Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 5 )

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и имеющего вид: ;

2.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего искомой функции;

3.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего независимой переменной х.

Краткое содержание темы

1. а) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и имеющие вид . (1)

ÖОбратите внимание на то, что левая часть дифференциального уравнения (1) содержит только производную порядка, а правая часть - функцию, которая зависит от .

Ö Обратите внимание на то, что если изначально дифференциальное уравнение не имеет вид (1), то следует задуматься над возможностью придания ему этого вида.

A Решение уравнений вида (1) находится n-кратным интегрированием, т. е. если предложено диф. уравнение 2-го порядка вида (1), то интегрировать нужно 2 раза, если 3-его порядка – 3 раза и т. д.

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (1) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнения под номерами 2)и 3)). Рассмотрим их решения:

— Пример № 1 (см. диф. уравнение 2) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и имеющего вид .

По условию предлагаются , , а значит, требуется получить частное решение дифференциального уравнения. Но сначала получим общее решение диф. уравнения.

Т. к. это уравнение 2-го порядка вида (1), то, для получения общего решения, дважды проинтегрируем правую часть:

(2)

(3) это общее решение диф. уравнения.

Найдём частное решение, для чего подставим в выражения (2) и (3) условия , (фактически решается система 2-ух уравнений с двумя неизвестными).

подставляем в (2):

и подставляем в (3):

Найденные константы и подставляем в общее решение диф. уравнения (3):

(4) это частное решение диф. уравнения.

Ответ: это общее решение диф. уравнения;

это частное решение диф. уравнения.

— Пример № 2 (см. диф. уравнение 3) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и приводящееся к виду .

Перенесём второе и третье слагаемые из левой части в правую, что бы придать уравнению вид (1):

, здесь

Т. к. это уравнение 2-го порядка вида (1), то, для получения решения, дважды проинтегрируем правую часть:

это общее решение диф. уравнения.

Дополнительных условий пример не содержит, а значит, ограничимся только отысканием общего решения (частное решение искать не будем).

Ответ:это общее решение диф. уравнения.

ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

Ö Обратите внимание: только что рассмотренный метод решения позволяет решать и диф. уравнения более высоких порядков, при условии, что они имеют вид (1) или к нему сводятся.

1. б) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие функции , т. е. имеющие вид (5)

ÖОбратите внимание, на то, что уравнение не содержит именно функцию , а не букву как таковую, т. е. производные функции , присутствуют в уравнении.

A Для решения диф. уравнений типа (5) вводят новую функцию , при этом .

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (5) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнение под номерам 1)). Рассмотрим его решение:

— Пример № 3 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее функции .

Введём новую функцию (6)

После введения новой функции уравнение примет вид:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

® (7) Вспомним нашу замену и подставим её в (7):	Интегралы, которые требуют определённого решения и не могут быть найдены сходу, решаются отдельно: само диф. уравнение оформляется в столбик, а за вертикальной чертой находятся интегралы(интеграл в левой части ниже найден методом замены переменой, но его также можно найти методом внесения под знак дифференциала или применив «очень полезные формулы» ):
(8) (9)	это диф. уравнение с разделяющимися переменными интеграл в правой части можно найти, выполнив замену , или используя метод внесения под знак дифференциала, или применив «очень полезные формулы» это общее решение диф. уравнения. Дополнительных условий пример не содержит, а значит, ограничимся только отысканием общего решения (частное решение искать не будем).

Ответ: это общее решение диф. уравнения.

ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

ÖОбратите внимание, на то, что если бы для последнего диф. уравнения требовалось найти частное решение, то для отыскания констант инужно дополнительные условия подставить в выражения(8) и (9).Получится система двух уравнений, решая которую найдём и..Потом найденные константы и нужно подставить в (9) и записать частное решение.

1. в) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие независимой переменной , т. е. имеющие вид (10)

Порядок такого рода уравнений понижают путём введения новой функции , при этом за новый аргумент берётся . Функцию рассматриваем как сложную. Т. к. , то . Получили, что.

A Для решения диф. уравнений типа (10) вводят новую функцию , при этом .

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (10) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнение под номерам 4)). Рассмотрим его решение:

— Пример № 4 (см. диф. уравнение 4) в начале лекции):

,, это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее независимой переменной .

Для отыскания решения введём новую функцию (11)

При этом помним, что (12)

Теперь уравнение примет вид:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

Вспомним, что , тогда:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

(13) это общее решение диф. уравнения.

Найдём частное решение. Для чего сначала найдём константы и. Кроме выражения (13) нам потребуется первая производная от него. Найдём её:

(14).

Теперь из выражений (13) и (14) составляем систему, в которую и подставляем предложенные по условию дополнительные данные , :

Найденные константы и подставляем в общее решение (13):

это частное решение диф. уравнения.