Математика (стр. 1 )

Математика

Международный институт экономики и права

INTERNATIONAL INSTITUTE OF ECONOMICS AND LAW

МАТЕМАТИКА

Часть 4

(Вычислительная математика)

ПРОГРАММА КУРСА.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов факультета экономики и управления

(Цикл общих математических
и естественно-научных дисциплин)

Москва Издательство МИЭП 2004

Автор-составитель канд. физ.-мат. наук, доц.

Отв. за выпуск зав. кафедрой информатики и математики,
канд. физ.-мат. наук, доц.

Математика. Часть 4 (Вычислительная математика): Программа курса. Практические задания / Автор-составитель . – М.:
МИЭП, 2003. – 36 с.

Курс разработан в соответствии с принятой в МИЭП концептуальной формулой образовательной деятельности. Для студентов факультета экономики и управления. Цикл общих математических и естественно-научных дисциплин.

© Международный институт экономики и права, 2004

ВВЕДЕНИЕ

Классическим средством изучения математических моделей и исследования на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задач и до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен.
Поэтому решение широкого класса задач при исследовании современных экономических и технических систем осуществляется численными методами.

Основной целью данного курса являются развитие и закрепление
навыков по применению численных методов.

В результате изучения курса студент должен иметь представление:

·  о методологии проведения математического моделирования и вычислительного эксперимента в экономике;

·  об основных принципах и подходах в теории численных методов;

·  о терминологии, принятой в теории численных методов;

·  об основных численных алгоритмах и областях их применения;

·  современных программных средствах, предназначенных для численного решения актуальных задач.

А также студент должен уметь применять численные методы для решения задач математического анализа и математической экономики. Особое внимание при работе с пособием следует уделить использованию численных методов для исследования экономических систем.

Для понимания практических заданий (ПЗ) студенту следует иметь план-конспект лекций по курсу «Численное моделирование», поскольку все теоретические положения и формулы по всем темам, рассмотренным
в ПЗ, подробно отражены в этом конспекте. Ссылки на темы из плана-конспекта лекций будут обозначаться с добавлением буквы Л, например, Л5 — тема 5 из конспекта лекций. Ссылки на формулы конспекта также будут даваться с добавлением буквы Л, например (Л5.2) означает ссылку на формулу (5.2) из конспекта лекций.

Студент должен правильно решить не менее 75% задач, приведенных в контрольных заданиях после каждой темы.

Для успешной сдачи экзамена по данному курсу необходимо не только изучить теорию, но и научиться решать задачи. При сдаче экзамена разрешается пользоваться любой литературой. Теоретический материал контролируется в течение семестра при сдаче заданий путем собеседования, причем без права пользования литературой.

Экзамен проводится в письменной форме, ограничен временем в два академических часа. Каждому студенту выдается индивидуальный билет, содержащий три задачи и один теоретический вопрос по программе курса. Экзаменационная оценка равна 1 + количество правильно решенных задач + полный ответ на теоретический вопрос.

ПРОГРАММА КУРСА

Тема 1. Погрешности при решении задач

Виды и источники погрешности. Абсолютная и относительная
погрешность. Погрешности арифметических операций. Понятия приближенного числа и значащих цифр. Ошибки округления, правила округления.

Тема 2. Методы решения алгебраических уравнений

Постановка задачи поиска корня алгебраического уравнения. Два этапа решения задачи: отделение и уточнение корня. Скорость сходимости.
Итерационные и прямые методы. Метод деления отрезка пополам. Метод простой итерации. Метод Ньютона и метод секущих, их геометрическая интерпретация.

Тема 3. Задача решения систем линейных уравнений

Постановка задачи. Плохо обусловленные системы. Метод исключения Гаусса. Прямой и обратный ход метода Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения. Трехдиагональные матрицы
и метод прогонки. Метод простой итерации. Условия сходимости метода простой итерации. Метод Зейделя.

Тема 4. Приближение функций

Постановка задачи о приближении функций. Виды аппроксимаций. Интерполяция и ее виды. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Понятие разделенной разности. Погрешность и сходимость интерполяции. Сплайны. Интерполяция сплайнами. Метод наименьших квадратов (МНК) и его применение для интерполяции. Нормальная система МНК.

Тема 5. Проблема собственных значений

Постановка задачи поиска собственных значений и собственных векторов матрицы. Характеристическое уравнение. Метод вращений. Идеи метода вращений. Матрица вращения. Алгоритм метода вращения. Алгоритм поиска максимального по модулю собственного значения матрицы.

Тема 6. Численное дифференцирование

Постановка задачи численного дифференцирования. Использование многочлена в форме Ньютона для поиска производных функции. Безразностные формулы численного дифференцирования. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования.

Тема 7. Численное интегрирование

Постановка задачи вычисления определенного интеграла. Метод прямо-
угольников, метод трапеций, метод Симпсона и их геометрическая интерпретация. Погрешности численных методов интегрирования. Метод Ромберга повышения порядка точности.

Тема 8. Метод статистических испытаний

Сущность метода статистических испытаний. Особенности метода Монте-Карло. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения. Теоретические основы метода Монте-Карло. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Оценка погрешности.

Тема 9. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений

Постановка задачи. Плохо обусловленные задачи. Одношаговые
и многошаговые методы. Разностная сетка. Метод конечных разностей. Порядок точности разностной схемы. Метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом. Метод Рунге-Кутты. Многошаговый метод Адамса.

Тема 10. Задача оптимизации

Постановка задачи оптимизации. Множество допустимых решений. Локальный и глобальный минимум. Минимизирующая последовательность. Виды задач оптимизации. Математическая запись задачи оптимизации. Теоремы существования экстремума.

Тема 11. Численные методы безусловной оптимизации

Стационарная точка. Необходимые и достаточные условия существования экстремума для дважды непрерывно дифференцируемых функций. Общий алгоритм поиска минимума функции. Выбор шага и направления. Метод золотого сечения. Градиентные методы. Метод покоординатного спуска и метод Гаусса-Зейделя. Метод сопряженных градиентов. Метод стохастической аппроксимации.

Тема 12. Численные методы условной оптимизации

Необходимые и достаточные условия экстремума для дважды непрерывно дифференцируемых функций. Метод множителей Лагранжа. Метод условного градиента. Метод барьерных функций. Методы случайного
поиска.

Тема 13. Задача решения систем линейных уравнений

Постановка задачи вариационного исчисления. Функционал. Вариация кривой. Первая и вторая вариации функционала. Слабый и сильный локальный экстремум. Необходимые условия локального экстремума.
Основная лемма вариационного исчисления. Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Необходимые условия экстремума для простейшей задачи. Интегрирование уравнения Эйлера в квадратурах. Условия Якоби и Лежандра. Достаточные условия слабого и сильного минимума.

Тема 14. Методологические замечания

Выбор начальной точки для применения методов оптимизации.
Использование численных методов для решения задач на практике.

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1.  Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984.

2.  , , Численные методы. — М.: Бином, 2003.

3.  Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988.

4.  , Численные методы в примерах и задачах. — М.: Изд-во МАИ, 2000.

5.  Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 1998.

6.  Численные методы. — М.: Дрофа, 2003.

Дополнительная литература

7.  Методы стохастического программирования. — М.: Наука, 1976.

8.  Математическое программирование. — М.: Наука, 1980.

9.  Финансовая математика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

10.  Вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: Изд-во МАИ, 2000.

11.  , Математическое моделирование. — М.: Физматлит, 2002.

12.  Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Тема 1. Погрешности при решении задач

1. Найти абсолютные и относительные погрешности числа , заданного двумя и тремя цифрами после запятой.

Решение. а) Пусть . Тогда справедливо