з системи (1), а в системі (2) повинен бути викреслений перший рядок у матриці М.

Кількість невідомих струмів гілок в рівняннях (1) дорівнює кількості гілок (n=6), тобто на два більше числа рівнянь (рівняння відповідне БВ, виключене з розгляду). Для отримання двох відсутніх рівнянь скористаємося другим законом Кірхгофа.

Схема, що розглядається, містить три контури, утворені гілками 1-2-3, 3-5-4, 1-2-5-4. Запишемо рівняння другого закону Кірхгофа для зазначених контурів:

(3)

Отримані рівняння, так само як і рівняння (1), не є взаємно незалежними. Підсумовуючи будь-які два рівняння системи (3) можна отримати третє. (Пропонується переконатися в цьому самостійно).

Для схеми, що містить n галузей та m вузлів, кількість взаємно незалежних рівнянь другого закону Кірхгофа або кількість незалежних контурів

K=n–m+1.

У випадку, який розглядається K=6-5+1=2. В якості незалежних обираємо контури I і II, позитивний напрямок обходу яких зазначений на мал.1,в.

Використовуючи рівняння закону Ома, перепишемо систему (3) для обраних незалежних контурів:

В матричному виді остання система рівнянь прийме вигляд:

	-	-
			-

Z1
	Z2
		Z3
			Z4
				Z5
					Z6

	-	-
			-

=

В більш компактному вигляді :

	-	-
			-

де

N= - матриця з`єднання гілок

в незалежні контури

Z1
	Z2
		Z3
			Z4
				Z5
					Z6

- діагональна матриця опору гілок