Конспект лекцій (стр. 5 )

Недоліком цього методу, який називається «Прямим», є необхідність розв’язання системи рівнянь, ранг якої дорівнює числу гілок. Цього недоліку можна уникнути, якщо використати іншу послідовність розрахунку. Наприклад, спочатку визначити напруги у вузлах схеми відносно балансуючого, а потім

вже за законом Ома визначити струми гілок. При такому підході потрібно розв’язувати систему (m-1) рівнянь.

Питання для самоконтролю:

1. Яким правилом користуються при складанні першої матриці з’єднання?

2. По якому закону визначається кількість незалежних контурів?

3. Яким правилом користуються при складанні другої матриці з’єднання?

4. Який недолік є у даного методу?

Лекція №5

Розв’язання рівнянь стану електричної системи.

5.1. Метод Гауса.

Обчислювальні схеми, за допомогою яких може бути реалізований метод Гауса, різні. До найбільш характерних схем цього методу відносяться алгоритми зі зворотнім ходом та без зворотного.

Розглянемо алгоритми зі зворотнім ходом.

Запишемо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими в наступному виді:

(1)

Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:

На першому етапі у вихідній системі рівнянь перше рівняння діліться на a11. Далі x1 вилучається зі всіх подальших рівнянь множенням першого рівняння щоразу на aі1 та відніманням з i-го рівняння (i=2,4). В результаті цих операцій отримуємо систему рівнянь:

(2)

де

; ; ; ;

Другий крок полягає у вилученні x2 з рівнянь, отриманих не першому кроці системи шляхом виконання аналогічних операцій при використанні в якості провідного елемент a'22.

Третій крок і наступні виконуються аналогічно.

На четвертому кроці отримуємо наступну систему рівнянь:

(3)

На етапі зворотного ходу визначаються невідомі, які шукаємо в наступному порядку:

(4)

Розв’язання системи n-лінійних рівнянь по алгоритму методу Гауса без зворотного ходу здійснюється за один етап, в результаті якого матриця коефіцієнтів А за n однотипних кроків приводиться до одиничної. На основі цього алгоритму побудований метод обертання матриці.

Алгоритм методу Гауса зі зворотнім ходом є біль ефективним в обчислювальному відношенні і тому рекомендується користуватися ним.

5.2. Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотних матриць.

Вихідна система рівнянь має той же вигляд. Введемо значення:

де: А – матриця коефіцієнтів

x – вектор невідомих змінних

В – вектор вільних членів

Система рівнянь в матричному вигляді:

А · х = В

Помножимо це рівняння на А-1 – зворотна матриця матриці А. Тоді отримаємо:

А · А-1 · х = А-1 · В

Відомо, що А · А-1 = Е – одинична матриця.

x = А-1 · В

Приклад:

5.3. Питання для самоконтролю:

1. В чому полягає сутність методу Гауса?

2. В чому полягає сутність методу зворотних матриць?

Лекція №6

Відтворення результатів експериментів та оцінка адекватності математичних моделей.

6.1. Загальні положення.

Перевірка результатів експерименту на відтворення та оцінка математичних моделей на адекватність здійснюється шляхом порівняння дисперсій випадкової величини досліджуємих явищ, тобто дисперсія є оціночною характеристикою вимірювання і характеризує однорідність вимірювання.

Чим більша дисперсія, тим більше розкидання даних.

Дисперсією випадкової дискретної величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від його математичного очікування:

D = M [x – M(x)] 2

Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значення математичної величини:

де xi – і-те значення величини, яка вимірюється

xi – середнє значення і-ої величини, яка вимірюється

n – кількість вимірювань.

Поруч з дисперсією користуються величиною середньоквадратичного відхилення:

Інтервал значень, в який потрапляє дійсне значення величини, яка вимірюється, з завданою довірчою імовірністю називається довірчим інтервалом вимірювань.

Довірча імовірність – імовірність того що дійсне значення величини, яка вимірюється потрапляє з завданою точністю в завданий інтервал.

Довірчий інтервал характеризує точність вимірювань, а довірча імовірність характеризує достовірність вимірювань.

Для великих вибірок вимірювань (n>30) оцінка вимірювань здійснюється за допомогою інтегральних функцій Лапласа.

Для малих вибірок (n≤30) оцінка вимірювань здійснюється за допомогою методу Стьюдента.

Довірчий інтервал за Стьюдентом:

де - коефіцієнт Стьюдента;

- середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення.

Коефіцієнт Стьюдента визначається з таблиці:

m	Pд
2	0.8	0.9	0.95
3	3.08	…	…
…	-	4.30	…
∞

де Pд – довірча імовірність

m – число паралельних дослідів

(серій дослідів)

Оцінка результатів експерименту щодо відтворення здійснюється за методом Кохрена.

Оцінка математичних моделей на адекватність здійснюється за допомогою наступних критеріїв:

а) для малих вибірок – критерій Фішера

б) для великих вибірок – критерій Пірсона, Колмогорова та Романовського.

6.2. Перевірка експерименту на відтворення результатів.

Відтворення – повторення вимірювань в певних межах з завданою довірчою імовірністю.

Маємо декілька m паралельних дослідів:

1) Для кожного досліду обчислюється середнє значення величин, які вимірюються:

2) Для кожного з дослідів обчислюються построкові дисперсії:

3) Визначається розрахункові критерії Кохрена:

де max Di – максимальна дисперсія проведених дослідів.

4) Порівнюють розрахункові значення критерію з табличним:

Кк. р. ≤ Кк. т.

Якщо умови виконуються, то результати експерименту добре відтворюються та задовольняють вимоги.

Таблиця для визначення критерію Кохрена

m	q=n-1
1	2	3	4	…
1	0.99	0.97	…	…
2				0.74
3
4

q – ступінь свободи дисперсії

n – кількість вимірів в досліді

Приклад: Проведемо три серії дослідів, тобто m=3. в кожній серії

виконали по п’ять вимірів. Результати вимірювань та їх

обробка зведені в таблиці.

m	Вимірювання xi	Обчислення
1	2	3	4	5
1	7	9	6	8	4	6,8	3,7
2	9	7	8	6	5	7,0	2,5
3	8	8	7	9	8	8,0	0,5

,