Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 3 )

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

Цель занятия: научиться применять алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка следующих классов: однородных, линейных.

Основные вопросы, выносимые на обсуждение семинара.

1.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

2.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

3.  Уравнение Бернулли (общий вид, примеры, алгоритмы решения).

Краткое содержание темы

Однородным уравнением называется такое уравнение, в котором правая часть является функцией от отношения аргументов, т. е.

. (1.4.1)

Если же дифференциальное уравнение задано в виде

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0, (1.4.2)

то оно называется однородным, если функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени.

Определение. Функция M(x,y) называется однородной функцией степени n, если для любого k выполняется соотношение M(kx,ky) = knM(x,y).

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными при замене неизвестной функции. Введем неизвестную функцию u = u(x), положив . Тогда y = u× x , y' =u' x +u и уравнение (1.4.1) приводится к виду

u'× x +u = f(u)

или

. (1.4.3)

Это дифференциальное уравнение для новой функции. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, поскольку при f(u) – u ¹ 0, x ¹ 0

.

Решая уравнение (1.4.3) и заменяя в полученном решении u на , находим решенее исходного уравнения (1.4.1).

Пример. (x2 + y2 + xy)dx − x2dy = 0

Это уравнение имеет вид (1.4.2) с M(x, y) = x2 + y2 + xy , N(x, y) = −x2 . Проверим функции M(x, y) , N(x, y) на однородность:

M(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 + tx ty = t2 (x2 + y2 + xy) = t2M(x, y) ;

N(tx,ty) = −(tx )2 = t2 (−x2 ) = t2N(x, y) .

Мы видим, что M(x, y) , N(x, y) являются однородными функциями одинакового порядка однородности α = 2. Следовательно, (2.18) является однородным уравнением. Запишем уравнение в виде (1.4.1):

или

. (1.4.4)

Пусть , тогда y = u× x , y' =u' x +u и уравнение (1.4.4) принимает вид

u′x + u = u2 + u +1;

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

;

arctg u = ln |x| +C ;

arctg y/x = ln |x| +C (1.4.5)

Семейство функций (1.4.5) есть общий интеграл уравнения (2.18).

Pаметим, что при решении ОДУ вида (1.4.2) не обязательно приводить его к виду (1.4.1). Можно сделать замену y = ux в самом уравнении (1.4.2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 3 (Практическое).

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли, Лагранжа и Клеро. Уравнения в полных дифференциалах.

Цель: закрепить лекционный материал данной темы; научиться решать дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, а также уравнения Лагранжа и Клеро; выявить уровень усвоения материала прошлого занятия (выполнение самостоятельной работы.)

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

2.  Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро.

Краткое содержание темы

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

Применим подстановку, учтя, что .

Т. е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy2:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Т. е. .

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство :

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т. к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Пример. Решить уравнение

Проверим условие тотальности:

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

 

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН )

Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде: