Операционное исчисление (стр. 4 )

Пусть нужно решить уравнение второго порядка, имеющее после корректировки

стандартный вид (1):

(8)

Пусть корни полинома равны:

(9) ,

Операторное решение:

(10)

По теореме о свертке

(11)

Рассмотрим три случая:

а) , , ,

Выполняя интегрирование в формуле (11), найдем:

(12)

=

=

=

что совпадает с формулой (3).

б) , , ,

По формуле (12) решение в этом случае

(14)

=

= ,

что совпадает с формулой (6).

Наконец, если

в) , т. е. - единственный корень двойной кратности, то по формуле (11)

(15)

= ,

что совпадает с формулой (7).

Преимущества, которые имеет операционное исчисление перед классическими методами, отчетливо видны на примере этого параграфа: эквивалентный материал изложен в знакомом преподавателям технических вузов со стажем старом учебнике “Дифференциальное и интегральное исчисление” и занимает там не две-три страницы, как у нас, а тридцать страниц. Повторное изложение методом операционного исчисления на основе преобразования Лапласа занимает там же восемь страниц.

5. Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Можно решать линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами,

не проводя разложения на простейшие дроби, пользуясь лишь теоремой о свертке, как это было показано в предыдущем параграфе на уравнениях второго порядка.

После корректировки уравнение n-го порядка принимает форму:

(1)

где

(2) ,

, , k=1,2,…,n-1

Пусть полином имеет r различных корней с кратностью ,

:

Операторное решение уравнения (1)

(3)

По теореме о свертке выражение

является сверткой r функций , j=1,2,…,r.

Если все кратности , то прямым вычислением найдем

(4)

Подстановка этого представления в формулу (3) дает нам решение уравнения (1) в виде

(5)

Если же не все кратности равны 1 , то

(6) ,

что очевидно следует из (4). Здесь , k=1,2…r.

Производные по корням полинома в (6) следует понимать как производные от соответствующей функции по её аргументу с последующей подстановкой корня вместо аргумента. Решение уравнения (1) получим, подставив это представление в формулу (3):

(7)

Стоящий в квадратных скобках интеграл часто вычисляется совсем просто. Иногда

стоит воспользоваться справочником интегралов.

Структура решения понятна без всяких теорем. Если нужно иметь общее решение, достаточно считать произвольными константами начальные условия

. Если положить их равными нулю (при этом полином ), то получим решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными данными. При получим решение однородного уравнения.

6. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

с постоянными коэффициентами.

Пусть функции удовлетворяют системе уравнений первого порядка

(1)

при начальных условиях .

Здесь - заданные числа, а - известные функции. Перейдем к матричной форме записи:

Будем искать решение в классе усеченных функций: считаем, что и равны нулю при t<0. Проведем знакомую нам операцию объединения уравнения с начальными условиями:

Операторное решение этой системы

(2)

Матрица является частным от деления матрицы , элементами которой являются алгебраические дополнения, на определитель

где - собственные числа матрицы A, а - их кратность, . Как мы установили в разделе 5,

где

Решение системы (1) принимает вид

(3)

Это решение имеет более простой вид для однократных корней ():

(4)

Однородное уравнение () имеет решение

(5)

а в случае однократных корней

(6)

Последние формулы позволяют сделать заключение об устойчивости решений по Ляпунову: если все корни отрицательны, либо имеют отрицательные вещественные части, то решение устойчиво; если есть хотя бы один корень - положительный, либо с положительной вещественной частью, то решение неустойчиво; если есть корни, у которых вещественная часть равна нулю, то решение устойчиво, если кратность таких корней равна единице, и неустойчиво, если среди них есть хотя бы один корень с кратностью .