Операционное исчисление (стр. 1 )

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:

ВОЗВРАЩЕНИЕ К ХЕВИСАЙДУ.

,

ФТИ им , СПБ Технический Университет

e-mail: sergei. *****@***ioffe. rssi. ru}

1.Введение

Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое количество предвзятостей, предрассудков, ошибок и несправедливостей. Наша задача - исправить ошибки и неточности, воздать должное Оливеру Хевисайду и сделать дальнейшие шаги в указанном им направлении.

Хевисайд начинал как инженер-телеграфист. К математике он относился не как к царице наук, а как к служанке техники. Ему приходилось много решать обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и он изобрел простой и краткий путь их решения, не заботясь о его формальном обосновании. Главная идея его состояла в том, чтобы обращаться с оператором дифференцирования как с числовым множителем, что сводило дифференциальные уравнения к алгебраическим. Уже здесь профессиональные математики обвинили его в произвольности и необоснованности его действий, хотя можно было смотреть на его метод как на эвристический и, каким бы парадоксальным он ни казался, можно было в каждом отдельном случае простой проверкой убеждаться, что полученное им решение верное. Вкравшиеся в его вычисления мелкие погрешности начали выдавать

за принципиальный порок его действий. Так Джеффрис [1] увидел главный источник ошибок Хевисайда в том, что операторы дифференцирования ∂ и интегрирования J не коммутируют. Этот же аргумент повторили Курант и Гильберт в своем знаменитом учебнике "Методы математической физики" [2]. Их логика выглядела так:

тогда как,

что и доказывает некоммутативность операторов, если f(0)≠ 0.

Они забыли, что Хевисайд решал свои уравнения в классе урезанных функций, так называемых оригиналов. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищется среди функций, равных нулю на отрицательной полуоси. Все эти функции при f(0)≠0 имеют в нуле скачок, и при дифференцировании появляется дельта-функция: (d/dt)f(t)=f’(t)+f(0)δ(t), что приводит к коммутативности интегрирования и дифференцирования:

Операторы дифференцирования и интегрирования становятся взаимно-обратными и однозначными. Именно здесь лежит причина, заставляющая искать решение в классе функций, которые равны нулю при t<0. Непонимание этого обстоятельства поставило авторов, излагавших метод Хевисайда, в несколько комичное положение: если Хевисайд мог объяснять условие f(t)=0 при t<0 тем, что в момент t=0 включается аппаратура, в которой при t<0 нет никакого сигнала, то его последователи широко применяли его метод и не в электротехнике, причем в их случае часто бывало f(t)≠0 при t<0 . Они приводили обычно не математические аргументы в пользу усекновения функций, например, что их не интересует решение при t<0, и проще всего положить его равным нулю. Причем в дальнейшем они не интересовались отрицательной полуосью, и их довод казался вообще ненужным.

Появившуюся здесь дельта-функцию изобрел именно Хевисайд, но не стал ее выпячивать, чтобы не дразнить математических гусей и настолько хорошо ее спрятал, выдвинув вперед функцию единичного скачка, θ(t)=0, t<0; θ(t)=1, t≥0, что именно эту функцию стали называть функцией Хевисайда, в то время как ее производная появилась лишь спустя несколько десятилетий в книге Дирака по квантовой механике и получила быстрое признание у физиков и техников, так как значительно укорачивала нужные выводы. Более сорока лет назад мы присутствовали на докладе Дирака в Ленинграде, но не интересовались тогда операционным исчислением и сожалеем, что не спросили его, знал ли он об истинном изобретателе дельта-функции. Ему, во всяком случае, не на что было сослаться, и, возможно, он не догадывался о значении, которое приобретет в дальнейшем дельта-функция. Математики долго игнорировали ее и после Дирака. Наше поколение физиков и математиков выросло на учебниках и по математическому анализу, где дельта-функция вообще не упоминалась. Ну, спрашивается, что это за функция, которая всюду равна нулю, кроме точки ноль, где она принимает значение +∞, и "площадь" под этой точкой в точности равна единице? Математики не успокоились, пока не придумали теорию обобщенных функций, в которой дельта-функция появилась уже как функционал, сопоставляющий функции ее значение в нуле. Теория обобщенных функций заняла свое место в математике, но привлекать ее в качестве обоснования операционного исчисления - значит стрелять из пушки по воробьям.

В двадцатые годы прошлого века строгое обоснование операционного исчисления увидели в преобразовании Лапласа:

где p - комплексный параметр. Каждому оригиналу f(t) отвечает его образ F(p), его преобразование Лапласа. Если f(t) может иметь разрывы, быть не дифферен-цируемой, то F(p) - аналитическая функция. Самое главное, что дифференцирование оригиналов соответствует умножению их образов на p, интегрирование - делению на p, и дифференциальные уравнения для оригиналов превращается в алгебраические для их образов. Находится образ решения, а затем соответствующий оригинал дает решение задачи.

Мы начнем с изложения операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, отдав должное дельта-функции, причем у нас есть возможность искать решение сразу, не выделяя два этапа: находить сначала образ решения, а затем приходить по нему к самому решению, при этом не придется при решении неоднородных уравнений искать отдельно решение однородного уравнения с заданными начальными условиями, а затем добавлять к нему решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Как ни в какой другой области теории дифференциальных уравнений, уравнения и начальные условия сливаются в одном уравнении.

2. Основная идея операционного исчисления.

Рассмотрим класс функций, тождественно равных нулю при t<0. Сначала пусть это будут бесконечно-дифференцируемые функции, которые могут иметь единственный конечный скачок при t=0. Простейшее дифференциальное уравнение

(1) ,

представляет основную задачу интегрального исчисления. Здесь f(t) – оригинал,

а решение ищем тоже в классе оригиналов. Если мы хотим иметь решение также и в точке t=0 , нам придется ввести различие в обозначение производной: оператор дифференцирования, действующий на оригинал, в нуле порождает дельта-функцию

(2)  ,

где при t ³ 0 и y’=0 , при t < 0

Уравнение (1) принимает форму

(3) 

Введем оператор интегрирования

, "e > 0 ,

который является однозначным и взаимно обратным с оператором дифференцирования.

Убедимся в этом

Удобно обозначать оператор интегрирования как J=1/¶.

Если пара этих операторов встречается рядом, то можно их произведение заменять

единицей

Уравнение (3) решается сразу:

Это и есть общая формула для первообразной: если не задано, то можно считать это число произвольным.

Решим более общее уравнение

,

Вспомним формулу Тейлора с интегральным остатком:

Формулировка задачи Коши дает все, что нужно, для записи решения:

Другое простое уравнение получим из таблицы производных:

(4) ,

Оно имеет очевидное решение

Начнем с замены штрихованной производной на ¶y. Этот процесс будем называть корректировкой уравнения:

, т. е.

Уравнение вбирает в себя и начальное условие. Решение существует, и оно единственно, как это следует из теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.