Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 8 )

Будем искать в виде:

(20), где - полином степени , но с неопределёнными пока коэффициентами.

ÖОбратите внимание на то, что полином имеет ту же степень, что и , только записывается в общем виде (см. таблицу «Полезная информация№1» приведённую ниже, а так же опорный конспект темы(четвёртый лист)).

Для удобства обозначим и найдём 1-ю и 2-ю производные:

Найденные выражения подставляем в (19):

, где

Сократим на , т. к. в ноль не обращается. Перегруппируем слагаемые внутри квадратных скобок:

Анализ полученного уравнения приведён в виде таблицы (найдите её в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» в блоке 3):

Линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
Соответствующее однородное ДУ:
Характеристическое уравнение:
	не является корнем характер-го уравнения	Характер-ое уравнение имеет два различных корня (), и совпадает с одним из них	Характер-ое уравнение имеет один корень (), и совпадает с ним
Частное решение
Полезная информация №1: - полином той же степени , что и , только записанный в общем виде: если , то ; если , то ; если , то ; если , то и т. д.

— Пример № 2 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции).

(8) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Мы его решили методом вариации произвольных постоянных, теперь решим методом подбора (методом неопределённых коэффициентов). Применить этот метод мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой полином от , умноженный на :

, т. е. (полином степени ), .

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример №1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

В данном примере , .

Согласно таблице мы должны проанализировать на предмет совпадения с и:

, т. е. не является корнем характеристического уравнения, а значит (см. таблицу) частное решение имеет вид :

(21)

С учётом получаем:

(22)

Полином имеет ту же степень, что и (см. приложение в таблице). Т. к. имеет степень , то тоже имеет степень , а значит, записывается в общем виде следующим образом:

(23)

(23) в (22):

(24)

В выражении (8) кроме присутствуют и , поэтому найдём 1-ю и 2-ю производные от :

Найденные выражения подставляем в (8):

Сгруппируем отдельно слагаемые при разных степенях :

(25)

(25) в (24):

(26) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Для нахождения окончательного ответа подставим выражения (13) и (26) в (9):

Обратите внимание, что ответы в примере № 1 и примере № 2 совпадают. Это и понятно, т. к. решали один и тот же пример, только разными способами.

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

— Пример № 3 (см. диф. уравнение 2) в начале лекции).

(27) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим его методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

ÖОбратите внимание на то, что метод вариации произвольных постоянных, как наиболее общий метод, так же применим для нахождения общего решения предложенного уравнения.

Применить метод подбора (метод неопределённых коэффициентов) мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой полином от , умноженный на :

, т. е. (полином степени ), .

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример № 1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

В данном примере , .

Согласно таблице мы должны проанализировать на предмет совпадения с и:

, т. е. не является корнем характеристического уравнения, а значит (см. таблицу) частное решение имеет вид :

(28)

С учётом получаем:

(29)

Полином имеет ту же степень, что и (см. приложение в таблице). Т. к. имеет степень , то тоже имеет степень , а значит, записывается в общем виде следующим образом:

(30)

(30) в (29):

(31)

В выражении (27) кроме присутствуют и , поэтому найдём 1-ю и 2-ю производные от :

Получили:

(32)

Подставим (32) в (27). При этом, обратим внимание, на то, что множитель будет присутствовать и в левой, и в правой частях выражения, а, значит, на него можно сократить. Фактически вместо системы (32) можно работать при подстановке в (27) с системой вида:

(33)

Примечание: коэффициенты слева от вертикальной черты – это коэффициенты перед и в исходном уравнении (27) и на них умножаем каждое слагаемое в соответствующих строчках.

Суммируем полученные выражения, группируя отдельно выражения при в разных степенях и приравниваем к из правой части исходного уравнения:

Приравниваем в последнем равенстве выражения при в одинаковой степени, стоящие слева и справа от знака равно: