Математика (стр. 3 )

2. Пусть производственная функция имеет вид CES-функции (см. [5, 6]). Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 45.

Решение. Чтобы найти значение капитала K, нужно решить уравнение . Найдем его решения методом секущих (см. Л2). Зададим две начальные точки и и точность вычислений . Результаты вычислений приведены в табл. 3.

Таблица 3

Итерация №
1	1	—	—
2	3	2	9,405
3	5,674	2,674	12,904
4	7,268	1,594	4,472
5	8,415	1,147	2,279
6	9,081	0,666	0,473
7	8,996	0,089	0,126
8	9,000	0,004	0,006

Из таблицы видно: 1) сходимость метода секущих может быть немонотонной, особенно в начале итераций; 2) метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона, но не требует вычисления производной функции.

Задачи для самостоятельного решения по теме 2

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где р — цена продукции. Найти равновесную цену ,
используя метод дихотомии и метод Ньютона.

2. Пусть производственная функция имеет вид . Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 30. Для решения уравнения использовать метод секущих.

Тема 3. Задача решения систем линейных уравнений

1. Рассмотрим задачу межотраслевого баланса Леонтьева (см. [5, 6]). Для поиска вектора валового выпуска X требуется решить систему

X = AX + Y или (I–A)X = Y,

(3.1)

где матрица A и вектор Y известны, а вектор . Если система имеет небольшую размерность, то ее решение не представляет сложности, однако если число неизвестных велико, то для ее решения можно воспользоваться методом Гаусса или методом простых итераций (см. Л3). Продемонстрируем метод на примере трехсекторной модели экономики. Пусть задана продуктивная матрица A и вектор Y:

Расчеты методом Гаусса приведем в табл. 4. В исходной части записываем расширенную матрицу системы.

Таблица 4

Итерация №	X1	X2	X3	Y
Исходная система	0,8 –0,5 –0,3	–0,4 0,9 –0,2	–0,3 –0,1 0,6	20 40 50
1	1 0 0	–0,5 0,65 –0,35	–0,375 –0,2875 0,4875	25 52,5 57,5
2	1 0 0	–0,5 1 0	–0,375 –0,4423 0,3327	25 80,77 85,77
3	1 0 0	–0,5 1 0	0 0 1	121,68 194,8 257,8
4	1 0 0	0 1 0	0 0 1	219,07 194,8 257,8

Первую итерацию начинаем с выбора ведущего элемента .
Далее разделим первую строку на этот элемент, а затем прибавим ко второй строке первую, умноженную на 0,5; к третьей строке прибавим первую, умноженную на 0,3. В результате элементы и стали равны нулю.
На второй итерации с помощью элемента приводим матрицу
к верхней треугольной матрице. Все преобразования одновременно совершаются и для вектора Y.

На третьей итерации осуществляем обратный ход: из последнего уравнения находим X3, разделив его на элемент , затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на , то же самое проделываем
с первой строкой с помощью . В результате мы обнулили элементы третьего столбца. На четвертой итерации обнуляем ненулевые элементы второго столбца и получаем единичную матрицу на месте исходной матрицы системы, а на месте вектора Y решение системы. В результате . Полученное решение является приближенным, поскольку все вычисления проводились только с пятью цифрами после запятой.

Теперь решим систему (3.1) методом простой итерации. Поскольку система (3.1) имеет вид (Л3.10), ее не надо приводить к виду, необходимому для применения метода простой итерации. Зададим точность вычислений и будем проводить вычисления до тех пор, пока не будет выполнено условие .

Вычислим норму матрицы , следовательно, условие сходимости метода простой итерации (см. теорему из Л3) выполнено.

По формуле (Л3.11) проводим вычисления для . Начальный вектор зададим равным свободному вектору Y, т. е. . Данные расчетов занесем в табл. 5.

Таблица 5

k
0	20	40	50	–
1	55	59	84	35
2	79,8	81,8	111,9	27,9
3	102,5	99,7	135,6	23.16
4	120,676	114,558	154,553	19.493
10	184,193	166,331	221,19	6,906
20	212,878	189,74	251,299	1,227
22	214,689	191,218	253,199	0,868

Расчет закончен, поскольку условие выполнено. Как видно из таблицы, скорость сходимости к решению у метода простых итераций достаточно медленная и очень сильно зависит от начального приближения.

2. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. В табл. 6 указаны расходные коэффициенты («прямые» затраты) единиц продукции i-го цеха, используемых для выпуска единицы продукции k-го цеха,
а также число единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).