Операционное исчисление (стр. 3 )

т. е.

(17)

Теорема подобия.

(18) ,

Пусть . Введем t=at. Очевидно, , .

Теорема Бореля о свертке.

(19)

Доказательство. Интеграл слева называется сверткой двух функций: f*j=j*f,

как легко проверить.

Теорему Бореля о свертке можно применить к формуле (8) и n-кратное интегрирование

заменить однократным:

Интеграл Дюамеля.

Подействуем на формулу Бореля оператором ¶:

(20)

Если переставить местами f и j, получим вторую формулу Дюамеля:

(21)

Теорема взаимности. Если f(t)=F(¶)d(t) и j(t)=F(¶)d(t) , то

(22) f(t)=[F(¶)/F(¶)]j(t) или F(¶)f(t)=F(¶)j(t)=f*j

Операторное представление степени.

Будем исходить из интегрального представления гамма-функции:

, Rel>0

Сделаем замену переменной интегрирования x=pt и перепишем эту формулу так:

Интегрировать можно по-прежнему по вещественной оси.

Мы видим, что есть Лапласов образ функции . Отсюда:

(23) , Rel>0

По теореме о свертке

, Rel>0

Эта формула определяет оператор интегрирования комплексного порядка l.

Формула Меллина.

Её знал ещё Риман:

(24)

Операторный вывод ее совсем короткий. Воспользуемся тем, что

в области, где F(z) является аналитической функцией.

При действии на exp(zt) ряда по степеням функция exp(zt) проходит налево, заменяя каждый оператор на z. Для дельта-функции возьмем разложение в интеграл Фурье:

, где

Поэтому

Действия довольно смелые, на инженерном уровне строгости, но, как это обычно и бывает с дельта-функцией, сразу приводят к нужному результату. Здесь - любое вещественное число, такое, что F(z) является аналитической функцией без особенностей при . Интеграл понимается в смысле главного значения.

Произведение оригиналов.

Пусть f(t)=F(¶)d(t) и g(t)=G(¶)d(t). Получим операторное представление их произведения. Выражая f(t) по формуле Меллина, получаем:

Экспоненту exp(zt) перед дельта-функцией в выражении справа можно опустить, так как она равна единице при t=0 . Окончательно имеем:

(25) 

Фундаментальное тождество.

(26) 

Его можно усмотреть в теореме смещения:

,

если выписать перед множитель , который ни на что не влияет, если разложение ведется по оператору интегрирования.

С помощью этого тождества можно вывести большинство формул разделов 2 и 3,которые были выведены традиционным для математического анализа способом. Новый способ иногда более краток, и к тому же более характерен для операционного исчисления. Например,

и т. д.

4. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Этот раздел отдадим уравнению

, , ,

где параметры, а - известная функция. Будем считать, что p и q не равны нулю одновременно (в этом случае решение уравнения y’’=f(t) мы уже знаем). Проведем корректировку уравнения:

,

Подставим отсюда штрихованные производные в уравнение, перенеся в правую

часть слагаемые с начальными условиями и полагая

(1) ,

что дает решение в операционной форме:

(2)

Выделим три возможных варианта:

а) . По формулам (3.11), (3.12) и теореме о свертке можем сразу написать решение

(3)

Первые два слагаемые можно представить в ином виде, который предпочитают физики и техники, если ввести новые коэффициенты M и j:

, .

Тогда

Третье слагаемое требует интегрирования. Например, при

интеграл вычисляется без принципиальных трудностей, но довольно громоздко.

В таких случаях не стоит доверять своей внимательности и всегда можно воспользоваться формулой из справочника интегралов. В нашем случае мы получим:

Если p=0, w=Öq и w ≠ , то решение имеет вид:

(4)

Если , то решение можно найти из последней формулы по правилу Лопиталя при :

Здесь мы встретились с явлением резонанса: амплитуда колебаний неограниченно возрастает.

Рискнем дать объяснение так называемому полтергейсту, которому стараются иногда придать мистический смысл. Уличный и подземный транспорт, работающие станки на соседних предприятиях являются источниками внешнего воздействия.

Если собственные частоты конструкций домов совпадают с частотами внешнего воздействия, то в отдельных комнатах резонанс может вызвать пляску мебели и танцы посуды в шкафу без видимых причин.

Рассмотрим теперь два других случая для значений параметров в уравнении (1).

б) . В этом случае решение выражается через гиперболические функции:

(6)

в) . Этот вырожденный случай можно получить из пунктов а) и б) по правилу Лопиталя при w → 0 или m → 0:

(7)

Есть еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами без разложения на простейшие дроби. Этот способ основан на теореме о свертке.