Методические разработки для студентов, обучающихся по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии» к практическим занятиям при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (стр. 6 )

Ответ: это общее решение диф. уравнения;

это частное решение диф. уравнения.

ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

? Мы рассмотрели дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка, которые условно разделили на три группы. Как Вы думаете, почему этот класс получил такое название «допускающие понижение порядка»? (Ответ: в каждом из трёх рассмотренных случаев ДУ 2-го порядка сводилось к решению двух ДУ, но уже первого порядка).

ÖОбратите внимание, на то, что во всех выше рассмотренных примерах при понижении порядка получались дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Но так будет не всегда. При понижении порядка со 2-го до 1-го Вам может встретиться любое ДУ первого порядка (например, однородное ДУ первого порядка).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 6 (Практическое).

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение.

Цель: закрепить лекционный материал данной темы; учиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; выявить уровень усвоения материала прошлого занятия (выполнение самостоятельной работы.)

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Фундаментальная система решений;

2.  Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Краткое содержание темы

Фундаментальная система решений

Определение

Линейные диф. уравнения порядка – это уравнения вида:

Согласно определению линейное ДУ 2-го порядка имеет вид:

(15)

Т. к. (а иначе получим ДУ 1-го порядка), то каждое слагаемое в обеих частях равенства (15) разделим на .

Примечание: знак «» воспринимать как слово «обозначим».

После введённых обозначений линейное ДУ 2-го порядка имеет вид:

(16)

Определение

если в выражении (16) , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ 2-го порядка если в выражении (16) , то уравнение называется линейным однородным ДУ 2-го порядка

 

Линейное однородное ДУ 2-го порядка: (18)

Линейное неоднородное ДУ 2-го порядка: (17)

ТЕОРЕМА 1:

Если и частные решения однородного линейного ДУ 2-го порядка, то их линейная комбинация , где и - произвольные константы, так же является решением однородного линейного ДУ 2-го порядка (18).

Определение:	Две функции и называют линейно-зависимыми (далее л/з) в некотором интервале , если их отношение в каждой точке есть константа, т. е.: если то и - л/з	Определение:	Две функции и называют линейно-независимыми (далее л/н) в некотором интервале , если их отношение в каждой точке отлично от константы, т. е.: если то и - л/н
Пример: , . и - л/з	Пример: , . и - л/н

Для пары функций и можно рассмотреть определитель вида:

это определитель Вронского.

ТЕОРЕМА 2:

Если две функции и линейно-зависимы в интервале , то их определитель Вронского в этом интервале равен нулю.

ТЕОРЕМА 3:

Если и - линейно-независимые частные решения линейного однородного ДУ 2-го порядка (18) в интервале , то их определитель Вронского ни в одной точки интервала в ноль не обращается.

Определение

Пара частных решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (18) линейно-независимых в интервале , называется фундаментальной системой решений этого уравнения

ТЕОРЕМА 4:

Для всякого линейного однородного уравнения, коэффициенты которого являются функциями непрерывными в существует фундаментальная система решений.

ТЕОРЕМА 5:

Если и образуют фундаментальную систему решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (18), то их линейная комбинация – общее решение этого уравнения.

Решение линейных однородных диф. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид (или к нему приводятся):

(19) , где , .

Примерами таких уравнений являются:

1. , .

2.

3. (в этом диф. уравнении коэффициент )

4. (в этом диф. уравнении коэффициент )

ÖОбратите внимание, на то, что все приведённые только что диф. уравнения, в общем, имеют вид . Однако не нужно решать их как ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие независимую переменную , т. к. это приведёт к громоздкому решению. Поэтому в дальнейшем на практических занятиях при идентификации класса диф. уравнения 2-го порядка сначала проверяйте, относится ли оно к линейным однородным 2-го порядка, если нет, то перебирайте все другие классы.

Для нахождения общего решения (19) необходимо найти фундаментальную систему функций этого уравнения и . Тогда общее решение имеет вид (см. теоремы 1и 5):

, где и - произвольные константы.

Из определения фундаментальной системы следует, что и являются линейно-независимыми решениями (19).

и будем искать в виде (т. к. производные от экспоненты пропорциональны самой экспоненте, и при подстановке их в само диф. уравнение с определёнными коэффициентами будут в правой части давать ноль).

Найдём первую и вторую производные для выражения :

Полученные выражения подставляем в выражение (19):

,

Т. к. , то:

Определение

Алгебраическое уравнение степени, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами линейного однородного дифференциального уравнения порядка, называется характеристическим уравнением для соответствующего дифференциального уравнения.

(20) это характеристическое уравнение для линейного однородного ДУ 2-го порядка

A Характеристическое уравнение в нашем случае является квадратным уравнением. Нас интересую его корни. Возможны три случая (в зависимости от значения дискриминанта ):

I. Если, то корни вещественные и различные .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

II. Если, то корни вещественные и совпадающие .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

III. Если, то корни комплексные .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

Введём обозначение для общего решения линейного однородного ДУ 2-го порядка: , здесь верхний индекс шифрует фразу «общее решение», а нижний шифрует фразу «линейное однородное диф.уравнение».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.