Конспект лекцій (стр. 1 )

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРИВОРІЗЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ЕЛЕКТРОПОСТАЧАННЯ ТА РЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ

Конспект лекцій

до дисципліни «Математичні задачі електротехніки»

Спеціальність 6.090603 «Електротехнічні системи електроспоживання»

м. Кривий Ріг

2008 р.

Укладачі: ,ст. викл., , асистент.

Відповідальний за випуск: Луценко І. А., к. т.н., доц.

Рецензент:

Розглянуто на засіданні Схвалено на засіданні вченої ради

кафедри ЕПР електротехнічного факультету

Протокол №____ Протокол №____

від «____»______________200__р. від «____»______________200__р.

Лекція №1

Основні відомості про математичне моделювання.

1.1. Загальні відомості.

Якщо можна обійтися без моделювання, краще безпосередньо вивчати об'єкт дослідження. Це забезпечує більшу точність.

Моделювання необхідно в наступних випадках:

1. коли система має дуже великі або дуже маленькі розміри, або коли недоступна для безпосереднього спостереження;

2. коли вивчаються розтягнуті в часі або швидкоплинні процеси;

3. коли робити експерименти на об'єкті занадто дорого або небезпечно для життя;

4. коли вивчаються екстремальні стани системи;

5. якщо предмет дослідження унікальний і неможливо повторити експеримент.

Існує два основні типи моделей:

1) фізичні; 2) математичні.

Фізична модель – модель, яка зберігає фізичні властивості досліджуємого об’єкту.

Математична модель – модель, яка відповідає досліджуємому об’єкту завдяки математичному опису за допомогою рівняння.

Могутнім інструментом в інженерних і наукових дослідженнях при пошуку оптимальних рішень є ЕОМ у сполученні з методами планування експерименту.

Наука о моделюванні з’явилася більш 400 років тому (Леонардо да Вінчи).

Однак, моделювання не завжди сприймалося всерйоз:

– загибель броненосця «Кентен» у 1870 році. Англійські вчені Фуд і Рід створили теорію моделювання кораблів. Фахівці адміралтейства проігнорували результати моделювання – у результаті загинуло 523 людини;

– результатом моделювання є врятований екіпаж космічного корабля «Аполлон – 13» (вибух балона з киснем).

Математичний апарат вибирають на підставі встановлених загальних характеристик досліджуваного об’єкту, явища, процесу.

Математична модель – система математичних співвідношень – формул, функцій, рівнянь, систем рівнянь, які описують ті чи інші сторони вивчаємого об’єкту, явища, процесу.

1.2. Математичний апарат для побудови математичної моделі.

1 – об’єкт дослідження

2 – детермінований об’єкт ( не має невизначеностей)

3 – ймовірний об’єкт (випадковий характер)

4 – динамічний об’єкт

5 – нестаціонарний об’єкт

6 – диференційне рівняння

7 – інтегральні рівняння

8 – рівняння в частинних похідних.

9 – теорія автоматичного керування

10 – алгебра

11 – теорія випадкових процесів

12 – теорія Марковських процесів (теорія ймовірності)

13 – теорія автоматів

14 – диференційне рівняння ймовірних характеристик

15 – статичний об’єкт

16 – стаціонарний об’єкт

17 – алгебра

18 – диференційне рівняння з незалежними від часу аргументами

19 – теорія ймовірності

20 – теорія інформації

21 – алгебра

Детермінований процес, об’єкт – не містить невизначеностей (дія однозначно визначається прикладеним впливом).

Ймовірний процес – випадковий.

Динамічний процес – описується рівняннями динаміки.

Статичний процес – характеристики не існують в часі.

Стаціонарний ймовірний процес – імовірні характеристики не змінюються в часі.

Теорія автоматів – розділ теоретичної кібернетики (вивчає математичні моделі (автомати чи машини) пристрої, які переробляють дискретну інформацію).

Марковські процеси – при фіксованому сьогоденні майбутнє не залежить від минулого. Марковські процеси аналітично визначаються рівняннями Колмогорова.

Ймовірні характеристики:

– розподіл випадкових величин;

– математичне чекання;

– дисперсія;

– моменти.

Теорія інформації – розділ кібернетики, який розглядає загальні закономірності передачі повідомлень на основі теорії ймовірностей.

Теорія випадкових процесів – методи статичного моделювання (вибірки випадкових чисел для знаходження середніх величин).

1.3. Роль модулювання і проектування в структурі розвитку виробництва.

Послідовність задач, які вирішуються при моделюванні та проектуванні систем.

1 – аналіз стану питання і постановка задач.

2 – формування варіантів об’єкта дослідження.

3 – обчислювальний експеримент.

4 – розвиток теорії проектування (методів розрахунку й способів управління).

5 – розробка технічних рішень.

6 – стендові і дослідно-промислові випробування; впровадження у виробництво.

1.4. Обчислювальний експеримент.

Обчислювальний експеримент (ОЕ) – методологія та технологія досліджень, засновані на застосуванні прикладної математики і ЕОМ, як технічної бази при використанні математичної моделі.

Технічний цикл ОЕ:

1. Для досліджуємого об’єкту будується модель (за звичай спочатку фізична). На цьому етапі:

– відкидаються другорядові фактори які діють в досліджувальному об’єкті, явищі, процесі;

– формуються допущення й умови застосування моделі, межі в яких будуть справедливі результати;

– модель записується в математичних термінах.

2. Розробляється метод розрахунку сформульованої математичної задачі (визначається послідовність обчислення формул – обчислювальний алгоритм).

3. Розробляються алгоритм і програма рішення задачі на ЕОМ.

4. Проведення розрахунків на ЕОМ (точність інформації визначається

достовірністю моделі й ефективністю застосованого методу розрахунку).

5. Обробка результатів та їх аналіз (на цьому етапі може виникнути необхідність уточнення моделі – ускладнення, спрощення).

1.5. Питання для самоконтролю:

1. У яких випадках необхідно моделювання?

2. Дати визначення терміну «Математична модель».

3. Дати визначення терміну «Фізична модель».

4. Дати визначення терміну «Обчислювальний експеримент».

5. З яких кроків складається технічний цикл обчислювального експерименту?

Лекція №2

Чисельне інтегрування.

Чисельне інтегрування – це наближені методи розрахунків певних інтегралів.

Нехай маємо інтеграл:

.

Припустимо, що f (x) ≈ const на відрізку [a; b].

Тоді:

- формула прямокутника.

2.1. Метод прямокутників.

Відрізок [a, b] розділяється на декілька інтервалів. Обираємо:

Можливі два варіанта:

1) – з недоліком,

2) – з надлишком.

Формули обчислення визначають інтеграл по методу прямокутника.

В обох випадках маємо похибку. Найбільш точною є формула:

Модифікований метод прямокутників. ординати зміщені на 0,5 h; 0,5.

2.2. Метод трапеції.

Припустимо, що f (x) на відрізку [a,b] близька до лінійної. У цьому випадку інтеграл доцільно замінити трапецією, де:

h = (b-a) - висота; f(a), f(b) – основи

Якщо f(x) наближена до лінійної функції, то формула прямокутників дає непоганий результат, тому що – є площа.

Формула трапецій з висотою і середньою лінією :

2.3. Метод парабол або метод Сімпсона.

Відрізок [a, b] розділяється на парне число однакових частин, n = 2m.

Площа криволінійної трапеції відповідає двом відрізкам [x0, x1], [x1, x2] та обмежена функцією y = f(x):

Окремі відрізки графіка y=f(x) замінюються параболами другого ступеню:

y(x) = Ax2 + Bx + C – формула параболи, яка проходить через точки

Мо, М1, М2. Аналогічно і для інших відрізків.

Теорема: Якщо криволінійна трапеція обмежена параболою y=Ax2+Bx+C, оссю ОХ, та двома ординатами, відстань між якими дорівнює 2h, то її площа

– квадратурна формула Сімпсона.

де y0, y2 - крайні ординати, y1 – середня.

Доведення:

Коефіцієнти A, B, С знаходяться з рівнянь отриманих при:

(1)

Площа параболічної трапеції:

Якщо підставити вирази y0, y1, y2 з (1) в формулу площі S, то отримаємо:

Через те, що (h=∆x); n=2m, то:

………………………………………….

замінимо отримуємо:

2.4. Питання для самоконтролю:

1. В чому полягає сутність методу прямокутників?

2. В чому різниця методу прямокутників з недоліком на відміну від методу прямокутників з надлишком?

3. В чому полягає сутність методу трапецій?

4. В чому полягає сутність методу парабол?

Лекція №3

Наближення функцій (апроксимація).

3.1. Загальні відомості.

Апроксимація – заміна одних математичних об’єктів іншими.

Ціль апроксимації – отримати більш прості і зручні математичні

описи досліджуваних об’єктів, характеристики

яких легко обчислюються або їх властивості вже

відомі.

При аналізі функції, яка досліджується використовують:

- інтерполяцію;

- екстраполяцію.

Інтерполяція – обчислювання значень функції для проміжних значень аргументу при табличному завданні функцій.

Екстраполяція – знаходження значень функції при табличному способі її завдання для значень аргументу за межами таблиці.

Якщо відомий вид хорошого наближення функції і в той же час вимірювані значення функції мають велику похибку, то інтерполяцію здійснюють за допомогою теорії планування експерименту (ТПЕ).

У даному випадку ТПЕ дозволяє отримати найкраще наближення функції при мінімальному числі наближень.

В інших випадках найчастіше використовують:

- метод найменших квадратів (МНК);

- інтерполяційні багаточлени;

- тригонометричні функції.

3.2. Наближення функції на підставі експериментальних даних по методу найменших квадратів (МНК).

Нехай на підставі експерименту потрібно встановити функціональну залежність: