Операционное исчисление (стр. 2 )

Основная идея операционного исчисления состоит в том, чтобы смотреть на оператор дифференцирования, как на числовой множитель. В соответствии с этой идеей можно

написать

(5)

Отсюда получаем первое операторное представление

(6)

Легко проверить, что можно увидеть в этом равенстве и неформальный смысл:

при t>0

Совпадение с формулой (6) и подтверждает возможность обращения с операторами ¶

и J как с числовыми множителями.

Если видеть в операционном исчислении лишь метод для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то формулы (6) вполне для этого достаточно, если дополнить её следствием, которое получим из (6), дифференцируя это равенство по l:

(7) ,

3. Математический аппарат операционного исчисления

Как оказалось, методы исчисления операционного анализа применимы не только для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, но и для решения интегральных уравнения, разностных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и т. д.

Учитывая это, построим математический аппарат операционного исчисления, который можно использовать и для более простого и короткого решения и линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Уравнение гармонических колебаний

(1)  , ,

имеет очевидное решение:

С помощью корректировки объединим уравнение и начальные условия:

,

Подставляя в уравнение y’’ , запишем дифференциальное уравнение в виде

Операторное решение:

Справа, пользуясь известными формулами Эйлера, находим:

А можно вычислить оба операторных выражения, пользуясь школьной формулой для геометрической прогрессии:

Получаем решение в уже выписанном виде. Совпадение формул является оправданием операционного исчисления.

Аналогично, уравнение с начальными условиями

имеет операторное представление

и операторное решение

,

которое опять можно аналогично предыдущему двумя способами представить в виде:

Начнем составлять таблицу операторных представлений:

, , ,

(2) ,

Если продифференцировать эти равенства по параметру, получим:

, , ,

(3)

Можно дифференцировать эти равенства по параметру и дальше:

(4) , при l=0 отсюда получаем

, что, впрочем, очевидно.

Например, дифференцируя равенства

,

n раз по w, получим:

,

Кто помнит для экспоненты, тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса их преобразование Лапласа, тот может заметить, что все полученные операторные представления имеют форму

(5)

и это не случайно. Действительно, по формуле Эйлера, дающей операционную запись формулы Тейлора,

,

что верно для неурезанных функций при всех t (в области сходимости ряда Тейлора), а для урезанных – при tr0. Здесь оператор выступает как оператор сдвига:

Применим это свойство к дельта-функции:

(6) ,

Таким образом, мы получаем в наше распоряжение таблицу преобразования Лапласа.

Чтобы получить операторное представление функции f(t) , достаточно воспользоваться ее преобразованием Лапласа F(p) .

Связи операционного исчисления с преобразованием Лапласа Хевисайд не заметил, как, впрочем, и все его последователи (во всяком случае мы ничего подобного не слышали). Впрочем, если бы он такую связь заметил, он вместо равенства (5)

написал бы скорее представление

,

где - ступенька Хевисайда, а множитель ¶F(¶) представляет преобразование Карсона. С помощью такой записи можно спрятать дельта-функцию от возможных нападок.

Дифференцирование оригинала.

Достаточно равенство (5) умножить на оператор дифференцирования.

(7) ,

Интегрирование оригинала.

(8)  ,

Теорема запаздывания.

(9) , t ³ 0

Теорема смещения.

(10)

Действительно,

Теперь можем пополнить нашу таблицу:

(11)

(12)

(13)

(14) ,

Дифференцирование изображения.

Дифференцируем по p равенство :

т. е.

(15)

Применяем эту формулу n раз:

(16)

Интегрирование изображения.

Проинтегрируем, если это возможно, равенство

по p от p до ¥ :