Рабочая тетрадь по начертательной геометрии (стр. 4 )

5.  Пересечение сферы плоскостью.

Все рассмотренные геометрические фигуры – точки, линии, поверхности, - располагаясь в пространстве, занимают различное положения отностительно друг друга. Задачи, связанные с определением взаимного положения геометрических фигур, называют позиционными.

Они включают:

- задачи на принадлежность;

- задачи на пересечение.

К задачам на принадлежность относятся задачи на определение принадлежности: точки линии - A∈ℓ ; точки поверхности – А∈ Ф, (А ∈ α); линии поверхности - ℓ∈ Ф, (ℓ ∈ α).

К задачам на пересечение относятся:

а) задачи на пересечение поверхностей Ф1 ∩ Ф3= m; Ф2 ∩ Ф3= n;

б) пересечение прямой с поверхностью ℓ ∩ Ф=К.

Рассмотрим случаи, когда пересекающиеся геометрические образы (или один из них) занимают частное (проецирующее) положение. При рассмотрении свойства проецирующих плоскостей установлена важная особенность: «любой геометрический образ, лежащий в проецирующей плоскости, проецируется на плоскость ей перпендикулярную, совпадая с основной проекцией этой плоскости».

Задача 1: Определение точки пересечения К прямой ℓ с плоскостью α

Анализ: ________________________________ ________________________________ ________________________________ Решение: ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________

При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением, а её границу называют линией сечения.

При пересечении поверхностей вращения, в общем случае, получается плоская кривая, принадлежащая секущей плоскости. При пересечении гранных поверхностей, в общем случае, получается замкнутая ломаная линия.

Рассмотрим построение линий сечения цилиндрической, конической, сферической поверхностей плоскостью.

Пересечение цилиндрической поверхности вращения плоскостью

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пересечение конической поверхности вращения плоскостью

__________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________ ________________________________

__________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________ ________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Пересечение сферы плоскостью

_________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________

________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________

Лекция №7

Пересечение поверхностей вращения

1.  Пересечение фигур в частных случаях.

2.  Пересечение геометрических фигур в общих случаях: способ плоскостей – посредников.

3.  Пересечение геометрических фигур в общих случаях: способ сфер – посредников.

4.  Соосные поверхности вращения.

5.  Особые случаи пересечения поверхностей.

В частных случаях общий элемент строят по условию принадлежности его обеим пересекающимся фигурам с использованием собирательного свойства основной проекции. Это свойство приобретает следующий вид: ортогональные проекции общего элемента пересекающихся фигур, из которых обе или одна проецирующие совпадают с основной проекцией.

Дано: Фк – общего положения;

Фц - ^ π1

Построить: Фк ∩ Фц = ℓ(1…4)

Алгоритм решения: _______________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________

Линия пересечения двух поверхностей_____________________________________

____________________________________________________________________

Анализ: _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ Алгоритм решения: _______________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________

Построение линии пересечения поверхностей вращения в общем случае способом плоскостей – посредников

Анализ: _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ Алгоритм решения: _______________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________

Построение линии пересечения поверхностей вращения в общем случае способом сфер – посредников (самостоятельное изучение)

Анализ: Ф1 –коническая поверхность, Ф2 - цилиндрическая поверхность. Алгоритм решения: 1.Находим опорные точки А и В; 2.Определяем центр О секущих сфер, как точку пересечения осей заданных поверхностей; 3.Определяем наибольший (максимальный) Rmax радиус сферы, радиус Rmax сферы равен расстоянию от точки О" до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих. Rmax = О" А"; 4.Определяем наименьший (минимальный) Rmin радиус секущей сферы, радиус Rmin сферы равен отрезку перпендикуляра, опущенного из точки О" на образующую конуса. Rmin = О"С"; 5.Находим линии (окружности) пересечения сферы радиусом Rmin с каждой из заданных поверхностей (CD и EF); C"D" пересекаются с E"F" в точках 1, 11, (1"º1"1); 6.Горизонтальные проекции находим на горизонтальной проекции окружности CD, (1', 1'1 Î окр. С'D'); 7.Проводя из точки О(О") ряд вспомогательных секущих сфер радиусами в пределах от Rmax до Rmin и выполняя необходимые построения, аналогичные построениям при нахождении точек 1, 11, можно получить ряд точек, принадлежащих искомой линии (это точки 2, 21, 3', 3'1).

Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось вращения

Свойство: соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям.

Теорема Монжа:_______________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Построить линию пересечения

Список литературы:

1. Гордон начертательной геометрии: учебное пособие для втузов/ , -Огневский; под ред. . М.: Высшая школа 2004.

2. Фролов геометрия.: учебник/ , М.:ИНФРА – М, 2007.

3. Чекмарев геометрия и черчение.: учебник для студ. Высших учебных заведений/ . М.: Гуманит. изд. центр «Владос», 2003.

Рабочая тетрадь по начертательной геометрии (для записи курса лекций для студентов первого курса дневной и заочной формы обучения)

под. общ. ред.

(составление)

«ИжГТУ имени »

ИжГТУ. 426069, Ижевск, Студенческая, 7