Математика (стр. 2 )

; ;

б) если , то

;

Ответ: а) , ; б) , .

2. Округлить число до семи, шести, пяти и т. д. десятичных знаков и до целого числа.

Решение. Округляем по порядку: (так как первая из отброшенных цифр равна 5, остальные нулевые, а последняя оставшаяся нечетная); (первая из отброшенных больше 5); (первая
из отброшенных 5, а среди остальных есть ненулевые); (первая отброшенная меньше 5); ; ; ; .

3. Вычислить верные значащие цифры чисел: а) x = 0,004507; ; б) x = 9,999785; ; в) x = 0,0208700; .

Решение. В записи рассматриваемых чисел подчеркнем верные значащие цифры:

а) 0,004507, так как ;

б) 9,999785, так как ;

в) 0,0208700, так как .

4. Стороны треугольника a = 17,3 см, b = 23,6 см, c = 14,2 см измерены с абсолютной погрешностью см. Определить абсолютную погрешность и пределы относительной погрешности периметра треугольника.

Решение. см, . Таким образом, (последняя цифра в числе 55,1 сомнительная, так как ). Теперь вычислим относительные погрешности сторон

Пределы изменения относительной погрешности равны: .

5. Ребра прямоугольного параллелепипеда a = 4,3 см, b = 1,6 см,
c = 2,8 см измерены с абсолютной погрешностью см. Определить абсолютную и относительную погрешность вычисления его объема .

Решение. ;
Тогда . Так как ,
то в верна лишь цифра десятков, а остальные цифры сомнительные.

Задачи для самостоятельного решения по теме 1

1. Найти абсолютные и относительные погрешности числа , заданного двумя и тремя цифрами после запятой.

2. Округлить число до шести, пяти и т. д. десятичных знаков и до целого числа.

3. Вычислить верные значащие цифры чисел: а) x = 0,004507; ; б) x = 12,396; ; в) x = 0,037862; .

4. Стороны прямоугольника равны a = 3,3 см, b = 5,2 см. Найти
а) абсолютную погрешность периметра и площади прямоугольника;
б) определить пределы изменения относительной погрешности периметра.

Тема 2. Методы решения алгебраических уравнений

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где р — цена продукции. Найти равновесную цену .

Решение. Для поиска нужно решить уравнение или . Воспользуемся методами решения алгебраических уравнений, рассмотренных в Л2.

Получим решение методом дихотомии и методом Ньютона.

Для применения метода дихотомии нужно указать отрезок, в котором находится корень уравнения. Поскольку и ,
то на отрезке по теореме 1 из Л2 функция имеет хотя бы один корень. Погрешность вычислений зададим равной 0,5. В табл. 1 приведены итерации метода дихотомии.

Таблица 1

Итерация №
1	160	170	165	10
2	165	170	167,5	5
3	165	167,5	166,25	2,5
4	165	166,25	165,625	1,25
5	165,625	166,25	165,9735	0,625
6	165,625	165,9735	165,78125	0,3485

Поскольку , вычисления можно закончить и положить .

Для применения метода Ньютона нужно задать начальную точку.
Выберем . Далее используя алгоритм метода Ньютона (см. [Л2.4])

,

получим значения, которые приведены в табл. 2. Здесь . Условием окончания итерационного процесса выберем .

Таблица 2

Итерация №
1	160	—	—
2	165,892	5,892	0,267
3	165,953	0,055	0,0027

Методом Ньютона найдена точка . Этот метод сходится значительно быстрее метода дихотомии, но для его реализации потребовалось вычисление производной функции . Кроме того, проверка достаточного условия сходимости метода: является задачей достаточно сложной. Для нашей задачи это условие выполнено, по крайней мере, на отрезке .