Математика (стр. 5 )

(1, 2) (2, 2) (4, 2) 6,964 8 8,676

(2, 1) (2, 2) (2, 4) 4,595 8 11,065

Теперь по формуле (Л6.1) вычисляем производные на отрезке :

Приближенное значение равно для и. Тогда значение в точке (2, 2) равно.

Для сравнения приведем точное значение. Значения в таблице были вычислены для производственной функции Кобба-Дугласа (см. [5 ,6]). Для нее

; .

Отсюда видно, что аппроксимация частной производной по переменной L оказалась недостаточно точной, и значения различаются на единицу.

Задачи для самостоятельного решения по теме 6

1. Найти приближенное значение предельной нормы замещения труда фондами в точке и. Значение валового выпуска X вычислить для функции в трех точках K и L, равных. Сравнить приближенное значение с точным.

Тема 7. Численное интегрирование

Пусть функция описывает производительность предприятия после модернизации с течением времени t, где t — число месяцев. Требуется найти объем продукции, произведенный в третьем месяце после модернизации производства.

Решение. Объем продукции будет равен интегралу. Для его вычисления воспользуемся формулой трапеций и формулой Симпсона.

Вычислим интеграл по формуле трапеций. Зададим точность вычислений и определим шаг интегрирования, необходимый, чтобы обеспечить требуемую точность. Шаг интегрирования определяется условием (см. Л7): , т. е. . Найдем. Дифференцируя, получаем.
Эта производная является монотонно убывающей функцией, поэтому
она достигает максимума в точке. Таким образом,
и. Примем и вычислим значение функции в точках, , :

; ; ;

; ; .

Тогда по формуле (Л7.8) имеем:

Точное значение интеграла, тогда фактическая погрешность равна.

Вычислим интеграл по формуле Симпсона с точностью. Аналогично методу трапеций найдем шаг интегрирования из неравенства (см. Л7). , т. е. . Примем, тогда по формуле (Л7.9) имеем:

Фактическая погрешность равна. Шаг интегрирования по формуле Симпсона получился более чем в два раза крупнее шага, соответствующего формуле трапеций, несмотря на то, что точность вычислений была в 25 раз меньше. Это является следствием того, что формула Симпсона имеет четвертый порядок аппроксимации, а формула трапеций — второй. В связи с повышенной точностью формулы Симпсона она нашла широкое применение в вычислительной практике.

Задачи для самостоятельного решения по теме 7

1. Пусть функция Лоренца, выражающая зависимость неравномерного распределения доходов в обществе, имеет вид, где — доля населения с наименьшими доходами. Чем больше отклоняется от прямой, тем более неравномерно распределены доходы населения. Степень этой неравномерности выражает коэффициент Джинни. Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеций и формуле Симпсона с точностью и сравнить с точным значением интеграла, найденным аналитически.

2. Пусть кривая спроса имеет вид, а кривая предложения, где — объем товара. Определить, используя формулу Симпсона, выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков, где — точка равновесия, т. е. в этой точке. Шаг интегрирования выбрать равным 1. Вычислить фактическую погрешность, сравнив приближенное решение с точным, найденным аналитически.

Тема 8. Метод статистических испытаний

Вычислить методом Монте-Карло интеграл

Точное значение этого интеграла равно. Используем для вычисления интеграла две различные случайные величины : с постоянной плотностью (т. е. равномерно распределена в интервале ) и с линейной плотностью. Линейная плотность лучше соответствует рекомендации о том, что желательна пропорциональность и (см. тему 8 плана-конспекта лекционного курса). Поэтому можно ожидать, что второй способ вычисления даст лучший результат.

1. . Формула для вычисления интеграла имеет вид

Пусть. Смоделируем десять реализаций равномерной СВ
на отрезке. Для этого нужно взять реализации равномерной СВ
на отрезке [0,1] и умножить их на величину. Промежуточные результаты сведены в табл. 9. Результат расчета: .

Таблица 9

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,359	0,250	0,124	0,889	0,243	1,043	0,542	1,029	1,275	0,521
	0,978	0,247	0,124	0,776	0,241	0,864	0,516	0,857	0,957	1,498

2. . Для разыгрывания используем формулу (Л8.1)
из конспекта:

откуда после несложных вычислений получим

Формула для вычисления интеграла принимает вид

Пусть. Смоделируем десять реализаций равномерной СВ. Промежуточные результаты сведены в табл. 10. Результат расчета: .

Таблица 10

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,865	0,159	0,079	0,566	0,155	0,664	0,345	0,655	0,812	0,332
	1,461	0,626	0,442	1,182	0,618	1,280	0,923	1,271	1,415	0,905
	0,680	0,936	0,968	0,783	0,937	0,748	0,863	0,751	0,698	0,868

Как и предполагалось, второй способ вычисления дал более точный результат.

По значениям, приведенным в таблицах, можно приближенно вычислить дисперсии для обоих случаев расчета (см. [Л8.8]). Для метода 1

Для метода 2

Несмотря на то, что значение невелико и приближенная
нормальность оценки (Л8.7) из конспекта не гарантирована, вычислим
для обоих методов величины для. Получим значения 0,103 и 0,027. Видно, что фактические абсолютные погрешности при расчете интеграла, равные 0,048 и 0,016 (получены вычитанием точного значения интеграла и приближенного значения), — величины того же порядка. Заметим, что точные значения в рассмотренном примере равны 0,233
и 0,0166. Таким образом, и при оценке дисперсий второй метод оказался точнее первого.

Задачи для самостоятельного решения по теме 8

1*. Вычислить методом Монте-Карло интеграл

Тема 9. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений

Пусть известно, что производственная функция является
линейно однородной, а предельная норма замещения труда фондами, где k — фондовооруженность. Кроме того, в точке
и равна 2. Найти значение валового выпуска в точке.

Решение. Чтобы решить задачу, нужно найти выражение для функции. Поскольку является линейно однородной, то для нее зависит только от фондовооруженности (см. [5]) , а именно, где функция задается уравнением.
Теперь для решения задачи достаточно определить из дифференциального уравнения с начальным условием.
Это уравнение можно решить аналитически и получить функцию, после этого вычислить. Мы решим это уравнение численно с помощью метода Эйлера (см. Л9) на отрезке с начальным условием и шагом.

Преобразуем исходное уравнение к виду:

.

Основная формула метода Эйлера (Л9.12) в нашем случае имеет вид:

Результаты вычислений представим в табл. 11 вместе с точными значениями, полученными из аналитического решения уравнения.

Таблица 11

n
0	1	2	2
2	1,4	2,383	2,366
4	1,8	2.712	2,683
5	2	2,863	2,824
7	2,4	3,142	3,098
9	2,8	3,399	3,347
10	3	3,520	3,464
12	3,4	3,741	3,688
14	3,8	3,958	3,899
15	4	4,062	4

Вычислим приближенное значение валового выпуска. Видно, что решение методом Эйлера дает завышенное значение, но достаточно точное.

Задачи для самостоятельного решения по теме 9

1. Пусть — линейно однородная производственная функция
с предельной нормой замещения труда фондами. Кроме того, в точке и равна. Найти значение валового выпуска в точке.

Указание: Дифференциальное уравнение решить аналитически
и методом Эйлера с шагом.

Тема 10. Задача оптимизации

1. Для функции вычислить градиент и матрицу Гессе в точках, .

Решение. По определению градиента и матрицы Гессе (см. Л11) имеем:

, ,

,

,

,.

2. Исследовать выпуклость функции на множестве.

Решение. Если матрица Гессе, то функция является
выпуклой. Вычислим матрицу Гессе: . По критерию Сильвестра исследуем матрицу. Для этого вычислим угловые миноры матрицы, . Поскольку оба минора больше нуля,
матрица Гессе будет положительно определенной, а функция
выпуклой.

3. Проверить условие Липшица (см. теорему 3 из Л11) для функции на отрезке.

Решение. Условие Липшица имеет вид. Если функция имеет непрерывную производную, то константа Липшица задается равенством . В нашем случае константа Липшица, следовательно, .