Прикладная математика (стр. 1 )

Прикладная математика

Взрослые люди к математике относятся по-разному. Одни чтят ее как науку точности и логики. Другие, не отрицая ее высочайшей эффективности для развития интеллекта, «не видят» себя в ней, говорят о достаточности для повседневной жизни школьного курса арифметики. Вполне вероятно, на этом самоопределении помимо наличия или отсутствия природного «математического мышления» сказался индивидуальный опыт встречи с математикой в школе. Для многих он оказался трудным и даже не приятным.

В этой книге мы хотели бы остановиться на развитии математического мышления как предтечи и основы знакомства ребенка-дошкольника с математикой-наукой.

Мы уверены, что «математическое сознание» взрослых вполне может если не полностью заменить специально организованные занятия, то значительным образом обеспечить вхождение ребенка в мир математики. Наша задача увидеть вместе с воспитателями детских садов и родителями математическое содержание в бытовых сюжетах для того, чтобы они могли помочь детям открыть для себя математику.

Содержание:

1.  Введение

2.  Как это работает

3.  Способности-предшественники математической деятельности

4.  Цели и задачи, которые могут решать взрослые в детском саду и дома

5. Самые обычные условия

6. Подход, ориентированный на место образования и социальное пространство

7. Связь раздела «математика» с другими образовательными областями

8. Включение математического содержания в образовательные события и проектную деятельность

9. ТИКО-конструирование математических понятий

10. Эмпирические данные, свидетельствующие о формировании математических представлений в раннем и дошкольном возрасте (записи наблюдений педагогов и родителей воспитанников детских садов Новгородской области).

Введение

Без математических знаний и умений ориентация человека в повседневной жизни невозможна – элементарные математические представления являются базой для освоения практически всех областей науки, в том числе техники и экономики, основой для непрерывного учения на протяжении всей жизни. При всей нашей персональной любви или не любви к математике пренебрегать этой истиной нельзя.

Математические категории придают миру определенность, с их помощью мир быстрее и осмысленнее воспринимается. Сравните: «несколько зайцев» и «три маленьких зайца»; «лента» и «красная широкая лента длиной 20 сантиметров». Что нагляднее, конкретнее? Математические категории придают миру упорядоченность: левая рука – правая рука; от дома до детского сада пять остановок; до дня рождения четырнадцать дней или две недели; в кармане две конфетки – по одной Майе и Агаше. Все понятно. В результате знакомства с математическими понятиями и закономерностями дети приобретают опыт устойчивости, надежности и повторяемости: сегодня и завтра мы будем играть в детском саду, а днем в воскресенье пойдем с мамой в цирк; в группе шестнадцать детей, значит, нужно шестнадцать чашек и столько же пирожков.

Основа математического мышления формируется уже в первые годы жизни в конкретных практических ситуациях, в которых ребенок приобретает знание о формах, размерах, весе окружающих предметов, времени и пространстве, закономерностях и структурах, получает первоначальные представления о значении для человека счета, чисел. Незаметно для себя, еще до школы он начинает осваивать математические знания.

В нашей книге мы приводим довольно много примеров освоения и применения математических знаний детьми разного, в том числе раннего (до 3-х лет) возраста. Для чего? Для того, чтобы подчеркнуть важность раннего математического развития? Скорее не раннего, а своевременного, это, во-первых. Во-вторых, мы поставили перед собой задачу собрать как можно больше свидетельств того, что математическое мышление (и овладение математическими знаниями) не является «уделом избранных» или «отличительной особенностью мальчиков». В-третьих, для того, чтобы показать насколько традиционные методики формирования элементарных математических представлений, ориентированные на возраст, отстали от реальных потребностей современных детей. А в целом для того, чтобы взрослые, причастные к росту и развитию детей, стали внимательнее к их достижениям.

Фото: 119, DSC03997, 186

2. Как это работает…

Элементы математических знаний, математические действия самым естественным образом содержатся практически во всех событиях повседневной жизни ребенка и дома, и в детском саду, и в любом ином месте. Одевание или раздевание, раскладывание еды по тарелкам, поход за покупками в магазин и игры в песочнице, сбор ягод на дачной грядке, пение, использование считалочек – практически любые действия просто пронизаны математикой.

Фото: DSC04002, 244, 296

Довольно часто дети значительно лучше владеют основными математическими понятиями, чем подозревают взрослые. За их неправильными, с точки зрения взрослых, математическими действиями или разъяснениями, часто скрыты очень креативные, своеобразные и чрезвычайно понятные решения. Взрослые способны поддержать (или осложнить) освоение детьми математических понятий. Это во многом зависит от их собственного понимания математики и знания способов овладения ее действиями. Речь идет не столько о предъявлении детям типичных математических понятий о форме или числе, операций с предметами, их количеством и числами (сравнение, сортировка, классификация, убавление-добавление-уравнивание и пр.), сколько о развитии у детей математического мышления. Математическое мышление не ограничивается механистическим запоминанием понятий или выполнением отдельных операций, оно касается практического решения проблем с помощью общепринятых или самостоятельно выработанных математических действий.

Таким образом, на переднем плане «математического фронта» стоит не когнитивное изучение математического содержания, а содействие детям в приобретении полноценного опыта математических действий, в ходе которого они овладевают основополагающими математическими компетенциями, осмысливают мир через математику.

Фото: 18, 25, 27,

Сложно однозначно сказать с каких математических категорий начинается математика для каждого конкретного ребенка: с форм, обнаруживающихся во многих предметах быта, с величины, присущей любому предмету или с чего-то еще. Мой собственный опыт подсказывает несколько историй, связанных с самостоятельным открытием и осознанием себя (едва ли это было осмыслением математических понятий, скорее где-то рядом). История первая: мой возраст так мал, что я свободно помещаюсь в деревянный футляр от швейной машинки и отец поднимает меня в ней вверх как «в самолете», а я требую «еще выше, выше!». Этот момент остался в памяти отчетливым пониманием того, что я маленькая, что я нахожусь захватывающе высоко от пола, вверху, под потолком. Другая история: натягиваю чулки (в моем детстве дети носили чулки на резинках) и прихожу в ужас оттого, что они никак не кончаются, такие они длинные. Мама видит неподдельный ужас на моем лице и разрешает надеть вместо чулок носки. Так в моем сознание появилось и закрепилось понятие «длинный-короткий». Третья история: вместе с двоюродными, более старшими братьями и сестрами, бродим по мелкому ручью с прозрачной водой. Ручей протекает в бетонной трубе под оживленной автотрассой и я свободно вхожу в эту трубу, а они не могут этого сделать – не помещаются. Открытие ребенком своих возможностей невероятно вдохновляет – я могу, а они нет, я маленькая, а они большие. Определения «не высокая», «ниже других» совершенно точно на ум не приходили. Маленькая, и все. Следующий сюжет этой летней истории приносит опыт разочарования и понимания относительности понятия «маленький-большой»: они могут свободно срывать яблоки с веток, а я нет, потому что они высокие, а я все та же, маленькая. Так сформировалось понятие «высокий» и его производные «выше», «выше, чем».

По-видимому, примерно так – через свой чувственный опыт, – дети и осваивают то, что принято называть предматематическими знаниями. Каждый по-своему: на своем содержании, в своем темпе, с разной степенью осознанности, конкретности и точности.

Фото: ясли, P1020723, 4

Если категории величины, пространства, времени дети могут познать и осмыслить через свой чувственный опыт, то освоение такого понятия как форма, характеристики пространства или времени, числовое определение количества требуют непосредственного участия взрослого или более осведомленного ребенка, которые дадут им точное название, помогут увидеть форму в предметах или их частях, определить и назвать местоположение, количество и т. п. Точное слово придает определенность свойствам предметов и объектов, явлений и событий. Эти основополагающие для развития математического мышления знания не формируются сами по себе, они требуют разнообразного иногда многократного разъяснения, стимуляции и поддержки. Следовательно, математическое мышление находится в тесной взаимосвязи с языковым развитием, формируется и совершенствуется преимущественно через обмен информацией с другими взрослыми и детьми.

Взрослым стоит выражаться как можно яснее и четче, правильно употребляя математические термины. Среди типичных ошибок, характерных для бытовых выражений – «раз» вместо «один»; «большой» вместо «длинный», «высокий», «широкий» и пр. соответствующих параметрам, определяющим величину предмета.

Для развития математического мышления центральное значение имеет привязка к практическим действиям, являющимся, по сути, опытом предшествующим математическому знанию.

Фото: DSC03709

Когда дети предлагают решения проблем, взрослые должны попытаться понять их мыслительную основу. Вот пример события, которое можно рассматривать не только с бытовой, но и с математической стороны: 12.03.2008. На занятии по математике детям предлагается подумать, как можно разделить одно яблоко, чтобы хватило четырем детям. Глафира (6 лет): «Я попрошу бабушку, она разрежет». Можно увидеть в этом отказ девочки и от умственного, и от трудового усилия и завершить на этом сюжет, а можно предложить ей вспомнить то, как бабушка разрезает яблоко. И тут оказывается, что Глафира хорошо представляет весь процесс: «Сначала на две половинки, потом каждую половинку еще пополам. Получится четыре». Результаты уточняющего вопроса дают наглядное представление о том, что ребенок обладает точными знаниями о способе решения поставленной задачи. Таким образом, расспросы побуждают детей проанализировать свой опыт и озвучить аргументы. Так взрослому удастся проследить ход их мыслей, иногда отметить оригинальность и креативность в применении математических знаний. Поддержка вместо порицания может воодушевить детей на поиск других решений. Например, сюжет с делением яблока принес такое решение, предложенное Соней: «Можно разрезать яблоко как на компот – на кружочки. Надо стараться, чтобы они были одинаковыми и сделать так четыре кусочка». Эта история имела продолжение, так как у одного из детей – у Левы – возникло сомнение: А будут ли одинаковыми кусочки яблока, если разрезать на кружочки? В чем причина сомнения Лева пояснить не смог. Тогда педагог предложила детям опробовать этот способ на практике, и, как оказалось, Лева был прав: кружочки, вырезанные ближе к середине яблока, были заметно больше по размеру чем те, что остались по краям. Продолжать этот опыт педагог не решилась, так как не знала, как пояснить детям особенности полусфер и нужно ли это делать – ведь в основе действия детей лежало желание, прежде всего, получить дольки яблока равные по величине, а не по форме, и, уж конечно, не поиск способа математически точного деления шара на секторы.

Помимо математических открытий совершаемых детьми в играх и в бытовых действиях для развития математического мышления важны и целенаправленные обучающие мероприятия. Такой разносторонний учебный опыт обеспечит детям широкий доступ к математике.

Предъявление детям математического содержания – абстрактного и символичного, должно соответствовать не только их возрасту, но, и прежде всего, их персональным потребностям и возможностям, осуществляться практично и конкретно.

Большинство детей уже в 3-4 года стремится научиться счету и учится этому вполне успешно. Дети учатся считать креативно и изобретательно, часто пытаются посчитать количество предметов, гораздо большее, чем это доступно их возможностям.

Веринея (2 г.8 мес.) решила заполнить раскладную палатку разноцветными пластмассовыми шариками, предназначенными для сухого бассейна. Взяла маленькое ведерко, попыталась уложить в него несколько шариков. Поместилось только три. Еще несколько попыток упрочили ее понимание: в ведерке должно быть только три шарика, тогда их можно донести до палатки не растеряв. Любопытно то, как определялось отношение девочки к набору шариков: сначала Веринея выбирала три одноцветных шарика и твердо говорила «три», затем в ведерке оказались три шарика разного цвета и вопрос «Сколько ты положила шариков» вызвал у нее секундную заминку. Решение она нашла сама – вытряхнула шарики из ведерка и пересчитала их: «Три! Три!».

В основе представлений о количестве предметов и счете лежат пять принципов: соблюдение соотношения «один к одному» – за каждым считаемым объектом закрепляется только одно числительное; соблюдение стабильного порядка – нужно считать, сохраняя последовательность числительных; относить последнее числительное ко всей группе пересчитываемых предметов; еще один принцип – постижение абстракции – могут быть пересчитаны любые предметы, объекты – груши или яблоки, шаги или звуки; принцип независимости числа от расположения предметов в пространстве и времени и можно начинать счет с любого предмета, пока соблюдаются другие принципы счета. Разделение общего большого количества предметов на группы по пять или 10 единиц может помочь детям в решении этой задачи. Т. е. общее множество представляется в виде подмножеств, образующих повторяющийся и более наглядный образец из «пятерок» или «десяток» единиц. Например, для понимания длительности можно использовать такой наглядный способ, как составление цепочек из скрепок. Начиная с одной скрепки (первый день месяца) каждый последующий день дети берут еще одну скрепку и прикрепляют к предыдущей. Можно составлять цепочки «олицетворящие» неделю (по семь скрепок) или декаду (по десять) или сразу «идти на большой результат» и сделать цепочку из 30 скрепок. Тогда дети прочувствуют, какой длинный месяц, как много в нем дней. Если для каждого месяца подбирать скрепки одного цвета, то можно помочь осмыслению еще более абстрактного понятия – год. Если есть необходимость различения количества будней и выходных дней, то соотношение скрепок в цепочке будет 5 к 2. Важно, чтобы дошкольники поняли то, что в каждой неделе по 7 дней, в каждом сезоне (времени года) по 3 месяца, а в году всегда их 12; что в каждой неделе одинаковый порядок дней, в каждом месяце года одинаковый порядок чисел. В повседневной жизни можно найти множество повторяющихся математических шаблонов – например, календари (настенные плакаты, отрывные), по которым можно проследить последовательность и повторность дней недели и чисел; одинаковую геометрическую форму можно отыскивать в различных предметах – например, книга, телевизор, шкаф и т. п. – прямоугольные; можно обратить внимание детей на то, что у всех детей (взрослых, кукол) по две руки и по две ноги, по два глаза и уха, но один нос.

Раньше или позже в руки детей попадают измерительные инструменты, имеющие математическую оснастку – линейка, рулетка или портновский метр, весы или термометр, которые постепенно из предмета для «подражания действиям взрослых» становятся вспомогательными средствами для выполнения математических действий. Изучая возможности предметного и математического применения этих инструментами, дети на собственном опыте узнают, что это значит – заниматься математикой.

По мере взросления ребенок учится применять имеющиеся математические знания для решения проблем своей повседневной жизни, начинает понимать, как можно узнать время, измерить комнату, посчитать деньги, оформить материалы в коллекции и др. Таким образом, благодаря освоению математического содержания окружающего мира, еще до поступления в школу у большинства детей могут быть развиты предпосылки для успешного учения в школе и изучения математики на протяжении всей жизни.

В международной практике раннего образования (ранним образованием по определению ЮНЕСКО является образование до 8 лет) сформирован подход, который ставит на передний план решение практических задач и развитие логики, а также овладение специальным языком в качестве основы математического мышления. Этот подход нацелен на то, чтобы облегчить детям применение их опыта и знаний в бытовых действиях, а так же в учебных процессах, связанных с математикой. Это подход близок к повседневной жизни детей и ориентированное на их деятельность. Задача педагогов – быть внимательными к действиям и высказываниям детей и оказывать им помощь в виде информации, стимулов, инструментов, правил, обратной связи, совместного анализа учебных процессов, то есть, обеспечивать оптимальное участие детей в деятельности и решении проблемы.

Бытовые и игровые действия детей (в том числе в образовательных проектах любой направленности и любого содержания) достаточно разнообразны, чтобы найти возможности для решения математических задач, требующих применения чисел, критического разбора пространства и форм, а также отдельных операций (например, счета, измерения, взвешивания). Важен педагогический взгляд на соответствующие интеграционные возможности.

3. Способности-предшественники математической деятельности

Бытовое общение взрослых с детьми насыщено математическими категориями. Проговаривая действия свои и/или ребенка взрослые используют такие слова как, например, большой – большая ложка (кукла, рыба, Маша и пр.), маленький (маленькая чашка, книжка, кроватка и пр.), низко-высоко, длинные-короткие, быстро-медленно, далеко-близко; круглый, квадратный, треугольный; под-над-в-за, много-мало, один-два и т. д. Эти определения, вполне рядовые для речи взрослых, многократно повторяются в течение дня в разных ситуациях и входят в обиход (смыслоразличение, смыслопонимание) и в понятийный аппарат ребенка самым естественным образом. Сначала они закрепляются за конкретными предметами/объектами, ситуациями, затем, по мере расширения горизонтов, приходит время уточнения, сопоставления – в одних ситуациях Майя большая (если нужно что-то получить или продемонстрировать свое достижение), в других – Майя маленькая (если устала или не хочется что-либо делать); в чашке было много киселя – стало мало; чашка была одна целая – разбилась и стало много частей (осколков); мячик круглый, кофточка розовая, машина далеко, птичка высоко, мишка под диваном, кукла на полке. Таким образом, еще в раннем возрасте ребенок осваивает категории предшественницы математических понятий – обозначение величины, количества, основных геометрических форм, начинает ориентироваться в пространстве, использует практические действия математической направленности – делит на части, собирает из частей целое, оставляет каракули на листе бумаги «вверху-внизу-сбоку», укладывает куклу «на», прячет мышку «под», убирает игрушки «в», принимает участие в измерении – три ложки сахарного песка, горсть муки, ведро воды и т. п. В то время как многие взрослые считают себя не способными к математике, маленькие дети воспринимают ее открыто и без предубеждения, у них присутствует естественный интерес к формам и числам. Счет, сравнение и расположение по порядку – действия, связанные для них с удовольствием, творчеством и большим ощущением успеха, когда они открывают для себя, что какие-то вещи очень хорошо подходят друг другу.

В зависимости от качества речи взрослых понятийный аппарат ребенка либо обширен и разнообразен, либо беден и однотипен. Кто-то из детей весьма рано начинает применять математические понятия, удивляя взрослых, кто-то приходит к этому значительно позже. Чтобы математика не предъявлялась детям (и, следовательно, не воспринималась детьми) как нечто отстраненное, следует связывать ее с практическими задачами в реальных ситуациях.

12.03.2010. Майя (1 г. 8 мес.). Рисует, сидя за столом (ставит точки измазанным в краске пальчиком) и приговаривает: «Один, один, один, один….». Потом удовлетворенно осматривает листок и с протяжным вздохом завершает: «Мнооооогоооо…».