Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 1 )

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

математики и информатики

к. ф.-м. н.,

____________________

Протокол № ___

от «___»________20__года

Методические разработки для студентов,

обучающихся по направлению

201000 «Биотехнические системы и технологии»

к практическим занятиям при изучении дисциплины

«Дифференциальные уравнения»

Направление подготовки

201000 «Биотехнические системы и технологии»

Факультет

Медико-биологический

Автор-составитель:

доцент кафедры математики

и информатики,

к. ф-м. н.

Разработал _____________/ /

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

№ п/п	Тема практических занятий	Вид занятия	Количество часов
1	Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. [1] Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Общее решение и решение задачи Коши. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. 2	ПЗ	2
2	Дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения первого порядка, общий вид уравнения Бернулли, примеры уравнения Бернулли, алгоритмы решения.	ПЗ	2
3	Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.	ПЗ	2
4	Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка». Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Общее решение и решение задачи Коши.	ПЗ	2
5	Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка и их решение. Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и имеющего вид: . Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего искомой функции. Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего независимой переменной х.	ПЗ	2
6	Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение. Фундаментальная система решений Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.	ПЗ	2
7	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера). Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и методы отыскания его частного решения: метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов); метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера).	ПЗ	2
8	Решение задач с помощью дифференциальных уравнений. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Составление и решение дифференциальных уравнений при решении задач физико-химического и медико-биологического содержания. Этапы решения задач на составление и решение дифференциальных уравнений	ПЗ	2
9	Заключительное занятие. Контрольная работа №2 по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка». Итоговый контроль уровня сформированных компетенций (тест).	ПЗ	3

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ЗАНЯТИЕ № 1 (Практическое).

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Цель занятия: добиться понимания студентами алгоритма решения ДУ с разделяющимися переменными; сформировать навыки решения данного класса уравнений.

Основные вопросы, выносимые на практическое занятие:

1)  Дифференциальное уравнение (ДУ) и его порядок. Виды решения ДУ.

2)  Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными.

Краткое содержание темы.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т. д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

(1.1)

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t.  - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не для всех значений своих аргументов, поэтому следует говорить об области W задания функции F, имея в виду область координатного пространства трех (вещественных) переменных t, x, .

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x = j(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r1  <  t  <  r2 (случаи r1 = -Ґ и r2 = + Ґ не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r1 < t < r2.

Интервал r1 < t < r2 называется интервалом определения решения j(t).

Очевидно, что подстановка функции x = j(t) в соотношение (1.1) возможна только в том случае, когда точка с координатами (t, j(t), ) принадлежит области W определения функции F при произвольномt из интервала r1 < t < r2.

Соотношение (1.1) связывает три переменные: t, x, . В некоторых случаях из (1.1) переменная  может быть выражена в виде однозначной функции переменных t, x. В этом случае дифференциальное уравнение (1.1) равносильно дифференциальному уравнению вида

(1.2)

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида; Именно уравнения нормального вида мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (1.2) получено в результате разрешения относительно  уравнения вида (1.1), а будем исходить из функции f(t, x) как из заданной функции двух независимых переменных t, x.

Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R2 переменных t и x. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т. е. не на всей плоскости R2(t, x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция f является непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График Gj={(t, j(t)), r1 < t < r2} решения x = j(t) уравнения (1.2) называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R2 с уравнением x = j(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t,x) множества D проведем прямую lt, x с угловым коэффициентом f(t,x). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x = j(t) в каждой своей точке (t,j(t)) касается прямой lt, j(t).

Теорема существования и единственности.

В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности, которая в этом параграфе приводится без доказательства. Сначала приведем подготовительный материал.

Пусть t0, x0 - произвольная точка множества D, в котором определена правая часть f(t,x) уравнения (1.2).

Задача отыскания решения x = j(t) этого уравнения, удовлетворяющего дополнительному условию

(1.3)

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием) для уравнения (1.2), а соотношение (1.3) - начальным условием для этого уравнения. Говорят также, что решение x = j(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) или что оно имеет начальные значения t0, x0. Утверждение, что решение x = j(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) предполагает, что интервал r1 < t < r2 определения решенияx = j(t) содержит точку t0.

Геометрическая интерпретация задачи Коши состоит в том, чтобы через заданную точку (t0, x0) множества D провести интегральную кривую дифференциального уравнения (1.2).

Далее, пусть функция f(t,x) определена на множестве D М R2(t,x). Говорят, что эта функция удовлетворяет условию Липшица относительно x (равномерно по t), если существует постоянная M > 0 (не зависящая от t) такая, что:

(1.4)

Постоянная M называется постоянной Липшица.

Теорема 1.1.1 (О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть

(1.5)

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t, x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R2(t, x) переменных t, x. Относительно функции f(t, x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки (t0, x0) О D найдется решение x = j(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию

(1.6)

2) если два решения x = y(t) и x = c(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t1, т. е. если

y(t1) = c(t1),

то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.

Таким образом, теорема 1.1.1 утверждает, что координаты любой точки (t0, x0) множества D являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1.5) и что два решения с общими начальными значениями совпадают на пересечении их интервалов определения.

Геометрическое содержание теоремы 1.1.1 заключается в том, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1.5).

Говоря, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит "только одна" интегральная кривая, мы допустили некоторую неточность. Действительно, решением уравнения (1.5) называется функция x = y(t), заданная на вполне определенном интервале r1 < t < r2. Наряду с этой функцией может существовать функция x = c(t), также удовлетворяющая уравнению (1.5) и начальному условию (1.6), заданная на другом интервале s1 < t < s2. Вторая часть теоремы 1.1.1 утверждает лишь, что функции y(t) и c(t) совпадают лишь там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что их интервалы определения r1 < t < r2 и s1 < t < s2 одинаковы.

Говорят, что решение x = y(t), заданное на интервале s1 < t < s2 является продолжением решения x = j(t), заданного на интервале r1 < t < r2, если  (r1,r2) М (s1,s2)  и  y(t) є j(t)  " t О (r1,r2). Решение называется непродолжаемым, если не существует никого отличного от него продолжения. Далее будет доказано, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого, причем единственным образом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение теоремы 1.1.1 о том, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит единственная интегральная кривая, становиться точным.

Замечание к теореме 1.1.1. Если правая часть f(t,x) уравнения (1.5) не удовлетворяет условию Липшица (1.4), то вторая часть теоремы (о единственности), вообще говоря, не справедлива. Действительно, рассмотрим уравнение

(1.7)

Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех x, однако условию Липшица в областях, содержащих точки (t,0), не удовлетворяет, ибо для точек (t,0), (t, x) не существует постоянной M > 0 такой, что

С другой стороны, ясно, что в любой области P плоскости R2(t, x), не пересекающейся с прямой x = 0, к уравнению (1.7) теорема 1.1.1 применима, и таким образом, в каждой из полуплоскостей x > 0 и x < 0 через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, уравнение которой можно найти явно. Действительно, нетрудно убедиться, что при любой постоянной c функция

(1.8)

уравнению (1.7) удовлетворяет.

Часть графика функции (1.8) (при t < c) проходит в полуплоскости x < 0, часть же (при t > c) - в полуплоскости x > 0. Функция x є 0, очевидно, также является решением уравнения (1.7).

Таким образом, через каждую точку (t, x) = (c,0) проходят два решения уравнения (1.7): решение (1.8) и решение x є 0.

В качестве иллюстрации теоремы 1.1.1 рассмотрим задачу об отыскании всех решений простейшего дифференциального уравнения