Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 7 )

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 7 (Практическое).

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера).

Цель: закрепить материал, разобранный на лекции; рассмотреть различные способы решения ЛНДУ 2-го порядка.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

2.  Определитель Вронского. Метод вариации произвольных постоянных.

3.  Метод подбора частного решения (метод неопределённых коэффициентов).

Краткое содержание темы

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных (более общий метод решения).

ТЕОРЕМА:

Общее решение линейного неоднородного ДУ 2-го порядка с непрерывными функциями , и : (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения () и любого частного решения исходного уравнения (): (2) , где соответствующее однородное уравнение имеет вид: (1а)

ÖОбратите внимание на то, что в слагаемом верхний индекс шифрует фразу «общее решение», а нижний шифрует фразу «линейное однородное диф.уравнение». В слагаемом верхний индекс шифрует фразу «частное решение», а нижний шифрует фразу «линейное неоднородное диф.уравнение».

Метод вариации произвольных постоянных

(более общий метод решения).

Пусть (3) общее решение (2).

Будем искать решение (1) в виде (3), но заменим и новыми неизвестными функциями и , которые нужно отыскать в ходе решения, т. е. решение ищем в виде:

(4)

Для того, что бы работать с выражением (1) нужно найти 1-ю и 2-ю производные. Найдём их, выполнив следующие упрощения в обозначениях: , , , .

(5)

В нашем распоряжении две неизвестные функции, а уравнение для их отыскания одно, а значит, одной из функций распоряжаемся по собственному усмотрению. Пусть 1-ое и 3-е слагаемое в сумме дадут ноль:

С учётом (I) от (5) остаётся:

(5а)

(6)

Подставим (4), (5а), (6) в (1):

…перегруппируем слагаемые:

...выражения в квадратных скобках обратились в ноль, т. к. и являются решениями (1а), а значит при подстановке в (2) должны дать ноль…

.

Получили:

(I) и (II) составляют алгебраическую систему уравнений относительно производных неизвестных функций.

(7) определитель этой системы – определитель Вронского для функций и - фундаментальной системы для (1а), а значит, этот определитель в ноль не обращается, а следовательно, система имеет единственное решение.

— Пример № 1 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции):

(8) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Найдём общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

(10) это соответствующее линейное однородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения его решения составим характеристическое уравнение:

По т. Виета: (11) это корни характеристического уравнения (вещественные и различные), тогда общее решение имеет вид:

(12)

(11) в (12):

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.

Частное решение (8) ищем в виде (13), но заменим и новыми неизвестными функциями и , которые нужно отыскать в ходе решения, т. е. решение ищем в виде:

(14)

Составляем систему уравнений (см. (7), причём ;; - правая часть исходного уравнения):

(15)

Для того, что бы найти вычитаем из 2-го уравнения системы (15) 1-ое:

данный интеграл находится методом интегрирования по частям.

Примечание: константу положили равной нулю, т. к. при нахождении у нас уже есть константы и , а большее их количество для ДУ 2-го порядка является излишним.

Получили:

(16)

Для того, что бы найти вычитаем из 2-го уравнения системы (15) умноженное на «2» 1-ое уравнение:

данный интеграл находится методом интегрирования по частям.

Примечание: константу положили равной нулю, т. к. при нахождении у нас уже есть константы и , а большее их количество для ДУ 2-го порядка является излишним.

Получили:

(17)

Подставляем (16) и (17) в (14):

(18) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Подставляя (13) и (18) в (9) окончательно получаем:

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Найдите в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» расположение материала «Метод вариации произвольных постоянных» и проследите внимательно основные этапы решения этим методом.

2.Отыскание частных решений неоднородных линейных диф. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (метод подбора или метод неопределённых коэффициентов).

СЛУЧАЙ 1: правая часть линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами представляет собой полином от , умноженный на :

(19), где порядок полинома.

Полезная информация:

Степень полинома	Внешний вид полинома
и т. д.	и т. д.

ÖОбратите внимание на то, что сейчас учимся находить методом подбора (методом неопределённых коэффициентов), а мы находить умеем (см. в примере1 этой лекции первый этап решения или см. в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» блок1). При этом общее решение по-прежнему будет находиться по формуле .