Конспект лекцій (стр. 7 )

q1 = 6; q2 = 7(5-1) = 28

Кф. т. = 2,4. Порівнюємо коефіцієнти:

0,59 < 2,4.

Отже модель адекватна.

6.4. Оцінка адекватності великих вибірок.

Критерій Пірсона

Для того щоб оцінити адекватність математичної моделі при завданому рівні необхідно:

1) Обчислюється середнє вибіркове значення :

ni – частота повторень(кількість вимірювань)

Обчислюється вибіркове середнє квадратичне відхилення σв:

2) Визначаються теоретичні частоти (наприклад, апроксимувати за допомогою нормального закону розподілення):

φ (Ui) – нормована крива закону нормального розподілення

n – повний об’єм вибірки

h – крок вибірки

3) Виконується порівняння експериментальної та теоретичної частоти:

Складається таблиця, по якій знаходиться значення критерію, який спостерігається:

– критерій Пірсона.

Визначається ступінь свободи:

q = k- 3

де k – число груп вибірок.

З таблиці визначається критичне значення критерію:

де – рівень значення (похибка)

Виконується порівняння обчисленого спостерігає мого критерію з x2кр:

x2с < x2кр – вибірка адекватності.

6.5. Питання для самоконтролю:

1. Дати визначання терміна «Дисперсія».

2. Що називається довірчим інтервалом вимірювань?

3. Дати визначання терміна «Довірча імовірність».

4. Дати визначання терміна «Відтворення».

5. Порядок оцінки на адекватність за методом Фішера?

6. Порядок оцінки на адекватність за методом Пірсона?

Лекція №7

Методи одновимірного пошуку точок екстремуму емпіричних функцій в техніко-економічних розрахунках СЕП.

7.1. Загальні положення.

В техніко-економічних розрахунках систем промислового електропостачання часто потрібно знаходити точки екстремуму функцій, які задані таблично. В таблиці задають значення приведених річних витрат в залежності від напруги, перерізу жил кабелю або проводу лінії.

В таких задачах функція, яка відображає витрати позитивна. Її графік має один слабовиражений мінімум та добре апроксимується багаточленом другого, третього, або максимум четвертого ступенів.

На підставі цього можна зробити висновок, що такі функціональні залежності, які задані у вигляді таблиці або графіку, можна з достатньою точністю подати у вигляді функції, зручної для наступної математичної обробки.

З отриманих функціональних залежностей знаходять точки екстремуму, які визначають напруги або перерізи проводів(жил кабелю),при яких річні приведенні витрати мінімальні. Таке рішення задачі розглядають як економічно доцільним.

Точку екстремуму, як і функцію наближення можна знайти різними способами.

Але, враховуючи те, що при техніко-економічних розрахунках СЕП мають місце нерівно віддалені вузли в шуканих функціях(наприклад, шкала напруг:6, 10, 20, 35кВ...,шкала перерізів проводів(жил кабелів): 10, 16, 25, 35, 50мм...)більшу перевагу при отриманні функції наближання віддають інтерполяційному поліному Лагранжа. Також у більшості випадків непогані результати дає метод найменших квадратів.

Точку екстремуму, яка є економічно доцільним рішенням задачі, можна знайти наступними одновимірними методами:

- прямий класичний метод пошуку екстремуму цільової функції;

- дихотомічний пошук;

- метод золотого перерізу;

- метод Фібоначі;

Так як межі допустимої точності інженерних розрахунків приймають 5-10%, то у даній постановці задачі оптимізації робиться припущення, що у результаті розрахунків буде прийняте стандартне економічно доцільне значення напруги або перерізу проводу(жил кабелю), які знаходяться між двох нестандартних, які визначають ряд допустимих стандартних значень.

7.2. Методи одновимірного пошуку.

7.2.1.Прямий класичний метод

Використовується якщо ЦФ може бути диференційована та в задачі оптимізації відсутні обмеження.

Сутність: в точці екстремуму ЦФ її перші похідні дорівнюють нулю:

Порядок дослідження:

1) знаходиться перша похідна ЦФ F'(x);

2) F'(x)=0 і визначається точка екстремуму;

3) підставивши значення точки екстремуму в ЦФ отримуємо екстремальне значення ЦФ;

4) перевірка точки екстремуму на min та max:

Якщо F'(x) при переході через критичну точку змінює свій знак з «-» на «+»,то маємо «min»,а якщо з «+» на «-» то «max».

7.2.2.Дихотомічний пошук.

Нехай задан відрізок [a,b], на якому маємо унімодальну функцію.

При дихотомічному пошуку екстремуму унімодальної функції здійснюють порівняння значень даної функції в точках λ та μ, які вибрані симетрично на відстані ξ > 0 від середини відрізка.

Причому число ξ > 0 повинно бути настільки малим, щоб

довжина нового інтервалу невизначеності [ξ +(b-a)/2] була достатньо близькою до теоретичного оптимального значення [(b-a)/2] та щоб значення F(λ) і F(μ) були відмінними.

Визначення λк, μк :

;

При пошуку мінімуму F(х):

- якщо F(λ1) < F(μ1), то b2 = μ1, a2=a1;

- якщо F(λ1) > F(μ1), то b2 = b1, a2=λ1.

Обчислення припиняються при : |bk - ak| < 2ξ, а xk = (ak+ bk)/2.

7.2.3. Метод золотого перерізу.

Золотим перерізом відрізка [a,b] називається поділ його точкою на дві нерівні частини, так щоб відношення всього відрізку до більшої частини було рівним відношенню більшої частини до меншої.

Точка с здійснює золотий переріз відрізка [a,d],а точка d золотий переріз відрізка [с,b].

Визначення координат точок с і d:

Прийнявши

Тоді : c = x1 = a + (1– α)(b – a);

d = x2 = a + α(b – a),

де α = 0,618 – коефіцієнт дроблення.

Якщо F(c) < F(d), то b1=d, a1=a, d1=c.

c1 = a1 + (1– α)(b1 – a1)…

Обчислення припиняються при |bk - ak| < ξ

7.3. Порівняння методів лінійного пошуку без обчислення похідної

Для фіксованих значень (b1-c1) / ℓ - найменше число потрібних обчислювань функції відповідає більш ефективному алгоритму.

З цієї точки зору найбільш ефективним алгоритмом є метод Фібоначі, далі золотого перерізу, дихотомічний пошук.

Для достатньо великої кількості обчислень функції n методи Фібоначі та золотого перерізу майже ідентичні.

Приклад: В результаті розрахунку отримана залежність приведених річних витрат Зі від перерізу кабелю Si

Si,мм	10	16	25	35	50	70	95	120	150	185
Зі,тис. грн/рік	360	340	320	290	280	270	300	340	400	470

За розміщенням точок на площині помітно, імовірно достатньо точно задану функцію можна апроксимувати багаточленом другого ступеню:

Застосувавши МНК (метод найменших квадратів) отримуємо апроксимуючий поліном:

Знаходимо середньоквадратичну помилку, яка допускається при обчисленні приведених річних затрат за допомогою апроксимуючого полінома:

Витрати тис. грн./рік
10	16	25	35	50	70	95	120	150	185
Зі	360	340	320	290	280	270	300	340	400	470
З	356	341	321	303	284	272	280	312	384	500
ε	-4	+1	+1	+13	+4	+2	-20	-28	-16	+30