Операционное исчисление (стр. 5 )

В качестве проверки найдем по формуле (3) решение уравнения n–го порядка

, ,

которое мы заменим системой n уравнений первого порядка для n функций

где - известная функция,

Матрица здесь равна:

(7)

Нетрудно вычислить её определитель:

где корни полинома , и элементы первой строки матрицы алгебраических дополнений

которые оказываются равны

……………………………………………………………………………………………

По формуле (3) получаем решение уравнения n-го порядка в виде

(8)

где полином не выше (n-1) порядка равен

с коэффициентами

,

что в точности совпадает с уже найденным в разделе 5 решением.

Заключение

Настоящая статья проводит ревизию операционного исчисления, как его понимал Хевисайд и его последователи. Мы старались устранить неясности, ошибки и двусмысленности. Например, те исследователи, которые наводили порядок в исчислении Хевисайда, не заметили, что в пространстве усеченных функций операторы дифференцирования и интегрирования коммутируют и являются взаимно обратными. Особой нашей заботой было упрощение вычислений в операционном исчислении, и нам кажется, что это нам удалось: обычно решение задачи состояло из двух этапов: найти уравнение для изображения, которое оказывалось алгебраическим, решить его, затем вернуться в пространство оригиналов. Оба эти этапа требовали обращаться к преобразованиям Лапласа. Мы объединили оба этих этапа в один. В результате нам не пришлось вводить замены знаку равенства в виде стрелок и точек, что выделяло операционное исчисление из всех разделов математического анализа. Нам не пришлось разделять однородные и неоднородные уравнения и строить решение из общего решения однородного уравнения и неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Нам не понадобилось специально удовлетворять начальным данным, которые выполняются автоматически.

Задачники и учебники полны примерами на уравнение второго порядка. В нашем случае эти задачи потеряли всякий смысл, так как решение состоит из подстановки исходных данных в готовое решение. Нам не понадобилось понятие линейной независимости и не было нужды во всех связанных с этим понятием теоремах. Мы сумели обойтись без разложения рациональных функций на простейшие дроби, заменив эту операцию дифференцированием.

Несколько слов об авторах статьи. Мы окончили более сорока лет назад петербургский университет, один по специальности теоретическая физика, другой – по специальности математическая физика. Текст настоящей работы написан вторым автором, и все погрешности изложения надо отнести на его счет. Первый автор был инициатором работы. Именно он заметил прямую связь исчисления Хевисайда с преобразованием Лапласа в виде

f(t)=F(¶)δ(t).

Эта формула ускользнула от внимания самого Хевисайда, а у нас она стала основной, причем она появляется естественным образом, и преобразование Лапласа не кажется притянутым за уши, как в классическом обосновании операционного исчисления.

Авторы не договорились выступить с общим текстом по совершенно непринципиальным соображениям: одного раздражает слишком легкомысленное отношение второго к расходящимся рядам и интегралам, другой считает, что если основная идея высказана, то на этом можно остановиться: подробная её реализация приводит к громоздким формулам, которые только затемняют и маскируют кристальную простоту исходной идеи. Понимание данной работы первым автором изложено в его статье в первом выпуске этого журнала.

Математика как никакая другая наука порождает педантов и педантизм. Появилась целая армия математиков, которые могут читать чужую работу до первой ошибки, либо до первой нестрого доказанной формулы. Таким читателям мы советуем вообще не открывать нашу работу, написанную всего лишь на инженерном уровне строгости. Именно такие люди отравили последние двадцать лет жизни гениальному Оливеру Хевисайду и довели его до полного непризнания и абсолютной нищеты.

Именно их любовь к математической строгости позволила отнять у него два его великих изобретения: дельта-функцию и эквивалентность массы и энергии – знаменитую формулу .

ЛИТЕРАТУРА

1. O. Heaviside. Proc. Roy. Soc., v.52, p. 504, 1893.

2. O. Heaviside. Proc. Roy. Soc., v.54, p. 105, 1894.

3. Г. Джеффрис, Б. Свирлс. "Методы математической физики",

Вып.1, Москва, Наука, 1969, стр.374.

4. Р. Курант, Д. Гильберт. "Методы математической физики",

Гостехиздат,1951.