Конспект лекцій (стр. 8 )

Отримане наближення досить добре, тому що складає 5% від середньоквадратичного значення табличнозаданої функції.

Для знаходження точки екстремуму продиференціюємо отриманий поліном та прирівняємо похідну до нуля (прямий класичний метод пошуку екстремуму ЦФ):

З економічних міркувань в межах 10% похибки для значень річних витрат доцільно узяти Sекстр як найменше допустиме значення аргументу, тобто:

Sекстр.=Sе. д. (економічно доцільне)

Тому по знайденному Sе. д.=75мм2 знаходимо:

.

Визначаємо допустиму абсолютну похибку для функції:

.

Складем рівняння:

Корні цього рівняння є абсцисами точок перетину кривої годових затрат та прямої:

Таким чином, в цьому випадку буде знайдена точка , де S1,S2 – корні отриманого квадратного рівняння.

Тобто

Остаточно приймаємо : Sе. д. = 38мм2 або стандартне Sе. д. = 35мм2.

7.4. Питання для самоконтролю:

1. Якими одновимірними методами можна знайти точку екстремуму?

2. В чому сутність прямого класичного методу?

3. В чому сутність дихотомічного пошуку?

4. В чому сутність методу золотого перерізу?

Лекція №8

Дослідження операції (ДО).

8.1. Загальні положення.

Дослідження операції (ДО) – застосування певних кількісних методів для обґрунтування рішень в усіх областях цілеспрямованої людської діяльності. При постановці і рішенні задач дослідження операції (ДО) пропонує загальні методологічні прийоми.

Операція – система дій, об’єднаних єдиним задумом і спрямованих на досягнення визначеної мети.

Ступінь досягнення мети повинна описуватися деякою скалярною функцією F (цільовою функцією, критерієм), яка приймає дійсні числові значення.

Цільова функція (ЦФ) може бути задана аналітично або за допомогою алгоритму:

1. Якщо ЦФ задана за допомогою алгоритму, то задача дослідження операцій зводиться до перебору можливих варіантів та вибору кращого з них.

2. Якщо ЦФ задана аналітично, то маємо класичну задачу пошуку умовного екстремуму.

При наявності такої функції ціль операції полягає в її максимізації (або мінімізації). Для цього існують певні керовані параметри x1, x2, … xn, за допомогою яких можна впливати на вихідні параметри y1, y2, … yn, які є аргументами цільової функції F.

На результат операції впливають також некеровані параметри α1, α2, … αn , які визначають умови, у яких проводиться операція.

При дослідженні операції треба враховувати обмеження, накладені на керовані, не керовані та вихідні параметри. Вони можуть бути пов’язані з обмеженістю будь-яких ресурсів, бути наслідком фізичних законів (наприклад, законів збереження), визначатися вимогами до конструкції або проекту, відбивати ступінь невизначеності проведення операцій.

Приклад 1. Задача планування робіт з підготовки до вибуху ділянки, де

xі– бурові верстати, yі - їх продуктивність, αі – міцність порід, F – мінімум витрат.

Приклад 2. Забезпечення електричною елегією приймачів від декількох

джерел обмеженої потужності:

8.2. Математична модель операції (ММО)

ММО – являє собою задачу з оптимізації цільової функції (ЦФ).

ММО містить у собі залежності.

(1)

– цільова функція (2)

та залежності, які виражають залежності:

(3)

Значення керованих параметрів Yі, при яких виконуються обмеження gj (3) називаютьcя допустимими рішеннями.

Загальна задача ДО полягає в тому, щоб з безлічі допустимих рішень обрати оптимальні, тобто визначити значення керованих параметрів x1, x2,…,xn які задовольняють задані обмеження та обертають цільову функцію F в максимум або мінімум.

Приклад: – ЦФ

8.3. Основні принципи побудови цільової функції

При складанні математичної моделі варто приділяти більше уваги вибору цільової функції, дотримуючись принципів її формування:

1. Принцип однозначності – передбачається, що мінімізується або максимізується тільки одна ЦФ.

При багатокритерній задачі комплексна функція зводиться до виду:

F = F1 + F2 + … + Fk

Якщо вагомість кожного критерію неоднакова, то вводяться вагові коефіцієнти αі для зведення до одного критерію:

F = α1F1 + α2F2 + … + αкFk .

2. Принцип керованості. Полягає в тому що ЦФ повинна обов’язково виражатися через змінні керування:

F = F (x1, x2, …, xn).

3. Принцип придатної форми ЦФ (Задовільність форми ЦФ) – необхідно обирати функцію з явно вираженим екстремумом (опукла чи увігнута ЦФ).

Бажані форми ЦФ:

Небажані форми ЦФ:

а) розривна

б) багатоекстремальна

в) неоднозначна

Одному значенню керованного

параметру відповідає кілька значень ЦФ.

8.4. Вибір обмежень

Обмеження можна поділити на прямі та функціональні:

1) Прямі: xі > 0; yі ≤ 0; bі ≥ 1.

Область у просторі керованих параметрів, яка задана прямими обмеженнями, називають допустимою областю.

ХД – допустима область

XД={xi > k, xi < m, ie[1÷n]};

2) Функціональні обмеження:

φ(x) ≥ 0; ψ(x) < 0.

В задачах оптимізації часто роль обмеження виконує умова працездатності:

XP{XХД; φ(x) ≥ 0; ψ(х) < 0}

Примітка:

Обмеження можуть бути жорсткими, які категорично забороняють перевищення того чи іншого рівня:

хі ≤ R або хі ≥R

та нежорсткими, які не забороняють перевищення того чи іншого рівня, а лише погіршують значення цільової функції. У такому випадку відповідно до погіршення може бути накладений штраф:

,

де - коефіцієнт, - константа.

8.5. Методи оптимізації та загальна задача математичного програмування

Прямий класичний метод	Лінійне програмування	Нелінійне програмування

Динамічне програмування	Цілочислове програмування	Чисельні методи

Загальна задача математичного програмування формується наступним чином:

Потрібно знайти значення n змінних x1, x2,…, xn, які задовольняють m рівнянням або нерівностям обмежень:

та при цьому мінімізують або максимізують цільову функцію

F = F (Х1, Х2, … Хn)

8.6. Прямий класичний метод пошуку екстремуму цільової функції.

Цей метод застосовується якщо ЦФ диференціюється та в задачі оптимізації відсутні обмеження.

1) Метод для функції з однією змінно:

Сутність методу – в точці екстремуму ЦФ її перша похідна дорівнює нулю.

Порядок дослідження:

а) знаходиться перша похідна ЦФ;

б) перша похідна ЦФ прирівнюється до нуля і знаходиться точка екстремуму;

в) точка екстремуму підставляється в ЦФ та знаходиться її екстремальне значення;

г) перевірка оптимальних екстремальних значень на max та min.

2) Метод для функції яка містить дві змінні

Сутність методу – в точці екстремуму ЦФ всі її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю:

;

або не існують.

Порядок дослідження

а) для знаходження точки екстремуму складається система рівнянь зі знайдених частинних похідних першого порядку, які прирівняні до нуля:

б) Розв’язуючи систему (1) знаходимо точку екстремуму:

в) для дослідження точки екстремуму на max або min, складаємо визначник з частинних похідних другого порядку і перевіряємо його знак:

1) Якщо визначник більше нуля (Δ>0), то екстремум існує;

2) Якщо визначник менше нуля (Δ<0), то екстремум не існує;

3) Якщо визначник дорівнює нулю(Δ=0), то потрібні додаткові дослідження.

Якщо А та С <0, то екстремум є mах

Якщо А та С>0, то екстремум є mіn.

Приклад 1. Для схеми, наведеної нижче, вибрати оптимальну потужність конденсаторних батарей (КБ), яка буде забезпечувати мінімум (min) зведених річних витрат. Прийняти вартість компенсації 1 кВАр на стороні НН (низької напруги) ТП.

Ко=11 грн/кВАр,

сумарні щорічні відрахування для КБ Е=0,22, вартість 1кВт втрат прийняти

Со=70 грн/кВт

Втрати враховувати в лініях, трансформаторах, конденсаторах. Питомі витрати в конденсаторах:

ΔРуд=0.0045 кВт/кВАр

Інші дані: