Математика (стр. 6 )

Задачи для самостоятельного решения по теме 10

1. Для функции вычислить градиент и матрицу Гессе в точках, .

2. Исследовать выпуклость функции на множестве.

3. Проверить условие Липшица для функции на отрезке.

Тема 11. Численные методы безусловной оптимизации

1. Рассмотрим задачу Марковица построения оптимального инвестиционного портфеля ценных бумаг. Математическая формулировка задачи имеет вид:

.

(11.1)

Здесь (xi,…,xn)T, где n — количество ценных бумаг; xi — доля
капитала, инвестированного в бумаги i-го типа; — доля капитала, вложенная в безрисковую ценную бумагу с доходностью ; , где — доходность i–ой бумаги; , где — риск портфеля; — ожидаемая доходность портфеля; — ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг; . Матрица V и вектор M считаются известными.

Поскольку задача (11.1) является многокритериальной, то поступают следующим образом: фиксируют значение квадрата риска или ожидаемую доходность и решают полученную задачу оптимизации.

Решим задачу (11.1) при фиксированном значении.

Решение. Задача имеет вид:

.

(11.2)

Поскольку задача содержит ограничения только в виде равенств,
с помощью функции Лагранжа (Л12.4) приведем эту задачу к задаче без ограничений. Так как градиенты ограничений задачи линейно независимы, то. Выпишем функцию Лагранжа:

.

Тогда из необходимых условий экстремума (Л12.6) имеем:

.

Выражая из второго уравнения, получим. Подставим его в первое уравнение, тогда. Следовательно,

.

(11.3)

Исключая из ограничений, получим. Подставим сюда выражение (11.3):

.

Обозначим, тогда, подставляя в (11.3), получим

.

Вычислим риск :

.

Из этого равенства следует, что риск оптимального портфеля зависит от линейно.

2. Методами градиентного и покоординатного спуска с постоянными шагами найти локальный минимум функции.

Решение. Будем продолжать итерационные процедуры до тех пор,
пока не будут выполнены два неравенства

,

где k — номер итерации, а точность.

Условия сходимости алгоритмов для этой функции выполнены
(см. теоремы 3 и 4 из Л11). Сначала найдем точку методом градиентного спуска с постоянным шагом [см. Л11 и формулу (Л11.8)].

0. Пусть, . Градиент функции.

1. Вычислим. Зададим начальный шаг.

Вычислим ; .

Сравним с. Имеем. Вывод: условие не выполнено, нужно уменьшить шаг. Зададим
и повторим первую итерацию.

Вычислим ; .

Сравним с. Имеем. Вывод: увеличим k на 1
и перейдем ко второй итерации.

2. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Вычислим. Зададим начальный шаг.

Вычислим ; .

Сравним с. Вывод: , переходим к следующей итерации.

3. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия одновременно не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Вычислим. Зададим начальный шаг.

Вычислим ; .

Сравним с. Вывод: , переходим к следующей итерации.

4. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия выполнены, расчет окончен.

Проверим выполнение достаточных условий минимума в этой точке. Функция является дважды непрерывно дифференцируемой, поэтому вычислим матрицу Гессе. Матрица постоянна и по критерию Сильвестра является положительно определенной. Следовательно, точка есть приближение к локальному минимуму,
а есть приближенное значение для.

Теперь найдем приближение методом покоординатного спуска.
В методе покоординатного спуска на каждой итерации меняется последовательно одна из координат переменной x (см. Л11). В нашем случае это и.

0. Пусть, . Градиент функции.

1. Зададим и найдем новую точку, изменяя первую координату.

Вычислим где, . Отсюда, .

Сравним с. Вывод: , значит, полагаем и выполняем вычисления заново.

Получаем, что, .

Сравним с. Вывод: , меняем вторую координату.

Вычислим где, . Отсюда, .

Сравним с. Вывод: , переходим ко второй итерации.

2. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Полагаем, .

Вычислим

Сравним с. Вывод: , меняем вторую координату.

Вычислим.

Сравним с. Вывод: , переходим к следующей итерации.

3. Проверим выполнение условий окончания

.

Условия окончания выполнены. Окончательно полагаем.

Эта точка является приближением к, а есть приближенное значение для .

Задачи для самостоятельного решения по теме 11

1*. Решить задачу (11.1) при фиксированном значении.

2. Методами градиентного и покоординатного спуска с постоянными шагами найти локальный минимум функции.
Сделать не более пяти итераций, если точность не будет достигнута.

Тема 12. Численные методы условной оптимизации

1. Рассмотрим модель поведения потребителей с функцией полезности, . Найдем оптимальные значения объемов товаров, при которых функция полезности максимальна. При этом потребитель ограничен в покупке товаров бюджетным ограничением, где — свободные денежные средства потребителя; — вектор цен за единицу товаров. В силу свойств функции полезности (см. [5, 6]) оптимальное значение потребления будет достигаться на неотрицательном значении и при выполнении равенства. Тогда задача оптимизации потребления перепишется в виде

Введем функцию Лагранжа, тогда из необходимых условий экстремума получим систему уравнений для поиска оптимальной точки :

Если функция полезности зависит только от двух видов товаров, то эта система упрощается

(12.1)

2. Пусть, капитал. Найти текущую стоимость первого товара, если его оптимальное значение равно.

Решение. Согласно пункту 1 оптимальные объемы товаров удовлетворяют системе (12.1). Найдем частные производные функции
и выпишем систему (12.1):

Теперь в первое уравнение подставим и найдем.

3. Пусть, , . Найти оптимальные значение объемов потребления товаров и максимальное значение функции полезности.

Решение. Поскольку производная функции
не является непрерывной в точках, то выписать функцию Лагранжа и систему (12.1) нельзя. Воспользуемся другим определением оптимальной точки, а именно: оптимальная точка является точкой касания линии уровня (множества безразличия) и бюджетной линии.

Поскольку, то линии безразличия представляют собой лучи параллельные осям Ox и Oy с точками соединения. В этом случае точка касания бюджетной линии
и множества безразличия определяется из решения системы

.

4. Рассмотрим задачу оптимизации портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. Матрица ковариаций эффективностей этих бумаг имеет вид. Найти все допустимые значения, при которых оптимальный по Марковицу портфель минимального риска содержит бумаги обоих видов. Операция «short sale» запрещена.

Решение. Задача имеет вид

Здесь. Выразим из ограничения вторую переменную и подставим в критерий. Тогда. Поскольку переменная должна принадлежать отрезку [0; 1], то эта задача свелась к поиску минимума параболы на отрезке. Эта задача имеет решения или в точке безусловного экстремума, или в одном из концов отрезка. Для того чтобы портфель ценных бумаг содержал бумаги обоих видов, необходимо, чтобы точка попала внутрь отрезка [0; 1], т. е. должны быть выполнены неравенства. Из этих неравенств можно
найти допустимые значения.

Найдем точку из необходимого условия экстремума :

.

Из неравенства получаем, что. Из неравенства получаем, что. Пересекаем эти множества и получаем, что.

Осталось только учесть, что матрица V является ковариационной матрицей, а следовательно, должна быть неотрицательно определенной.
По критерию Сильвестра необходимо, чтобы и были неотрицательны. Из неравенства получаем, что. Окончательно.

Задачи для самостоятельного решения по теме 12

1. Пусть выпуск описывается производственной функцией Кобба-Дугласа (см. [5, 6]), где коэффициент эластичности по фондам на 50% больше коэффициента эластичности по труду. Вычислить стоимость единицы фондов, если известно, что инвестиционный капитал в 8,3(3) раза больше оптимального объема закупки фондов.

2. Пусть функция полезности имеет вид и цены, . При какой минимальной величине денежных средств может быть достигнуто значение.

3. Рассмотрим задачу оптимизации портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. Матрица ковариаций эффективностей этих бумаг имеет вид. Найти все допустимые значения, при которых оптимальный по Марковицу портфель минимального риска содержит бумаги только
одного вида. Вычислить риск. Операция «short sale» запрещена.

4*. Рассмотрим линейную модель производства

где технологическая матрица, вектор ограничения по ресурсам, вектор цен, x — объемы выпускаемой продукции. Найти все допустимые значения параметра a, при которых следует производить товары обоих видов.

5**. Рассмотрим задачу оптимизации портфеля, состоящего из трех ценных бумаг

где матрица ковариаций эффективностей ценных бумаг имеет вид. Построить аналитические зависимости оптимальных по Марковицу стратегий от неизвестного значения ожидаемой
доходности, т. е. , , . Построить графики этих зависимостей.

Указание: Значение может меняться только в пределах от 2 до 9. Для решения задачи нужно выразить из двух ограничений две переменные через третью и подставить их в критерий. Учесть положительность всех переменных. В ответе должны получиться кусочно-линейные функции.

Тема 13. Вариационное исчисление

1. Задача о наименьшей площади поверхности вращения. Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих точки и, найти ту, которая при вращении вокруг оси абсцисс образует поверхность наименьшей площади.

Решение. Как известно, площадь вращения находится по формуле. Поставленная задача сводится к определению кривой, удовлетворяющей граничным условиям, ,
на которой достигается минимум функционала.

Составим уравнение Эйлера (Л13.12). Подынтегральная функция
не зависит от переменной t явно (пятый случай интегрируемости, см. Л13). Поэтому уравнение Эйлера имеет первый интеграл (Л13.16):

.

После упрощения получаем.

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Полагая, имеем ; ; .

Таким образом, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид

.

Исключая параметр, получаем — семейство цепных линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами.

Постоянные и находятся из граничных условий:

, .

В зависимости от положения точек A и B может существовать одно, два или не существовать ни одного решения.

2. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющую граничным условиям, .

Решение. Запишем уравнение Эйлера. Так как, , то получаем или.

Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является линейным
с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение. Его корни, — действительные, разные числа. Общее решение уравнения имеет вид

.

Определим коэффициенты и из граничных условий:

Отсюда. В результате получаем экстремаль .

3. Найти экстремум функционала

.

Решение. Экстремаль для этого функционала найдена в задаче 2: . Проверим достаточные условия сильного экстремума.

Для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (Л13.17). Так как, , то уравнение имеет вид. Отсюда и — общее решение этого линейного дифференциального уравнения. Из условия
получаем и. Так как нетривиальное решение (при ) уравнения Якоби не равно нулю, т. е. при, то условие Якоби выполняется.

Так как функция трижды дифференцируема по,
то применим условие Лежандра. Поскольку при любых,
то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, что на этой же кривой достигается и слабый минимум.

Задачи для самостоятельного решения по теме 13

1. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющую граничным условиям, .

2*. Найти экстремум функционала

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПИСЬМЕННОЙ РАБОТЫ

Выполнение задания по каждой теме следует начинать с изучения теории, изложенной в конспекте лекций по данному курсу. Практические задания по курсу «Численное моделирование» следует выполнять в общей тетради (48 л.) или на листах бумаги формата А4 (листы скрепляются
и заполняются с одной стороны). Работа обязательно должна содержать титульный лист принятого в МИЭП образца с указанием номера варианта. Номер варианта определяется параметрами, и номерами задач, независящих от этих параметров, выданных по усмотрению преподавателя. При оформлении решений следует соблюдать нумерацию задач в соответствии с заданиями, сами задания следует переписать в отчет.

При выполнении контрольных заданий по каждой теме студент должен подставить там, где это необходимо, вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики: — число букв в полном имени студента; — число букв в полном имени отца студента, если числа больше 8, то следует считать, что и.

При использовании литературы в отчете должен содержаться ее список и ссылки на нее в тех местах, где она была использована.

Задачи, помеченные знаком «*», представляют особую сложность,
и за их решение оценка на экзамене будет повышена.

МАТЕМАТИКА

Часть 4
(Вычислительная математика)

Программа курса.
Практические задания

Редактор

Макет, верстка

Корректоры ,

Лицензия ИД № 000 от 25.01.00. Подписано в печать 31.03.04.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,1. Изд. № 000.

Издательство МИЭП, типография МИЭП
107082 Москва, Рубцовская наб., стр.1