(1.9)

где a - действительная постоянная. В данном случае правая часть f(t,x) = ax определена на всей плоскости (t, x) и удовлетворяет на ней условию Липшица с постоянной M = |a|. Таким образом, теорема 1.1 к уравнению (1.9) применима. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая функция

(1.10)

где C - произвольное действительное число, является решением уравнения (1.9). Интервалом определения решения (1.10) является вся прямая t О (-Ґ,+Ґ) и поэтому оно является непродолжаемым. Покажем, что формула (1.10) исчерпывает все решения уравнения (1.9). Действительно, пусть x = j(t) - произвольное решение этого уравнения, заданное на интервале r1 < t < r2. Пусть t0 О (r1,r2) - произвольная точка иx0 = j(t0). Если в качестве постоянной C принять величину

то тогда два решения x = j(t) и  уравнения (1.9) имеют одинаковые начальные значения t0, x0 и поэтому в силу второй части теоремы 1.1.1 совпадают. Таким образом, придавая постоянной Cв (1.10) всевозможные значения, мы получим все решения уравнения (1.9).

Пример 1: Решите диф. уравнение:

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

0

Если ДУ содержит , то его нужно заменить на .

Если в ДУ уже присутствуют знаки дифференциалов, то этот пункт пропускают (поэтому в нумерации этапов поставлен 0).

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)  начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2)  постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), а справа – функция, которая зависит от и(и это плохо: мешает).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание: обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

Пример 2: Решите диф. уравнение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

0

Если ДУ содержит , то его нужно заменить на .

Если в ДУ уже присутствуют знаки дифференциалов, то этот пункт пропускают (поэтому в нумерации этапов поставлен 0).

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1) начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), а справа – функция, которая зависит от и(и это плохо: мешает).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание:

1) если хотя бы одна первообразная представляет собой логарифм, то константу интегрирования записывают как логарифм постоянной с тем же основанием (в нашем случае )

2)обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Для получения этого выражения применили формулу

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

Пример 3: Решите диф. уравнение:

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

 

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

 

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит от и (и это плохо: мешает )

 

Сейчас справа от знака равно стоит функция, которая зависит от и (и это плохо: мешает )

 

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

 

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

 

 

Примечание:

1) если хотя бы одна первообразная представляет собой логарифм, то константу интегрирования записывают как логарифм постоянной с тем же основанием (в нашем случае )

2) обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

 

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Для получения этого выражения применили формулу

 

Для получения этого выражения применили формулу

 

Т. к. равны логарифмы, равны основания логарифмов, то будут равны и выражения, стоящие под знаком логарифма.

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

 

 

Пример 4: Решите диф. уравнение: ,

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа - функция, которая зависит только от (и это хорошо)

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание: обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

3

Третий этап остаётся незаполненным в этом примере, т. к. при нахождении первообразных сразу получили и выражать его не нужно.

4

Предложенные в условии данные () подставляем в ОРДУ и находим С

Найденную константу интегрирования С подставляем в ОРДУ

Полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения (ЧРДУ)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11